濾波器設(shè)計的逼近方法 - Butterworth, Chebyshev, Elliptic
引言
在學(xué)習(xí)濾波器設(shè)計時,書本上往往直接甩出濾波器的傳遞函數(shù)公式,讓人摸不著頭腦,到底這些傳遞函數(shù)公式是如何得來的呢?一般文章中也絕口不提其原理是什么,難道這背后是否有什么玄機,是不是隱藏著什么神秘的東西!
帶著疑問梳理了巴特沃斯(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)、橢圓函數(shù)(Elliptic Function, Cauer)濾波器,終于對濾波器綜合和設(shè)計內(nèi)容有了比較系統(tǒng)的理解。如果大家有興趣對這部分內(nèi)容感興趣可以閱讀《威廉·卡爾(Wilhelm Cauer)的生活和工作》這篇文章,其中卡爾的網(wǎng)絡(luò)綜合綱領(lǐng)列出了濾波器綜合的3個問題,即
- 1, 可實現(xiàn)性(realizability)
- 2, 近似(approximation)
- 3, 實現(xiàn)與等價(realization and equivalence)
實際上這三個問題中第一個可實現(xiàn)性問題在當(dāng)時已經(jīng)被解決了,即 正實函數(shù)(Positive-real function, PR, PRF) 可以被無源電路實現(xiàn),隨著時代發(fā)展,這部分內(nèi)容已經(jīng)被歸入到信號與系統(tǒng)中。
現(xiàn)在濾波器設(shè)計類書籍中討論最多的是第三個問題,即實現(xiàn)與等價,比如隨著計算機發(fā)展,我們還是沿著模擬濾波器的設(shè)計思路在設(shè)計數(shù)字濾波器,并且在不同平臺中實現(xiàn),如何讓資源最小,速度最快等等方向發(fā)展;另外往高頻方向發(fā)展就引出了微波射頻濾波器,如微帶濾波器,腔體濾波器等等。現(xiàn)在工程中濾波器設(shè)計也主要集中在這一方面;有源器件發(fā)展的進步也豐富了濾波器設(shè)計。
現(xiàn)在關(guān)注最少的就是沒有被提及的第二個問題,即近似(逼近,Approximation),濾波器近似可以說不是工程師的強項,因為這涉及到太多太復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識,從濾波器名字可以看出,這里用到了多少數(shù)學(xué)知識:
濾波器類型 | 相關(guān)人物 | 國籍 | 頭銜 |
---|---|---|---|
巴特沃斯濾波器 | 巴特沃斯 | 英國 | 物理學(xué)家 |
切比雪夫濾波器 | 切比雪夫 | 俄羅斯 | 數(shù)學(xué)家 |
橢圓函數(shù)濾波器 | 雅可比 | 德國 | 數(shù)學(xué)家 |
卡爾 | 德國 | 數(shù)學(xué)家 | |
貝塞爾濾波器 | 貝塞爾 | 德國 | 數(shù)學(xué)家 |
勒讓德濾波器 | 勒讓德 | 法國 | 數(shù)學(xué)家 |
高斯濾波器 | 高斯 | 德國 | 數(shù)學(xué)家 |
可以看到一票的數(shù)學(xué)家,這方面發(fā)展現(xiàn)在主要集中在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,比如逼近論就是數(shù)學(xué)的一個分支。
