基于濾波器增益的系數(shù)量化改進(jìn)方法解析

0 引言

相對(duì)于模擬濾波器，數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可編程改變?yōu)V波特性、便于集成等一系列優(yōu)點(diǎn)，并且理論上可實(shí)現(xiàn)近似理想頻率特性的濾波性能。經(jīng)典的數(shù)字濾波器主要包括有限脈沖響應(yīng)（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器和無限脈沖響應(yīng)（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器。相對(duì)于IIR濾波器來說，當(dāng)FIR濾波器系數(shù)保持線性對(duì)稱結(jié)構(gòu)時(shí)，能夠在滿足幅頻響應(yīng)要求的同時(shí)獲得嚴(yán)格的線性相位特性。在數(shù)據(jù)通信、語音信號(hào)處理、雷達(dá)信號(hào)處理等領(lǐng)域通常要求信號(hào)在傳輸過程中不能有明顯的相位失真，因此FIR濾波器獲得了更廣泛的應(yīng)用［1］。

FPGA因其獨(dú)特的可編程結(jié)構(gòu)及強(qiáng)大的并行運(yùn)算能力，很適合于實(shí)現(xiàn)FIR濾波器設(shè)計(jì)?；贔PGA的FIR濾波器設(shè)計(jì)近年來一直是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)，主要集中在最優(yōu)濾波器設(shè)計(jì)方法、提高濾波器運(yùn)行速度、濾波器系數(shù)量化方法等方面［2-7］。常規(guī)的系數(shù)量化方法僅關(guān)注對(duì)濾波器本身幅頻特性的影響［8］，較少考慮在濾波器輸出位寬確定的情況下，如何提高輸出幅度，進(jìn)而最大化輸出信噪比的問題。在研究分析傳統(tǒng)濾波器系數(shù)量化方法的基礎(chǔ)上，提出了基于濾波器增益的系數(shù)量化方法，給出了MATLAB及FPGA實(shí)現(xiàn)后的ModelSim仿真測(cè)試數(shù)據(jù)，結(jié)果表明這種方法最多可將濾波輸出幅度提高近一倍，信噪比提高近6 dB。

1 FIR濾波器原理及結(jié)構(gòu)

FIR濾波器，是指單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度有限的濾波器。FIR濾波器的突出特點(diǎn)是其單位取樣響應(yīng)h（n）是一個(gè)N點(diǎn)長(zhǎng)的有限長(zhǎng)序列，0≤n≤N-1。濾波器的輸出y（n）可表示為輸入序列x（n）與單位取樣響應(yīng)h（n）的線性卷積。

從系統(tǒng)函數(shù)很容易看出，F(xiàn)IR濾波器只在原點(diǎn)上存在極點(diǎn)，這使得FIR濾波器具有全局穩(wěn)定性。FIR濾波器是由一個(gè)抽頭延遲線加法器和乘法器的集合構(gòu)成的，每一個(gè)乘法器的操作系數(shù)就是一個(gè)FIR系數(shù)。因此，F(xiàn)IR的這種結(jié)構(gòu)也被人們稱為抽頭延遲線結(jié)構(gòu)。圖1是FIR濾波器FPGA實(shí)現(xiàn)的典型結(jié)構(gòu)圖。

2 系數(shù)量化對(duì)FIR濾波器性能的影響

2.1 FIR濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)方法

在采用FPGA編程實(shí)現(xiàn)FIR濾波器之前，通常采用MATLAB軟件設(shè)計(jì)濾波器系數(shù)。MATLAB提供了豐富的FIR濾波器函數(shù)，分別對(duì)應(yīng)不同的設(shè)計(jì)方法，如窗函數(shù)法、頻率取樣法、基于“最大誤差最小”的最優(yōu)設(shè)計(jì)法等。為便于對(duì)比，采用最優(yōu)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)FIR低通濾波器（MATLAB設(shè)計(jì)函數(shù)為firpm），其參數(shù)為：采樣頻率32 MHz，過渡帶0.5 MHz~1.5 MHz。圖2為MATLAB設(shè)計(jì)出的濾波器幅頻響應(yīng)圖。

