如何用觀察法直接寫(xiě)出補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)中的零極點(diǎn)的表達(dá)式？

在前面的文章中，我們分別整理了OTA和OPA型的補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)時(shí)有下面的結(jié)論。



針對(duì)某個(gè)固定的補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，我們可以用數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)。

比如下面OPA的I型補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)，求解零極點(diǎn)的過(guò)程如下：



上面是純粹數(shù)學(xué)方式求解的結(jié)果，從結(jié)果可以看出I型補(bǔ)償只有極點(diǎn)，沒(méi)有零點(diǎn)，相對(duì)來(lái)說(shuō)還算簡(jiǎn)單。

下面求解II型補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)，寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)零極點(diǎn)的形式：





從上面的求解過(guò)程來(lái)看，是相當(dāng)?shù)膹?fù)雜，而且這還是II型的補(bǔ)償，換成III型的補(bǔ)償，這個(gè)求解的過(guò)程會(huì)更復(fù)雜！

不信你看下面這個(gè)III型的補(bǔ)償器，求解出的傳遞函數(shù)



這是人家整理好的表達(dá)式，可以直接看出直流增益，零極點(diǎn)的位置。

如果要是自己求解的，按照上面II型的方法，至少需要10分鐘才能求解出來(lái)一個(gè)，而且還不一定對(duì)。

最近在開(kāi)關(guān)電源大牛巴索的書(shū)里面找到一種簡(jiǎn)潔的方法求解零極點(diǎn)的方法，因此結(jié)合前面我自己都認(rèn)為很復(fù)雜的過(guò)程，來(lái)看下這種簡(jiǎn)單的方法。

書(shū)中以一個(gè)簡(jiǎn)單的串并聯(lián)電路為例：



對(duì)于這個(gè)網(wǎng)絡(luò)，開(kāi)始沒(méi)人知道這個(gè)傳遞函數(shù)有幾個(gè)零極點(diǎn)，也不知道是否存在零點(diǎn)和極點(diǎn)，但是由于只有電容一個(gè)存儲(chǔ)元件，最后傳遞函數(shù)的表達(dá)式可以寫(xiě)成如下的結(jié)構(gòu)：



下面就是根據(jù)電路的性質(zhì)，直接寫(xiě)成G，Wz，Wp的值，那么就可以得到傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)。

首先是求解直流增益，即s=0，此時(shí)電容相當(dāng)斷開(kāi)，所以G可以求出：



其次是求解零點(diǎn)，零點(diǎn)的定義是讓激勵(lì)信號(hào)永遠(yuǎn)不能到達(dá)輸出的頻率點(diǎn)，基于這個(gè)邏輯，我們需要找到電路中能阻止激勵(lì)信號(hào)往輸出傳遞的器件。

作者在書(shū)中提到了兩種可能性：信號(hào)串聯(lián)的時(shí)候，器件在這個(gè)頻率點(diǎn)的阻抗的無(wú)窮大，或者這個(gè)器件在這個(gè)頻率點(diǎn)將信號(hào)連接到地上形成短路。

基于以上兩點(diǎn)作為前提，我們?cè)倏瓷鲜龅木W(wǎng)絡(luò)：



電容C是輸出端的以并聯(lián)的形式的加入，這是要滿(mǎn)足兩種可能性中的一種，只有一種情況，那就是R2+C1的阻抗為0，此時(shí)傳遞函數(shù)的分子為0。



可以求出零點(diǎn)的位置



最后是求解傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，求解極點(diǎn)的方法作者在書(shū)中介紹的是電路拓?fù)涞臅r(shí)間常數(shù)，在求解的時(shí)候，電壓源短路，電流源是開(kāi)路，有點(diǎn)類(lèi)似求解等效電阻的意思。



時(shí)間常數(shù)：



對(duì)于一階系統(tǒng)，極點(diǎn)等效時(shí)間的常數(shù)，因此可以直接推導(dǎo)出極點(diǎn)：



所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

?

如果不用作者的方法，我自己也推導(dǎo)了一下，過(guò)程如下：



推導(dǎo)的過(guò)程明顯比作者說(shuō)的觀察法難很多?。。?有了上面的內(nèi)容，我們將上述的結(jié)論用在有補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)里面。



下面用前面的的理論來(lái)推導(dǎo)I型補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn):



零點(diǎn)，輸出為0，分,子為0，則Z2=0，則1/Sc=0，則頻率為無(wú)窮大，實(shí)際中確定RC參數(shù)，頻率不可能無(wú)窮大，因此，I型補(bǔ)償 網(wǎng)絡(luò)沒(méi)有零點(diǎn)。

極點(diǎn)，時(shí)間常數(shù)，Rf1C，所以存在極點(diǎn)：



推導(dǎo)II型補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)



零點(diǎn)，輸出為0，分子為0，則Z2=0，要使Z2的阻抗為0，C1的阻抗不能為0 ，只有RF3和C2的阻抗為0，因此，此時(shí)存在一個(gè)零點(diǎn)：



極點(diǎn)：極點(diǎn)是分母為0，在一階系統(tǒng)中是求解電路網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的時(shí)間常數(shù)，而在在二階系統(tǒng)中此種方法無(wú)法用。

此時(shí)，可以借鑒零點(diǎn)的求法，極點(diǎn)的定義是讓傳遞函數(shù)的分母為0，則整個(gè)系統(tǒng)的值為無(wú)窮大，那么Z2的阻抗為無(wú)窮大。

（1）當(dāng)頻率為0時(shí)，電容C1的阻抗為無(wú)窮大，此時(shí)存在零極點(diǎn) （

2）當(dāng)頻率為0時(shí)，電容RF3和C2的阻抗為無(wú)窮大，此時(shí)存在零極點(diǎn) 上述兩個(gè)零極點(diǎn)的頻率都是在頻率為0，因此是同一個(gè)零極點(diǎn)



（3）當(dāng)頻率為f時(shí)，電容C1和RF3以及C2的串并聯(lián)阻抗無(wú)窮大，除了頻率為0的時(shí)刻，還存在另外一個(gè)頻率f，即?Rf3+C2+C1的阻抗一起為無(wú)窮大




推導(dǎo)III型補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)



III型補(bǔ)償相比II型補(bǔ)償增加了一個(gè)電阻電容，推導(dǎo)方式和前面基本一致，但是增加的RF4，C3和電阻RF1之間可以有兩種類(lèi)型的組合。

當(dāng)Rf4+C3阻抗為0時(shí)，系統(tǒng)增加一個(gè)極點(diǎn)，這樣的頻率是存在的，因此此時(shí)的極點(diǎn)為

?

同理，Rf4+C3+RF1的阻抗為無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)增加了一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)的零點(diǎn)



III型的另外幾個(gè)零極點(diǎn)和II型的一樣，這里不贅述。

上面的方面可以很快確定零極點(diǎn)，但是對(duì)于靜態(tài)增益無(wú)法求出。

對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)，求解傳遞函數(shù)比較困難時(shí)，通過(guò)這種方法可以很快看出零極點(diǎn)。

但是沒(méi)辦法將整個(gè)傳遞函數(shù)形式表達(dá)清楚，所以方法有利有弊。?








審核編輯：劉清