本文并不會嚴格的對數(shù)學(xué)公式進行推導(dǎo),只是從工程師角度去直觀理解濾波器設(shè)計所用的逼近方法,讓人不再對濾波器設(shè)計存在盲區(qū)和疑惑。
另外下述討論的濾波器設(shè)計逼近方法都是針對低通濾波器而言。
下圖是對濾波器綜合設(shè)計流程的梳理:
在濾波器逼近中最重要的是一步就是確定 約束條件 ,通俗一點講就是提指標(biāo)。下述濾波器逼近中單獨將約束條件作為一個小結(jié)來說明。
特征函數(shù)(The Characteristic Function)
在電路中,歷史上濾波器傳遞函數(shù)定義是:
由電壓轉(zhuǎn)到功率:
再由功率反射,得到反射系數(shù),即反射到信號源的功率和輸入總功率的比值:
聯(lián)立(1),(2)得到:
令,得到
這里的就是 特征函數(shù) 。
特征函數(shù)有個好處是它只關(guān)注濾波器形狀本身,并不關(guān)心濾波器的這個低頻分量1,從而簡化了計算,以下我們對濾波器函數(shù)的逼近最終都逼近到特征函數(shù)為止。
濾波器的衰減用如下公式計算,單位為dB:
現(xiàn)在濾波器設(shè)計中我們往往使用如下傳遞函數(shù)表示幅頻響應(yīng):
注意它的dB形式和衰減的dB形式函數(shù)圖像沿著橫坐標(biāo)鏡像對稱。
巴特沃斯濾波器逼近
巴特沃斯濾波器是具有最平坦頻響特性的濾波器,如何理解這句話?在低通濾波器中,最平坦是指0頻率處有最平坦特性,假設(shè)特征多項式為,其中為截止頻率處的最大衰減量。
約束
由前面可知要實現(xiàn)一個可以綜合的網(wǎng)絡(luò),首先我們要找到一個正實函數(shù)來逼近所需要的特性,要滿足0頻率處由最平坦特性,那么要求其:
- 1, 是一個階多項式(可實現(xiàn)性)
- 2, (低通定義,在頻率為0的位置無衰減)
- 3, (低通定義,截止頻率在1)
- 4, 在0頻率處各階導(dǎo)數(shù)為0(在最低頻率處具有最平坦特性)
函數(shù)逼近
由以上約束條件1,我們定義多項式為:
由約束條件2,得到:
由約束條件4,我們求其1階導(dǎo)數(shù):
并且讓等于0,得到:
同理我們讓其2階導(dǎo)數(shù)為0,得到:
一直到第階導(dǎo)數(shù)為0,得到:
這時不能再求導(dǎo),因為再求導(dǎo)就會使得,那么就不是一個階多項式了。 到這里特征多項式變?yōu)?
由約束條件3,得到:
最終得到巴特沃斯濾波器特征函數(shù):
將巴特沃斯濾波器的幅頻響應(yīng)函數(shù)重寫如下:
擴展
若我們想要得到處具有最平坦響應(yīng)的低通濾波器,那么特征函數(shù)應(yīng)該是什么樣呢?
照例還是寫下約束條件:
- 1, 是一個階多項式(可實現(xiàn)性)
- 2, (低通定義,在頻率為0的位置無衰減)
- 3, (低通定義,截止頻率在1)
- 4, 在1/2頻率處各階導(dǎo)數(shù)為0(在最低頻率處具有最平坦特性)
m階導(dǎo)數(shù)等于0,且,且,得到個方程的方程組:
設(shè),則有
解得:,最終得多項式為:
設(shè),則有
解得:
最終得多項式為:
繪制5階和7階頻響曲線如下:
從頻響曲線可以看出,在處有最大平坦特性,在這里我們綜合出了一種特殊的濾波器!
