運(yùn)算放大器的噪聲模型與頻譜密度曲線(xiàn)

噪聲的重要特性之一就是其頻譜密度。電壓噪聲頻譜密度是指每平方根赫茲的有效（ RMS） 噪聲電壓（通常單位為nV/rt-Hz）。功率譜密度的單位為W/Hz。在上一篇文章中，我們了解到電阻的熱噪聲可用方程式 2.1 計(jì)算得出。該算式經(jīng)過(guò)修改也可適用于頻譜密度。熱噪聲的重要特性之一就在于頻譜密度圖較平坦（也就是說(shuō)所有頻率的能量相同）。因此，熱噪聲有時(shí)也稱(chēng)作寬帶噪聲。運(yùn)算放大器也存在寬帶噪聲。寬帶噪聲即為頻譜密度圖較平坦的噪聲。

除了寬帶噪聲之外，運(yùn)算放大器常還有低頻噪聲區(qū)，該區(qū)的頻譜密度圖并不平坦。這種噪聲稱(chēng)作 1/f 噪聲，或閃爍噪聲，或低頻噪聲。通常說(shuō)來(lái)，1/f 噪聲的功率譜以 1/f 的速率下降。這就是說(shuō)，電壓譜會(huì)以 1/f（1/2 ） 的速率下降。不過(guò)實(shí)際上，1/f 函數(shù)的指數(shù)會(huì)略有偏差。圖 2.1 顯示了典型運(yùn)算放大器在 1/f 區(qū)及寬帶區(qū)的頻譜情況。請(qǐng)注意，頻譜密度圖還顯示了電流噪聲情況（單位為 fA/rt-Hz）。

我們還應(yīng)注意到另一點(diǎn)重要的情況，即 1/f 噪聲還能用正態(tài)分布曲線(xiàn)表示，因此第一部分中介紹的數(shù)學(xué)原理仍然適用。圖 2.2 顯示了1/f 噪聲的時(shí)域情況。請(qǐng)注意，本圖的 X 軸單位為秒，隨時(shí)間發(fā)生較慢變化是1/f 噪聲的典型特征。

圖 2.2：時(shí)域所對(duì)應(yīng)的 1/f 噪聲及統(tǒng)計(jì)學(xué)分析結(jié)果

圖 2.3 描述了運(yùn)算放大器噪聲的標(biāo)準(zhǔn)模型，其包括兩個(gè)不相關(guān)的電流噪聲源與一個(gè)電壓噪聲源，連接于運(yùn)算放大器的輸入端。我們可將電壓噪聲源視為隨時(shí)間變化的輸入偏移電壓分量，而電流噪聲源則可視為隨時(shí)間變化的偏置電流分量。

圖 2.3：運(yùn)算放大器的噪聲模型

運(yùn)算放大器噪聲分析方法

運(yùn)算放大器噪聲分析方法是根據(jù)運(yùn)放數(shù)據(jù)表上的數(shù)據(jù)計(jì)算出運(yùn)放電路峰峰值輸出噪聲。在介紹有關(guān)方法的時(shí)候，我們所用的算式適用于最簡(jiǎn)單的運(yùn)算放大器電路。就更復(fù)雜的電路而言，這些算式也有助于我們大致了解可預(yù)見(jiàn)的噪聲輸出情況。我們也可針對(duì)這些更復(fù)雜的電路提供較準(zhǔn)確的計(jì)算公式，但其中涉及的數(shù)學(xué)計(jì)算將更為復(fù)雜。對(duì)更復(fù)雜的電路而言，或許我們最好應(yīng)采用三步走的辦法。首先，用算式進(jìn)行粗略的估算；然后，采用 spice 仿真程序進(jìn)行更準(zhǔn)確的估算；最后通過(guò)測(cè)量來(lái)確認(rèn)結(jié)果。

我們將以 TI OPA277 的簡(jiǎn)單非反向放大器為例來(lái)說(shuō)明有關(guān)電路的情況（見(jiàn)圖 2.4）。我們的目標(biāo)是測(cè)定峰峰值輸出噪聲。為了實(shí)現(xiàn)這一目的，我們應(yīng)考慮運(yùn)算放大器的電流噪聲、電壓噪聲以及電阻熱噪聲。我們將根據(jù)產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)中的頻譜密度曲線(xiàn)來(lái)確定上述噪聲源的大小。此外，我們還要考慮電路增益與帶寬問(wèn)題。

