補碼加法,補碼加法計算原理

補碼加法,補碼加法計算原理
　　
　　負(fù)數(shù)用補碼表示后，可以和正數(shù)一樣來處理。這樣，運算器里只需要一個加法器就可以了，不必為了負(fù)數(shù)的加法運算，再配一個減法器。
　　
　　補碼加法的公式是
　　
　　[ｘ]_補＋[ｙ]_補＝[ｘ＋ｙ]_補? (mod 2) (2.17)
　　
　　現(xiàn)分四種情況來證明。假設(shè)采用定點小數(shù)表示，因此證明的先決條件是
　　
　　︱ｘ︱﹤1， ︱ｙ︱﹤1， ︱ｘ＋ｙ︱﹤1。
　　
　　(1)ｘ﹥0，ｙ﹥0，則ｘ＋ｙ﹥0。
　　
　　相加兩數(shù)都是正數(shù)，故其和也一定是正數(shù)。正數(shù)的補碼和原碼是一樣的，可得：
　　
　　
　　[ｘ]_補＋[ｙ]_補＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]_補　　???? 　(mod 2)
　　
　　(2)ｘ﹥0，ｙ﹤0，則ｘ＋ｙ>0或ｘ＋ｙ<0。
　　
　　相加的兩數(shù)一個為正，一個為負(fù)，因此相加結(jié)果有正、負(fù)兩種可能。根據(jù)補碼定義，
　　
　　∵　　[ｘ]_補＝ｘ，　　　[ｙ]_補＝2＋ｙ
　　
　　∴　　[ｘ]_補＋[ｙ]_補＝ｘ＋2＋ｙ＝2＋(ｘ＋ｙ)
　　
　　當(dāng)ｘ＋ｙ>0時，2 ＋ (ｘ＋ｙ) > 2，進(jìn)位2必丟失，又因(ｘ＋ｙ)>0，
　　
　　故　　[ｘ]_補＋[ｙ]_補＝ｘ＋ｙ＝[ｘ＋ｙ]_補　???? 　　?? (mod 2)
　　
　　當(dāng)ｘ＋ｙ<0時，2 ＋ (ｘ＋ｙ) < 2，又因(ｘ＋ｙ)<0，
　　
　　故　　[ｘ]_補＋[ｙ]_補＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]_補　　　(mod 2)
　　
　　(3)ｘ<0，ｙ>0，則ｘ＋ｙ>0或 ｘ＋ｙ<0。
　　
　　這種情況和第2種情況一樣，把ｘ和ｙ的位置對調(diào)即得證。

(4)ｘ<0，ｙ<0，則ｘ＋ｙ<0。
　　
　　相加兩數(shù)都是負(fù)數(shù)，則其和也一定是負(fù)數(shù)。
　　
　　∵　　[ｘ]_補＝2＋ｘ，　　　[ｙ]_補＝2＋ｙ
　　
　　∴　　[ｘ]_補＋[ｙ]_補＝2＋ｘ＋2＋ｙ＝2＋(2＋ｘ＋ｙ)
　　
　　上式右邊分為“2”和(2＋ｘ＋ｙ)兩部分.既然(ｘ＋ｙ)是負(fù)數(shù)，而其絕對值又小于1，那么(2＋ｘ＋ｙ)就一定是小于2而大于1的數(shù)，進(jìn)位“2”必丟失.又因(ｘ＋ｙ)<0，所以
　　
　　[ｘ]_補＋[ｙ]_補＝2＋(ｘ＋ｙ)＝[ｘ＋ｙ]_補　　　(mod 2)
　　
　　至此我們證明了，在模2意義下，任意兩數(shù)的補碼之和等于該兩數(shù)之和的補碼.這是補碼加法的理論基礎(chǔ)，其結(jié)論也適用于定點整數(shù)
　　
　　[例8] ｘ＝0.1001， ｙ＝0.0101，求ｘ＋ｙ。
　　
　　[解:]

　　[ｘ]_補＝0.1001，[ｙ]_補＝0.0101
　　
???
　　
　　所以?。剑?.1110
　　
　　[例9] ｘ＝＋0.1011， ｙ＝－0.0101，求ｘ＋ｙ。
　　
　　[解:]
　　
　　[ｘ]補＝0.1011，[ｙ]補＝1.1011
　　
???
　　
　　所以?。?.0110

　　由以上兩例看到，補碼加法的特點，一是符號位要作為數(shù)的一部分一起參加運算，二是要在模2的意義下相加，即超過2的進(jìn)位要丟掉。