比較這種B0p5(暫且叫做這個B0p5)濾波器和傳統(tǒng)的巴特沃斯濾波器特性,有圖有真相(圖中比較位置將巴特沃斯濾波器頻響往下移動并和B0p5重合,方便比較):
結(jié)果顯示對于高階,B0p5和普通巴特沃斯在高頻抑制方面基本沒有太大區(qū)別,區(qū)別在于快接近截止頻率處B0p5要更為平坦,但是其代價就是犧牲了插損,差不多有1dB!有得必有失。
切比雪夫濾波器逼近
實際應(yīng)用巴特沃斯濾波器的過程中,有沒有發(fā)現(xiàn)一個問題,即巴特沃斯濾波器在截止頻率附近的衰減都比較大,比如要濾除一個點頻測試源的3次諧波,那么截止頻率設(shè)計值要比實際有用信號頻率值要高很多才不至于將我們關(guān)心的基波頻率衰減很多。這也從側(cè)面反應(yīng)了巴特沃斯濾波器的一個缺點是為了保證0頻率附近的平坦性,犧牲了其他頻率的插損。尤其頻率越高插損越大。
所以為了解決這個問題,人們改變了濾波器綜合思路,不再去強調(diào)某一個點的特性,我們關(guān)注一個頻段的特性,這也就是我們將要介紹的切比雪夫濾波器綜合所要討論的內(nèi)容。
切比雪夫濾波器特性是通帶范圍內(nèi)具有等紋波特性。假設(shè)特征多項式為,其中為通帶紋波。
約束
由前面可知要實現(xiàn)一個可以綜合的網(wǎng)絡(luò),首先我們要找到一個正實函數(shù)來逼近所需要的特性,要滿足在通帶內(nèi)具有等紋波特性,那么要求其:
- 1, 是一個階多項式(可實現(xiàn)性)
- 2, (低通定義,截止頻率在1)
- 3, 在通帶內(nèi)擺動幅度在內(nèi)(通帶內(nèi)等紋波特性)
- 4, 是奇函數(shù)如果為奇數(shù); 是偶函數(shù)如果為偶數(shù)(可實現(xiàn)性,方便實現(xiàn))
函數(shù)逼近
這里為了簡單起見,只對進行討論,其他階數(shù)的任意階濾波器都可以用類似的方法去推導(dǎo)。 首先我們由約束2,3和4繪出階濾波器的的大致函數(shù)圖像(階函數(shù)具有個過0點):
由約束1,令特征多項式為一個5次多項式:
若對這個方程求導(dǎo),則得到一個4次方程,這個方程有4個根,由上述曲線極值點位置,可以得到這4個根,則列出第一個方程:
為了再和這些根扯上關(guān)系,繪出的函數(shù)圖像
那么依據(jù)過0點位置,我們又可以得到一組方程:
這里要注意,由于曲線在拐彎的位置是有兩個重根的,上式驗算下方程的方次也可以推算出來。 同理,我們繪出的函數(shù)圖像
那么依據(jù)過0點位置,我們還可以得到一組方程:
將(8)和(9)左右相乘得到:
將(7)和(10)聯(lián)立得到:
式(11)變形如下:
上式微分方程可以通過兩邊積分,得到:
于是得到時眾所周知的切比雪夫函數(shù):
對于其他階數(shù)的切比雪夫濾波器,可以用同樣的辦法,最終得到階切比雪夫函數(shù)為:
另外,對于這個公式比較嚴謹?shù)耐茖?dǎo)見譯文《切比雪夫逼近方法》。
擴展
假設(shè)我們不關(guān)心低通濾波器的低頻第一個紋波,而是讓低頻到之間在之間等紋波,低頻之間有最大值,那么應(yīng)該如何進行函數(shù)逼近呢? 照例列出約束條件:
- 1, 是一個階多項式(可實現(xiàn)性)
- 2, (低通定義,截止頻率在1)
- 3, 在通帶內(nèi)擺動幅度在內(nèi)(規(guī)定的通帶內(nèi)等紋波特性)
- 4, 是奇函數(shù)如果為奇數(shù); 是偶函數(shù)如果為偶數(shù)(可實現(xiàn)性,方便實現(xiàn))
PS. 這里暫時討論偶數(shù)階情況,具體的;奇數(shù)階情況非常復(fù)雜,留著以后討論。
則特征多項式為:
同樣的對其進行求導(dǎo)得到:
然后計算,得到:
然后計算,得到:
同樣將上式左右兩邊相乘:
將微分方程代入上式:
整理得到:
其中
所以最終結(jié)果為:
不同下繪圖:
!