圖 2.4：噪聲分析電路示例

首先，我們應(yīng)了解如何將噪聲頻譜密度曲線(xiàn)轉(zhuǎn)換為噪聲源。為了實(shí)現(xiàn)這一目的，我們需進(jìn)行微積分運(yùn)算。簡(jiǎn)單提醒一句，積分函數(shù)確定曲線(xiàn)下方的面積。圖 2.5 顯示，我們只須將長(zhǎng)寬相乘（即矩形區(qū)域面積），便能獲得常數(shù)函數(shù)的積分。這種轉(zhuǎn)換頻譜密度曲線(xiàn)為噪聲源的關(guān)系比較簡(jiǎn)單。

圖 2.5：通過(guò)積分計(jì)算曲線(xiàn)下方面積

人們通常會(huì)說(shuō)，只有將電壓頻譜密度曲線(xiàn)進(jìn)行積分計(jì)算，才能得到總噪聲值。事實(shí)上，我們必須對(duì)功率譜密度曲線(xiàn)進(jìn)行積分計(jì)算。該曲線(xiàn)實(shí)際反映的是電壓或電流頻譜密度的平方（請(qǐng)記住：P = V2/R 且 P=I2R）。圖 2.6 顯示了對(duì)電壓頻譜密度曲線(xiàn)進(jìn)行積分計(jì)算所得的奇怪結(jié)果。圖 2.7 顯示，您可將功率譜密度進(jìn)行積分計(jì)算，再通過(guò)求結(jié)果的平方根將其轉(zhuǎn)換回電壓。請(qǐng)注意，我們由此可獲得合理結(jié)果。

圖 2.6：計(jì)算噪聲的不正確方法

圖 2.7：計(jì)算噪聲的正確方法

通過(guò)對(duì)電壓與電流頻譜的功率譜密度曲線(xiàn)進(jìn)行積分計(jì)算，我們可得到運(yùn)算放大器模型信號(hào)源的 RMS 幅度（圖 2.3）。不過(guò)，頻譜密度曲線(xiàn)將分布在 1/f 區(qū)與帶低通濾波器的寬帶區(qū)（見(jiàn)圖 2.8）。如計(jì)算上述兩個(gè)區(qū)域的總噪聲，我們要采用微積分計(jì)算推導(dǎo)出的算式。再根據(jù)第一部分所討論的處理非相關(guān)信號(hào)源的方法，對(duì)上述兩個(gè)計(jì)算的結(jié)果做和的平方根 （RSS） 運(yùn)算，對(duì)應(yīng)第一部分中提到的非相關(guān)信號(hào)源。

首先，我們要對(duì)帶低通濾波器的寬帶區(qū)域進(jìn)行積分計(jì)算。理想情況下，曲線(xiàn)的低通濾波器部分是一條縱向直線(xiàn)，我們稱(chēng)之為磚墻式濾波器 （brick wall filter）。由于磚墻式濾波器情況下的曲線(xiàn)下方區(qū)域?yàn)榫匦?，因此這一區(qū)域的問(wèn)題比較好解決，長(zhǎng)乘寬即可。在實(shí)際情況下，我們不能實(shí)現(xiàn)磚墻式濾波器。不過(guò)，我們可用一組常量來(lái)將實(shí)際情況下的濾波器帶寬轉(zhuǎn)換為等效的磚墻式濾波器帶寬，以滿(mǎn)足噪聲計(jì)算的需要。圖 2.9 將理論磚墻式濾波器與一階、二階及三階濾波器進(jìn)行了對(duì)比。

圖 2.8：帶濾波器的寬帶區(qū)

圖 2.9：磚墻式濾波器與實(shí)際濾波器相比較

我們可用方程式 2.2 用于轉(zhuǎn)換實(shí)際濾波器或做磚墻式濾波器等效。表 2.1 列出了各階濾波器的換算系數(shù) （Kn）。舉例來(lái)說(shuō)，一階濾波器帶寬乘以 1.57 即為磚墻式濾波器帶寬。調(diào)節(jié)后的帶寬有時(shí)也稱(chēng)作噪聲帶寬。請(qǐng)注意，換算系數(shù)隨著濾波器階數(shù)的提升將越來(lái)越接近于1。換言之，濾波器階數(shù)越高，就越接近于磚墻式濾波器。

既然我們有了將實(shí)際濾波器轉(zhuǎn)換為磚墻式濾波器的算式，那么我們就能很方便地進(jìn)行功率頻譜的積分運(yùn)算了。請(qǐng)記住，功率的積分運(yùn)算為電壓頻譜的平方。我們需將積分結(jié)果進(jìn)行平方根運(yùn)算轉(zhuǎn)換回電壓。方程式 2.3 即由此得出（見(jiàn)附錄 2.1）。因此，根據(jù)產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)中的數(shù)據(jù)套用方程式 2.2 、方程式 2.3便可計(jì)算出寬帶噪聲。

