電路概念之電容篇

一、前言

我兒子對(duì)電路板有一種近乎瘋狂的癡迷，每次周末加班的時(shí)候，他總是懇求我?guī)黄鸬?a target="_blank">公司，就是為了能夠看一看電路板、看一看電路焊接過(guò)程。為了不影響工作，我只能是找一些廢舊的電路板，加上從蝸窩同學(xué)那里搜刮來(lái)的電烙鐵給小朋友進(jìn)行電路焊接演示。廢舊電路板上有不少的器件，于是問(wèn)題少年的問(wèn)題就來(lái)了，芯片里面有什么？電路板是幾層的？電容的內(nèi)部結(jié)構(gòu)是什么？……于是乎鉗子、起子、剪刀等工具不斷的登場(chǎng)，我們家里就是一片狼籍，各種電子元件支離破碎……

其實(shí)打開(kāi)一個(gè)普通的電解電容，里面的結(jié)構(gòu)很簡(jiǎn)單，兩個(gè)鋁箔，一個(gè)絕緣紙卷在一起放到一個(gè)圓柱形的容器中，兩個(gè)鋁箔引出電容器的兩個(gè)引腳。那么它的具體功能是什么呢？當(dāng)然，給小朋友解釋很簡(jiǎn)單：就是用來(lái)存儲(chǔ)小電子的，不過(guò)作為工程師，我們當(dāng)然不能那么膚淺，本文的主題就一個(gè)：詳細(xì)描述電容的概念。

作為一個(gè)“數(shù)學(xué)控”，不拽上點(diǎn)數(shù)學(xué)總是覺(jué)得少了點(diǎn)什么。section 2描述了理解后續(xù)內(nèi)容需要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，理解這個(gè)章節(jié)的內(nèi)容需要單變量微積分和基本向量的知識(shí)。如果閱讀者覺(jué)得痛苦，那么不要猶豫，直接跳過(guò)這個(gè)章節(jié)。section 3描述了一些物理學(xué)的基礎(chǔ)，如果這也不是你的菜，那么我建議你記住計(jì)算平板電容之間電場(chǎng)的公式即可，其他的可以無(wú)視。section 4主要描述電容的概念，這是本文的核心內(nèi)容。

二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、曲面積分（Surface Integral）

在什么是電壓這篇文章中，我們描述了曲線積分，其實(shí)將曲線積分的概念推廣到3維空間中就可以得到曲面積分的定義。曲面積分是積分的一種。和普通積分不一樣的是：積分函數(shù)的取值沿的不是區(qū)間，而是特定的曲面，稱為積分路徑。對(duì)于曲面積分而言，被積函數(shù)可以是標(biāo)量函數(shù)（標(biāo)量場(chǎng)）或向量函數(shù)（向量場(chǎng)）。對(duì)于標(biāo)量場(chǎng)，積分的值是路徑各點(diǎn)上的函數(shù)值乘上相應(yīng)的權(quán)重（一般是曲面面積）的黎曼和；對(duì)于矢量場(chǎng)，積分的值是路徑各點(diǎn)上的函數(shù)值（該函數(shù)值是矢量）與曲面微元矢量的標(biāo)量積（例如點(diǎn)積）的黎曼和。

從定義中可以看出，散度是矢量場(chǎng)的一種強(qiáng)度性質(zhì)，就如同密度、濃度、溫度一樣，它對(duì)應(yīng)的廣延性質(zhì)是一個(gè)封閉區(qū)域表面的通量，所以說(shuō)散度是通量的體密度。物理上，散度的意義是場(chǎng)的有源性。某一點(diǎn)或某個(gè)區(qū)域的散度大于零，表示向量場(chǎng)在這一點(diǎn)或這一區(qū)域有新的通量產(chǎn)生，小于零則表示向量場(chǎng)在這一點(diǎn)或區(qū)域有通量湮滅。

三、物理學(xué)基礎(chǔ)

1 、電通量（electric flux）和高斯定理（Gauss’s Law）

之所以引入電通量這個(gè)概念主要是為了計(jì)算帶有電荷物體的電場(chǎng)強(qiáng)度。

在電磁學(xué)中，電通量是電場(chǎng)的通量，與穿過(guò)一個(gè)曲面的電場(chǎng)線的數(shù)目成正比。曲面S上的電通量由以下的曲面積分（surface integral）公式給出：

