關(guān)于香農(nóng)采樣定理和奈奎斯特速率的討論

奈奎斯特采樣定理，或者更準(zhǔn)確地說是奈奎斯特-香農(nóng)定理，是控制混合信號(hào)電子系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基本理論原理。

正如我們所知道的，如果沒有模數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)模轉(zhuǎn)換，現(xiàn)代技術(shù)就不會(huì)存在。實(shí)際上，這些操作已經(jīng)變得非常普遍了，以至于說“一個(gè)模擬信號(hào)可以轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)，然后再轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)，而不會(huì)造成任何重大的信息損失”。

這聽起來像是一種真理，但我們?cè)趺粗狼闆r確實(shí)如此呢？當(dāng)它看起來似乎丟失了我們?cè)趩蝹€(gè)樣本之間觀察到的如此之多的信號(hào)行為時(shí)，為什么還說采樣是一種無損操作呢？

如圖1所示，我們?nèi)绾文軓囊粋€(gè)這樣的信號(hào)開始：

圖1

再將其數(shù)字化成圖2這樣：

圖2

然后還敢聲稱“原始信號(hào)可以恢復(fù)，且不會(huì)丟失信息”？

奈奎斯特-香農(nóng)定理

之所以可以提出這樣的說法，是因?yàn)樗犀F(xiàn)代電氣工程最重要的原理之一：

如果一個(gè)系統(tǒng)以超過信號(hào)最高頻率至少兩倍的速率對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行均勻采樣，那么原始模擬信號(hào)就能從采樣產(chǎn)生的離散值中完全恢復(fù)。

關(guān)于這個(gè)定理還有很多話要說，但首先，讓我們?cè)囍宄降自撛趺捶Q呼它。

香農(nóng)？奈奎斯特？科捷利尼科夫？惠特克？

我當(dāng)然不是那個(gè)決定誰在闡述、論證，或者解釋“香農(nóng)-奈奎斯特-科特爾尼科夫-惠特克”采樣和插值理論方面最值得贊揚(yáng)的人。其實(shí)，這四個(gè)人都有參與其中，并且取得了顯著成效。

但其中，哈里 · 奈奎斯特這個(gè)人的角色，似乎已經(jīng)超出了它最初的意義。例如，在譚和江撰寫的《數(shù)字信號(hào)處理：基本原理與應(yīng)用》一書中，上述原理被確定為“香農(nóng)采樣定理” ；在塞德拉和史密斯的《微電子電路》一書中，我發(fā)現(xiàn)了下面這句話：“事實(shí)上，我們可以在有限數(shù)量的樣本上進(jìn)行處理……而忽略樣本之間的模擬信號(hào)細(xì)節(jié)……這是基于香農(nóng)采樣定理?！?/p>

因此，我們或許應(yīng)該避免使用“奈奎斯特采樣定理”或者“奈奎斯特采樣理論”這些詞匯。如果我們需要把名字和這個(gè)概念聯(lián)系起來，那么我建議只含有“香農(nóng)”或者“奈奎斯特和香農(nóng)”。事實(shí)上，也許是時(shí)候過渡到更匿名的東西了，比如“基本采樣定理”。

如果你覺得這有點(diǎn)令人迷惑，請(qǐng)記住上面提到的采樣定理與奈奎斯特速率是不同的，本文稍后將對(duì)此進(jìn)行解釋。我認(rèn)為，沒人能把奈奎斯特和他的速率分開，所以最終達(dá)成了一個(gè)很好的妥協(xié)：香農(nóng)得到了定理，奈奎斯特得到了速率。

時(shí)域采樣定理

如果我們將采樣定理應(yīng)用于頻率f信號(hào)的正弦波，就必須要對(duì)f樣本≥2f信號(hào)的波形進(jìn)行采樣才能實(shí)現(xiàn)完美重構(gòu)。換句話說，每個(gè)正弦周期至少需要兩個(gè)樣本。接下來，讓我們先從時(shí)域的角度來理解一下這句話。