方程式 2.3：寬帶噪聲方程式

我們需記住，我們的目標(biāo)是測(cè)定圖 2.3 中噪聲源 Vn 的幅度。該噪聲源包括寬帶噪聲與 1/f 噪聲。我們用方程式 2.2 與 2.3 可計(jì)算出寬帶噪聲。現(xiàn)在我們應(yīng)計(jì)算 1/f 噪聲，這就需求對(duì)噪聲頻率密度圖 1/f 區(qū)域的功率頻譜進(jìn)行積分計(jì)算（如圖 2.10所示）。我們可用方程式 2.4 和 2.5 獲得有關(guān)積分結(jié)果。方程式 2.4 將 1/f 區(qū)的噪聲測(cè)量結(jié)果歸一化為 1Hz 時(shí)的噪聲。某些情況下，我們可從圖中直接讀出該數(shù)值，有時(shí)用方程式更方便求得（見(jiàn)圖 2.11）。方程式2.5用歸一化噪聲、上部噪聲帶寬與下部噪聲帶寬來(lái)計(jì)算 1/f 噪聲。附錄 2.2 給出了整個(gè)演算過(guò)程。

圖 2.10：1/f 區(qū)域

方程式 2.4：頻率為 1Hz 時(shí)的噪聲 （歸一化）

圖 2.11：兩個(gè) 1/f 歸一化示例

方程式 2.5：1/f 噪聲計(jì)算

在考慮 1/f 噪聲時(shí)，我們必須選擇低頻截止點(diǎn)。這是因?yàn)?1/f 函數(shù)分母為零時(shí)無(wú)意義（即 1/0 無(wú)意義）。事實(shí)上，理論上 0 赫茲時(shí)噪聲趨近于無(wú)窮。但我們應(yīng)當(dāng)考慮到，頻率極低時(shí)，其相應(yīng)的時(shí)間也非常長(zhǎng)。舉例來(lái)說(shuō)，0.1Hz 對(duì)應(yīng)于 10 秒，而 0.001Hz則對(duì)應(yīng)于 1000 秒。對(duì)極低的頻率而言，對(duì)應(yīng)的時(shí)間有可能為數(shù)年（如 10nHz 對(duì)應(yīng)于 3 年）。頻率間隔越大，積分計(jì)算所得的噪聲就越大。不過(guò)我們也要記住，極低頻噪聲檢測(cè)需要很長(zhǎng)時(shí)間。我們?cè)谝院蟮奈恼轮袑⒏敿?xì)地探討此問(wèn)題。目前，我們暫且記住這一點(diǎn)，1/f 計(jì)算時(shí)通常用 0.1Hz 作為低頻截止點(diǎn)。

既然我們已得到了寬帶與 1/f 噪聲的幅度，現(xiàn)在就用第一部分給出的無(wú)相關(guān)噪聲源算式來(lái)疊加噪聲源 （見(jiàn)如下方程式 2.6 與本系列文章的第一部分中的方程式 1.8）。

方程式 2.6： 1/f 與寬帶噪聲疊加結(jié)果

工程師考慮分析方法時(shí)通常會(huì)擔(dān)心，1/f 噪聲與寬帶噪聲是否應(yīng)在兩個(gè)不同的區(qū)域進(jìn)行積分計(jì)算。換言之，他們認(rèn)為，由于 1/f 噪聲與寬帶噪聲相加后會(huì)超出 1/f 區(qū)域，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。實(shí)際上，1/f 區(qū)域與寬帶區(qū)域一樣，都涵蓋所有頻率。我們必須記住，當(dāng)噪聲頻譜顯示在對(duì)數(shù)圖上，1/f 區(qū)在降至寬帶曲線(xiàn)以下后影響極小。兩條曲線(xiàn)結(jié)合明顯的唯一區(qū)域就在 1/f 半功率頻點(diǎn)處。在此區(qū)域中，我們看到兩區(qū)域結(jié)合部的情況與數(shù)學(xué)模型相同。圖 2.12 顯示了兩區(qū)實(shí)際重疊的情況，并給出了相應(yīng)的幅度。

圖 2.12：1/f 噪聲區(qū)與寬帶區(qū)重疊

現(xiàn)在，我們已得到了將噪聲頻譜密度曲線(xiàn)轉(zhuǎn)換為噪聲源所需的全部方程式。請(qǐng)注意，現(xiàn)在我們已推算出了電壓噪聲所需的方程式，不過(guò)相同的方法也可運(yùn)用于電流噪聲的計(jì)算。在本系列隨后的文章中，我們將討論用有關(guān)方程式來(lái)解決運(yùn)算放大器電流的噪聲分析問(wèn)題。

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