進(jìn)行傅立葉變換的原因、定義、物理意義簡述

1. 先看下面的兩幅動畫，增加對傅立葉變換的印象

第一個動畫和第二個動畫其實都是對時域的周期矩形形波（近似看成矩形波，并不是嚴(yán)格意義的矩形方波）進(jìn)行傅里葉變換分析。

對于第一個圖形來說，它側(cè)重展示變換的本質(zhì)之一：疊加性，每個圓代表一個諧波分量。

第二個圖形則側(cè)重展示離散的頻譜圖。

但是這兩個圖形其實都只是展示了周期信號的頻譜分析，對應(yīng)的都是離散譜，而且都只是對一種很特殊的時域波形進(jìn)行的分析。不過通過這兩個動畫，想必對傅立葉變化也有了更深刻的印象吧！

2、為什么要進(jìn)行傅立葉變換，其物理意義是什么？

傅立葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理 創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻 率、振幅和相位。

和傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。

因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。"任意"的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類：

1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;

2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;

3. 正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變雜的卷積運算為簡單的乘積運算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;

４. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT))。

正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率、統(tǒng)計、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。