其中E是電場(chǎng)強(qiáng)度，dA是閉曲面S上的面積矢量的微分，其法線指向外側(cè)。運(yùn)算符號(hào)“?！北硎緝蓚€(gè)矢量的點(diǎn)乘（dot product），因此電通量是一個(gè)標(biāo)量。

對(duì)于封閉的高斯曲面，電通量由以下公式給出：

其中Qs是閉合曲面所包含的凈電荷（包括自由電荷和束縛電荷），ε0是真空電容率（permittivity of free space或者vacuum permittivity）。這個(gè)關(guān)系即為電場(chǎng)的高斯定律的積分形式。它也是麥克斯韋方程組的四個(gè)方程之一。

2、靜電平衡（electrostatic Equilibrium）

靜電平衡是指導(dǎo)體中的自由電荷（通常為帶負(fù)電荷的電子）所受到的力達(dá)到平衡而不再做定向運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。靜電平衡時(shí)，帶電導(dǎo)體上的電荷分布有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

（1）導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度為0，整個(gè)導(dǎo)體都是一個(gè)等勢(shì)體。我們假設(shè)帶電導(dǎo)體的內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度不是0的話，自由電子會(huì)在電場(chǎng)的作用下移動(dòng)，而不會(huì)是平衡狀態(tài)

（2）導(dǎo)體內(nèi)部沒(méi)有靜電荷，正負(fù)凈電荷只分布在導(dǎo)體的外表面。根據(jù)庫(kù)倫定理，多余的電荷是互相排斥的，靜電力會(huì)讓那些多余的電荷分布的盡量的遠(yuǎn)

（3）帶電導(dǎo)體的表面電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于表面且其大小和表面電荷密度成正比。如果不是垂直與表面，那么一定有切線上的分量，從而導(dǎo)致自由電子的移動(dòng)

（4）在導(dǎo)體表面，越尖銳的地方，電荷的密度（單位面積的電荷量）越大，凹陷的位置幾乎沒(méi)有電荷。稱為尖端放電現(xiàn)象。

3、利用高斯定理來(lái)計(jì)算帶電荷平板的電場(chǎng)強(qiáng)度

在掌握了高斯定律之后，我們可以利用這個(gè)定律和對(duì)稱性原理來(lái)計(jì)算帶電荷平板的電場(chǎng)強(qiáng)度。我們先計(jì)算一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的帶電平板導(dǎo)體周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度。根據(jù)上上節(jié)課的描述，電荷都是分布在導(dǎo)體的表面，我們假設(shè)電荷的密度是b庫(kù)倫/平方米。示意圖如下：

由于無(wú)限長(zhǎng)的帶電平板是對(duì)稱的，因此平板的上面的電場(chǎng)和下面的電場(chǎng)大小是相等的，并且方向相反。此外，電場(chǎng)強(qiáng)度（矢量）應(yīng)該是垂直于平板表面的。我們選擇一個(gè)閉合的圓柱體的高斯曲面，如途中黃色的區(qū)域。由于側(cè)面和電場(chǎng)方向是平行的，因此流過(guò)圓柱體側(cè)面的電通量是0。需要注意的是在導(dǎo)體內(nèi)部的那個(gè)圓柱體側(cè)面，由于導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)度等于0，因此，穿過(guò)平板導(dǎo)體的那部分圓柱體側(cè)面的電通量也是0。流過(guò)圓柱體頂面的電通量是E x 2A。其中A是圓柱體頂面或者地面的面積。根據(jù)高斯定律：

對(duì)于帶負(fù)電的無(wú)限長(zhǎng)的平板導(dǎo)體，其電場(chǎng)也是均勻場(chǎng)，只不過(guò)方向和上面的電場(chǎng)方向相反，當(dāng)我們把這兩塊平板導(dǎo)體放在一起的時(shí)候，由于電場(chǎng)滿足疊加定律，因此其電場(chǎng)的情況可以參考下圖：

也就是說(shuō)，兩個(gè)平行的帶電的平板導(dǎo)體（我們稱之平板電容）之外的電場(chǎng)強(qiáng)度等于0，而內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)度會(huì)double，也就是說(shuō)平板電容內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)度是：

四、電容（electrical capacitance）

1、電容的基本概念

電容是描述一個(gè)物體存儲(chǔ)電荷能力的參數(shù)。任何物體都有其電容參數(shù)，例如地球、人體。電容被定義為：

從上面公式可以看出，電容就是單位電壓下存儲(chǔ)電荷的能力。電容的單位是法拉（Farad）。1法拉等于1庫(kù)侖每伏特，即電容為1法拉的電容器，在正常操作范圍內(nèi)，每增加1伏特的電勢(shì)差可以多儲(chǔ)存1庫(kù)侖的電荷。