實際上這種濾波器名叫Achieser–Zolotarev濾波器或Zolotarev濾波器,在數(shù)字濾波器和微波濾波器中有應(yīng)用。
橢圓函數(shù)濾波器逼近
由[模擬無源濾波器設(shè)計(六)-Chebyshev濾波器設(shè)計詳解]可知逆切比雪夫濾波器"具有最平坦的通帶頻率響應(yīng),阻帶具有等紋波特性",而同樣具有最平坦通帶響應(yīng)的巴特沃斯濾波器,同樣的階數(shù),那么為什么逆切比雪夫濾波器過渡帶如此陡峭呢,究其原因就是因為逆切比雪夫濾波器的零點不在無窮遠,它以犧牲無窮遠處的衰減為代價換來了陡峭的過渡帶。
那么沿著同樣的思路,對于切比雪夫濾波器具有的無窮遠處的極點,我們是否也可以將其移動到有限位置,從而讓過渡帶更加陡峭呢,答案是肯定的,這就是這一節(jié)所介紹的橢圓函數(shù)濾波器。
橢圓函數(shù)濾波器是通帶和阻帶都具有等紋波特性的濾波器。假設(shè)特征多項式為,其中為通帶紋波。
約束
由前面可知要實現(xiàn)一個可以綜合的網(wǎng)絡(luò),首先我們要找到一個正實函數(shù)來逼近所需要的特性,要滿足在通帶和阻帶內(nèi)都具有等紋波特性,那么要求其:
- 1, 是階的兩個有理數(shù)多項式之比(可實現(xiàn)性)
- 2, (自逆性,方便實現(xiàn))
- 3, 是奇函數(shù)如果為奇數(shù); 是偶函數(shù)如果為偶數(shù)(可實現(xiàn)性)
- 4, 的所有個零點都在頻帶內(nèi),所有個極點都在帶外(等紋波特性)
- 5, 在通帶范圍擺動幅度在內(nèi)(通帶內(nèi)等紋波特性)
- 6, (低通定義,截止頻率在1)
- 7, 在阻帶范圍擺動幅度在內(nèi),其中和都在范圍內(nèi)(阻帶內(nèi)等紋波特性)
函數(shù)逼近
對于為偶數(shù),由約束1, 2, 3, 4可得,有如下形式的多項式結(jié)構(gòu):
這種結(jié)構(gòu)特點是零極點相互關(guān)系固定,當(dāng)確定了零點位置那么極點位置也就確定了,并且通帶和阻帶零極點關(guān)于對稱。
為簡便直觀起見,這里對進行函數(shù)逼近。
繪出得草圖,得到:
和之前切比雪夫逼近類似,首先建立微分關(guān)系,從圖中可以觀察到對于階的函數(shù),其通帶內(nèi)極值點在值為1處有個(圖中的和),在通帶內(nèi)值為-1處的極值點有個(圖中的, 和);在阻帶值為處有個(圖中的和),在阻帶值為處有個(圖中的, 和),在阻帶的極值點可以通過約束4來推導(dǎo),個數(shù)同通帶內(nèi)極值點。圖中所有極值點都用紅色字符標(biāo)注,注意無窮只算一個極值點。對于階函數(shù),總的極值點有個。函數(shù)求導(dǎo)并平方后的極值點個數(shù)為。
所有極值點都位于函數(shù)值等于和處,另外再除掉頻率為和的4個點(圖中的和)。
所以最終函數(shù)求導(dǎo)后再平方結(jié)果如下:
上式為常數(shù),化簡得到:
整理得到:
令,再次整理得到最終標(biāo)準微分方程:
對上式兩邊積分,得到第一類橢圓積分標(biāo)準形式,具體求解過程見《濾波器設(shè)計中的橢圓函數(shù)講解》,最終得到濾波器特征方程為:
是雅克比橢圓函數(shù),類比于三角余弦函數(shù),可以看到其方程形式和切比雪夫濾波器特征方程(15)一樣。
濾波器頻率響應(yīng):
式中, , 繪圖得到:
對于其他階橢圓函數(shù)濾波器,令并且,其特征函數(shù)標(biāo)準微分方程為:
上式是一個中間變量,便于分析和后續(xù)處理,最終特征函數(shù)為:
總結(jié)
本章節(jié)對巴特沃斯(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)、橢圓函數(shù)(Elliptic Function/Cauer)濾波器綜合中的逼近方法進行了講解,并且做了一些拋磚引玉式的擴展,總體來說函數(shù)逼近論比較復(fù)雜,比如對切比雪夫濾波器得擴展就在奇數(shù)階設(shè)計綜合中遇到了困難,這里涉及到比較多的雅可比橢圓函數(shù)的知識。后續(xù)的其他濾波器綜合類文章,都是按照濾波器綜合流程來行文,這樣更加系統(tǒng)和連貫。
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