由圖2可知，F(xiàn)IR濾波器的長(zhǎng)度N越大，濾波器過渡帶越接近設(shè)計(jì)參數(shù)，通帶及阻帶濾波性能越好，當(dāng)N=41時(shí)阻帶衰減為26 dB，當(dāng)N=61時(shí)阻帶衰減為38.5 dB，當(dāng)N=81時(shí)阻帶衰減為48 dB；當(dāng)系數(shù)長(zhǎng)度超過一定值后（本實(shí)例為61），濾波器過渡帶的改善余量已很小，但通帶及阻帶濾波性能會(huì)持續(xù)增加。不失一般性，下文以長(zhǎng)度為61的低通濾波器為例進(jìn)行討論。

2.2 系數(shù)的量化方法及其對(duì)濾波性能的影響分析

根據(jù)MATLAB的FIR濾波器設(shè)計(jì)原理，無論濾波器長(zhǎng)度多長(zhǎng)，濾波器通帶內(nèi)增益均為1（0 dB），濾波器系數(shù)為帶小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)。由于FPGA只能處理二進(jìn)制數(shù)據(jù)，MATLAB設(shè)計(jì)出的濾波器系數(shù)需要轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)據(jù)才能完成FPGA電路實(shí)現(xiàn)。

濾波器系數(shù)是帶符號(hào)的數(shù)據(jù)，F(xiàn)PGA實(shí)現(xiàn)時(shí)需要用二進(jìn)制補(bǔ)碼格式表示。設(shè)濾波器系數(shù)的量化位寬為Q，則系數(shù)C的表示范圍為-2Q-1≤C≤（2Q-1-1），又由于FIR濾波器系數(shù)的嚴(yán)格對(duì)稱特性，實(shí)際范圍為（1-2Q-1）≤C≤（2Q-1-1）。

傳統(tǒng)的濾波器系數(shù)量化方法可分解為3個(gè)步驟：（1）找出濾波器系數(shù)中最大的絕對(duì)值數(shù)M；（2）以M為基準(zhǔn)，對(duì)所有濾波系數(shù)進(jìn)行歸一化處理，即對(duì)所有系數(shù)除以M；（3）對(duì)所有濾波器系數(shù)乘以（2Q-1-1），并對(duì)處理后的系數(shù)取整形成整數(shù)系數(shù)；（4）將整數(shù)濾波器系數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)據(jù)。圖3為不同量化位寬情況下的濾波器幅頻響應(yīng)圖。

由圖3（a）中的歸一化幅頻圖可知，濾波器系數(shù)量化位寬越小，量化后的濾波性能越差（當(dāng)量化位寬為6 bit時(shí)，阻帶衰減相比量化前減小了約6 dB），反之量化位寬越大，量化前后的濾波性能相差越小。當(dāng)量化位寬超過一定值（本實(shí)例為12 bit）后，濾波性能幾乎不再變化。不失一般性，下文以長(zhǎng)度為61、量化位寬為12 bit的低通濾波器為例進(jìn)行討論。

3 基于增益的FIR濾波器系數(shù)量化方法

3.1 一般量化方法對(duì)系統(tǒng)性能的影響

根據(jù)前面討論的濾波器量化方法，系數(shù)量化過程相當(dāng)于濾波器增益擴(kuò)大了（2Q-1-1）/M倍。從圖3（b）中的未歸一化幅頻圖可知，量化位寬越大，濾波器通帶內(nèi)的增益越大。當(dāng)量化位寬為6 bit時(shí)，通帶增益為54 dB，當(dāng)量化位寬為12 bit時(shí)，增益為90 dB。

FPGA設(shè)計(jì)FIR濾波器，一般采用定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算。前面討論系數(shù)量化對(duì)系統(tǒng)性能的影響時(shí)，實(shí)際有一個(gè)前提條件，即濾波運(yùn)算采用全精度運(yùn)算，濾波運(yùn)算的結(jié)果保留全部有效數(shù)據(jù)位。當(dāng)濾波器系數(shù)量化位寬為Q時(shí)，由于濾波器增益擴(kuò)大了（2Q-1-1）/M倍（一般來說，M≤1），為保證全精度運(yùn)算，保留全部有效濾波輸出位寬，相對(duì)于濾波器輸入信號(hào)而言，位寬將增加Qa bit。其中