2、平板電容

常見(jiàn)的電容器是平板電容器，它是由互相平行、以空間或介電質(zhì)（dielectric）隔離的兩片薄板導(dǎo)體構(gòu)成。當(dāng)給兩片導(dǎo)板之間的加上V的電壓的時(shí)候，兩片導(dǎo)板分別攜帶了＋Q和－Q的電荷，導(dǎo)板之間形成均勻電場(chǎng)。根據(jù)上節(jié)的知識(shí)可知電場(chǎng)為：

A是平行板電容器的兩片導(dǎo)板的面積。是電介質(zhì)的電容率（permittivity）。對(duì)于真空，其電介質(zhì)的電容率是ε0，也就是傳輸中的真空電容率。如果兩個(gè)平板相距d，這時(shí)候，兩個(gè)平板之間的電壓差等于Ed（電壓差應(yīng)該是電場(chǎng)強(qiáng)度和距離矢量微分點(diǎn)積的曲線積分，不過(guò)由于是均勻電場(chǎng)，因此曲線積分變成相乘）。

根據(jù)電容公式，平板電容可根據(jù)如下公式進(jìn)行計(jì)算：

根據(jù)電容公式，要想增加電容值，可以加大平板電容的面積（這也是為何在電容使用卷曲的方式塞進(jìn)一個(gè)圓柱體中，主要為了增加A），減少兩個(gè)金屬平板之間的距離或者使用電容率比較大的材料放置到平板電容之間。

電容是一個(gè)儲(chǔ)能器件，當(dāng)電容放電就是能量釋放的過(guò)程。下面我們從能量的角度來(lái)看看平板電容器。我們假設(shè)剛開(kāi)始的時(shí)候，電容器的兩個(gè)平板都是不帶電的，因此電勢(shì)相等，沒(méi)有電壓（電勢(shì)差）。當(dāng)把一個(gè)微小的dQ電荷從負(fù)極板移動(dòng)到正極板，這時(shí)候，正極板攜帶dQ的正電，負(fù)極板攜帶dQ的負(fù)電，兩塊電極板之間會(huì)有均勻電場(chǎng)，就會(huì)產(chǎn)生電壓dV＝（1/C）dQ。一旦有了電壓差，隨后電荷的移動(dòng)就需要克服電場(chǎng)力做功，公式如下：

dW＝E x dQ x d＝V x dQ＝（1/C）QdQ

其中V就是進(jìn)行dQ搬移時(shí)候的電壓差，這個(gè)值是不斷變化的，是Q的函數(shù)。當(dāng)完成Q庫(kù)倫的電荷搬移之后所做的total work應(yīng)該是對(duì)上面的公式進(jìn)行積分運(yùn)算，最終可以得到結(jié)果是：

W＝（1/2）QV ＝ （1/2）CV^2

一個(gè)電容能存儲(chǔ)多少能量是和其電容參數(shù)相關(guān)，C越大，儲(chǔ)能越多。如果固定了C，電壓越大，儲(chǔ)能越大，不過(guò)電壓不能無(wú)限制的增加，當(dāng)大到一定程度的時(shí)候，電容器會(huì)被擊穿。

3、如何計(jì)算地球的電容？

當(dāng)使用電容這個(gè)術(shù)語(yǔ)的時(shí)候通常是講的“互電容”（mutual capacitance），比如：平行板電容器的兩片平板導(dǎo)體之間的電容。當(dāng)計(jì)算單獨(dú)導(dǎo)體的電容的時(shí)候，需要使用另外一個(gè)術(shù)語(yǔ)叫做“自電容”（self-capacitance），即單獨(dú)導(dǎo)體的電勢(shì)每增加1V所需的電荷量。對(duì)于自電容，我們需要設(shè)定一個(gè)電勢(shì)為0的參考面。我們一般假設(shè)這電勢(shì)等于零的參考點(diǎn)為一個(gè)理論球殼導(dǎo)體，其半徑為無(wú)窮遠(yuǎn)，其球心與單獨(dú)導(dǎo)體同心。

地球是一個(gè)導(dǎo)體，我們可以把地球看成是半徑為R的球形導(dǎo)體，利用高斯定律（選取和地球同心的球面作為高斯曲面）可以計(jì)算出攜帶Q庫(kù)倫電荷的地球周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度：