卡曼濾波器入門教程數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1

揭開其背后的背景知識(shí)

在正式開始之前，我想解釋幾個(gè)基本術(shù)語，如方差、標(biāo)準(zhǔn)差、正態(tài)分布、估計(jì)、準(zhǔn)確度、精度、均值、期望值和隨機(jī)變量。

我希望本教程的讀者都熟悉基礎(chǔ)性的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，然而，在本教程開始時(shí)，我承諾提供必要的背景知識(shí)，以了解卡爾曼濾波器的工作原理，如果您熟悉本主題，請?zhí)^本章并跳到下一節(jié)。

平均值和期望值

均值和期望值是密切相關(guān)的術(shù)語，然而，它們是有區(qū)別的，例如，給定五種不同的硬幣——兩種5美分硬幣和三種10美分硬幣，我們可以很容易地通過平均硬幣的面值來計(jì)算平均值。

上述結(jié)果不能定義為期望值，因?yàn)橄到y(tǒng)狀態(tài)（硬幣值）不是隱性的，我們能夠獲取所有樣本（所有5枚硬幣）進(jìn)行平均值計(jì)算。

現(xiàn)在假設(shè)從同一個(gè)人得到五種不同的體重測量結(jié)果：79.8kg、80kg、80.1kg、79.8kg和80.2kg，那么，人是系統(tǒng)，人的體重是系統(tǒng)狀態(tài)。

由于隨機(jī)測量誤差的存在，導(dǎo)致測量結(jié)果不同，我們不知道重量的真實(shí)值，因?yàn)樗且环N隱藏狀態(tài)，然而，我們可以通過平均天平秤的測量值來估計(jì)其重量。

估計(jì)的結(jié)果就是體重的期望值，期望值是您期望隱藏變量在長時(shí)間或多次試驗(yàn)中趨向的值，平均值通常用希臘字母μ表示，字母E通常表示期望值。

方差和標(biāo)準(zhǔn)差

方差是數(shù)據(jù)集與平均值分散程度的度量，標(biāo)準(zhǔn)偏差是方差的平方根， 標(biāo)準(zhǔn)偏差用希臘字母σ（sigma）表示。因此，方差用σ2表示。

假設(shè)我們想比較兩支高中籃球隊(duì)球員的身高，下表提供了球員的身高和每個(gè)隊(duì)的平均身高：

正如我們所看到的，兩支球隊(duì)的平均身高是相同的，讓我們檢查一下身高的方差：

由于方差度量的是數(shù)據(jù)集的分散程度，我們希望知道數(shù)據(jù)集與其平均值的方差，我們可以通過從每個(gè)變量中減去平均值來計(jì)算每個(gè)變量與平均值的距離，高度用x表示，高度的平均值用希臘字母μ表示，每個(gè)變量與平均值的距離為：

下表列出了每個(gè)變量與平均值的距離：

有些值為負(fù)值，為了去掉負(fù)值，讓我們將計(jì)算距離的平方：

下表給出了每個(gè)變量與平均值的平方距離：

為了計(jì)算數(shù)據(jù)集的方差，我們需要計(jì)算所有平方距離的平均值：

對(duì)于團(tuán)隊(duì)A，方差為：

對(duì)于團(tuán)隊(duì)B，方差為：

我們可以看到，雖然兩支球隊(duì)的平均值相同，但A隊(duì)的身高分散程度高于B隊(duì)的身高分散程度，A隊(duì)球員與B對(duì)相比，類型更加豐富多樣，有不同位置的球員，如控球手、中鋒和后衛(wèi)。

方差單位為平方米；查看標(biāo)準(zhǔn)偏差更方便，它是方差的平方根：

A隊(duì)球員身高的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.12米。B隊(duì)球員身高的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.036米。

現(xiàn)在，假設(shè)我們想計(jì)算所有高中籃球運(yùn)動(dòng)員的均值和方差，這將是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)——我們需要收集每一所高中的每一位球員的數(shù)據(jù)。

然而，我們可以通過抽取一個(gè)比較大的樣本并對(duì)該數(shù)據(jù)集進(jìn)行計(jì)算來估計(jì)球員的均值和方差。

包含100個(gè)隨機(jī)選擇的球員數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集應(yīng)該足以進(jìn)行準(zhǔn)確的估計(jì)。

然而，當(dāng)我們估計(jì)方差時(shí)，方差計(jì)算公式略有不同。我們將用因子N-1來歸一化，而不是用因子N進(jìn)行歸一化:

N?1稱為貝塞爾修正。

你可以在visiondummy或維基百科上看到上述方程的數(shù)學(xué)證明。