在下面這張圖中，正弦波的采樣頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于信號(hào)頻率：

圖3：每個(gè)圓點(diǎn)代表一個(gè)采樣瞬間，即測(cè)量模擬電壓后，并將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字的精確時(shí)刻

為了更加直觀地了解這個(gè)采樣過程，我們可以繪制采樣值，然后用直線將它們連接起來。如下圖所示的直線近似值看起來與原始信號(hào)完全相同：相較于信號(hào)頻率，采樣頻率非常高，因此線段與相應(yīng)的曲線正弦波線段沒有明顯的差異。

圖4

但隨著我們降低采樣頻率，直線近似值的外觀與原始圖像有所不同了。

圖5：每個(gè)周期20個(gè)樣本（f樣本=20f信號(hào)）

圖6：每個(gè)周期10個(gè)樣本（f樣本=10f信號(hào)）

圖7：每個(gè)周期5個(gè)樣本（f樣本=5f信號(hào)）

臨界值：每個(gè)周期2個(gè)樣本

隨著我們把每個(gè)周期的采樣數(shù)量減少到5個(gè)以下，采樣產(chǎn)生的數(shù)據(jù)點(diǎn)仍將繼續(xù)保持模擬信號(hào)的循環(huán)性質(zhì)，但最終會(huì)達(dá)到一個(gè)頻率信息被破壞的點(diǎn)。首先，考慮下面的情節(jié)：

圖8：每個(gè)周期2個(gè)樣本（f樣本=2f信號(hào)）

當(dāng)f樣本=2f信號(hào)時(shí)，正弦曲線完全消失了。但是，由采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)產(chǎn)生的三角波并沒有改變正弦曲線的基本周期性，三角波的頻率與原始信號(hào)的頻率相同。

然而，一旦我們將采樣頻率降低到每個(gè)周期少于2個(gè)樣本時(shí)，這種說法就不再成立了。因此，在混合信號(hào)系統(tǒng)中，對(duì)于原始信號(hào)中的最高頻率，每個(gè)周期2次采樣是至關(guān)重要的臨界值，其對(duì)應(yīng)的采樣頻率就稱為奈奎斯特速率：

如果我們以低于奈奎斯特速率的頻率對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣，那么將無法完美地重構(gòu)原始信號(hào)。

下面兩張圖顯示了當(dāng)采樣頻率低于奈奎斯特速率時(shí)所發(fā)生的周期性等效損失：

圖9：每個(gè)周期2個(gè)樣本（f樣本=2f信號(hào)）

圖10：每個(gè)周期1.9個(gè)樣本（f樣本=1.9f信號(hào)）

當(dāng)f樣本=1.9f信號(hào)時(shí)，離散時(shí)間波形基本上獲得了全新的周期性行為。采樣模式的完全重復(fù)，需要一個(gè)以上的正弦波周期。

然而，當(dāng)我們每個(gè)周期只有1.9個(gè)樣本時(shí)，采樣頻率不足的影響就有點(diǎn)難以解釋了。接下來的情節(jié)，更清楚地說明了這一切：

圖11：每個(gè)周期1.1個(gè)樣本（f 樣本 =1.1f 信號(hào) ）

如果你對(duì)正弦波一無所知，并且使用1.1f信號(hào)采樣產(chǎn)生的離散時(shí)間波形進(jìn)行分析，那么你將會(huì)對(duì)原始信號(hào)的頻率產(chǎn)生嚴(yán)重的錯(cuò)誤想法。此外，如果你只有離散數(shù)據(jù)，那么就不可能知道頻率特性已經(jīng)被破壞了。采樣產(chǎn)生了一個(gè)原始信號(hào)中不存在的新頻率，但你不知道這個(gè)頻率不存在。

所以，最終結(jié)論是：當(dāng)我們以低于奈奎斯特速率的頻率采樣時(shí)，信息就會(huì)永久地丟失，原始信號(hào)無法完美地重構(gòu)。

結(jié)語

本文討論了香農(nóng)采樣定理和奈奎斯特速率，并且試圖通過觀察采樣在時(shí)域中的影響來深入了解這些概念。