對(duì)于前面討論的長(zhǎng)度N=61，量化位寬Q=12的低通濾波器而言，M=0.062 1，（2Q-1-1）/M=32 963，則濾波輸出位寬需增加Qa=16 bit。假設(shè)輸入數(shù)據(jù)位寬為10 bit，則濾波器全精度輸出位寬為26 bit。

3.2 基于增益的系數(shù)量化方法

根據(jù)前面的討論，量化濾波器系數(shù)后，輸出有效位寬所能表示信號(hào)的信噪比下降，是由于濾波輸出信號(hào)達(dá)不到滿量程狀態(tài)。為此，優(yōu)化濾波器系數(shù)量化方法，采用基于濾波器增益的方法對(duì)系數(shù)進(jìn)行量化。結(jié)合前述的濾波器實(shí)例，具體步驟為：（1）對(duì)所有濾波器系數(shù)乘以=216=65 536，并對(duì)處理后的系數(shù)取整形成整數(shù)系數(shù)；（2）將整數(shù)濾波器系數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)據(jù)。

經(jīng)過改進(jìn)的量化處理后，相當(dāng)于對(duì)濾波增益直接增加了65 536倍（常規(guī)方法僅增加了32 963倍），濾波輸出的數(shù)據(jù)幅值能夠達(dá)到輸出數(shù)據(jù)有效位寬所能表示的滿量程值，實(shí)現(xiàn)了輸出位寬一定的條件下，輸出信號(hào)信噪比的最大化。經(jīng)過這樣的量化處理，系數(shù)的量化位寬為：

對(duì)于上文所討論的低通濾波器，量化位寬需要13 bit。圖4為常規(guī)量化方法和改進(jìn)量化方法的濾波器系數(shù)（沖激響應(yīng)）圖，其中Qa=16。

從圖4可以看出，在濾波輸出位寬相同的條件下，改進(jìn)的量化方法所產(chǎn)生的濾波器系數(shù)（沖激響應(yīng)）幅值大于常規(guī)方法，相當(dāng)于濾波器增益更大。同時(shí)也要注意到，改進(jìn)的量化方法所需的濾波器系數(shù)位寬由12 bit增加到13 bit。也就是說，增加濾波器增益，是以增加系數(shù)量化位寬為代價(jià)的。

4 FPGA實(shí)現(xiàn)后的測(cè)試結(jié)果分析

接下來采用Xilinx的Spartan6系列FPGA器件XC6SLX25-FT256C為目標(biāo)平臺(tái)，調(diào)用ISE14.7工具中的FIR濾波器核，實(shí)現(xiàn)前文所討論的低通濾波器（采樣頻率為32 MHz，過渡帶為0.5 MHz~1.5 MHz，濾波器長(zhǎng)度N=61）。仿真工具為ModelSim10.1，輸入信號(hào)為2路單頻信號(hào)的疊加。兩路單頻信號(hào)頻率分別為0.22 MHz和2 MHz，功率比為1:1。輸入位寬為10 bit，濾波器輸出位寬為26（Qa=16）。圖5、圖6分別為常規(guī)量化方法和改進(jìn)量化方法的濾波器ModelSim仿真波形圖。

從圖5、圖6中可以看出，兩種方法都能夠有效濾除帶外干擾信號(hào)（2 MHz單頻信號(hào)），改進(jìn)量化方法的濾波器輸出信號(hào)幅度值（16，641，407）明顯大于常規(guī)量化方法的幅度值（7，910，390），相當(dāng)于增加了濾波增益，增加了濾波輸出信號(hào)的信噪比。

5 結(jié)論

本文詳細(xì)分析了濾波器系數(shù)量化方法對(duì)濾波性能的影響。在對(duì)常規(guī)系數(shù)量化方法的步驟、原理進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，針對(duì)濾波輸出數(shù)據(jù)幅值達(dá)不到有效位寬滿量程的現(xiàn)象，提出了基于濾波器增益的系數(shù)量化改進(jìn)方法。MATLAB仿真及FPGA實(shí)現(xiàn)后的ModelSim仿真均表明，在濾波輸出位寬相同的條件下，改進(jìn)的量化方法可以有效提高濾波器增益，進(jìn)而提高濾波輸出信號(hào)的信噪比。需要注意的是，增加濾波器增益是以增加系數(shù)量化位寬、增加FPGA實(shí)現(xiàn)后的邏輯資源為代價(jià)的。

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