如何用模擬的方式去理解零知識證明

相信很多人都聽說過零知識證明，但是只有極少數人聽說過模擬，然而模擬是理解零知識的關鍵。

如果從直覺主義角度解釋，要證明一個交互系統(tǒng)中存在信息泄露，那么你只需要指證：第幾個 bit 導致信息泄露即可；但如果要證明不存在信息泄露，那么你要對著所有信息流中的所有 bit 說，這從1，2，3，4，5，…… 編號的 bit 都沒泄露任何信息?？垂賯?，這是不是很難？

安全的定義與不可區(qū)分性

首先，一個交互式系統(tǒng)，也就是一個對話，它的「零知識」需要證明。畢竟，現代密碼學是建立在嚴格的形式化系統(tǒng)之上。在證明之前，還需要明確「安全假設」到底有哪些。所謂安全假設，比如我們說一個系統(tǒng)的權限隔離做得無比精確，每一個用戶只能看到被授權的信息，但是這基于一個安全假設：管理員賬號沒有被破解。又比如在手機銀行軟件里，只能通過短信認證碼，才能完成轉賬功能，這也基于一個安全假設：你的手機 SIM 卡沒有被克隆。如果我們深入地分析每一個我們感覺安全的系統(tǒng)，都存在大量的似乎不那么穩(wěn)固的安全假設。比特幣私鑰安全嗎？比特幣賬戶的安全假設也不少：首先你的助記詞不能讓別人知道，手機錢包里私鑰保存加密算法足夠強，密鑰派生算法正規(guī)，你不能忘記助記詞，等等等。

脫離安全假設來談安全都是在耍流氓。一切安全都有前提的。只有經過數學證明之后，大家才能夠確信這個 算法/方案 的安全性基于一些非常明確的「安全假設」。

在證明之前，還缺少一個東西，那就是「安全定義」。在多數人的認知系統(tǒng)中，安全就是一個框，什么都可以往里裝。大家應該好好提醒下自己，當談論安全二字的時候，有沒有想過到底什么是安全？怎么算安全？

「安全」需要有一個數學意義上的嚴格定義

偉大的科學家香農（Claude Shannon）從信息論的角度給出了一個非?？孔V的安全性定義［2］：

完美安全：假設你是一個攻擊者，你通過密文獲取不到任何有價值的信息，破解的唯一手段就是靠瞎蒙。

大家想一想，這個定義很有趣，通過密文獲取不到信息，這就意味著你沒有獲得任何額外的計算能力，能夠幫助讓你以更短的時間來計算出明文。

但是這個定義太完美，以至于使用的加密算法都很難滿足這個安全性定義。后來 Goldwasser 與 Micali 等人寫了另一篇載入史冊的經典『概率加密』［2］。

在這篇論文中定義了這樣一個概念：語義安全。所謂語義安全在完美安全的定義上放松了些要求。

語義安全：假設你是一個攻擊者，你通過密文在多項式時間內計算不出來任何有價值的信息。

好了，這個看起來靠譜多了。接下來一個問題就是，怎么理解「計算不出來信息」這個概念？這看來要對信息進行度量，信息的定義又是什么呢？

我們又引入一個概念——「不可區(qū)分性」，來重新表述加密算法的安全性：假設你是一個攻擊者，而我有一個加密算法：

OK，理解完「不可區(qū)分性」，我們再回到「零知識」，如何證明一個交互式系統(tǒng)是「零知識」呢？首先我們要定義下零知識這個概念。

注：不可區(qū)分性是概率意義上的不可區(qū)分；在學術上，它可以分為「完全不可區(qū)分」，「統(tǒng)計不可區(qū)分」，還有「計算不可區(qū)分」。在本文中，我們暫時不需要理解這些概念的差別。

遇見模擬器

先開個腦洞，設想在平行宇宙中，有兩個平行的世界，一個叫做「理想世界」（Ideal World），另一個叫做「現實世界」（Real World）。我們每一個個體可以在兩個平行世界中愉快地玩耍，但是兩個世界的普通人無法互相感知，也無法互相溝通。

假設「你」是一個很厲害的密碼破解者，而且「你」不是普通人，具備在平行宇宙之間穿梭的能力。而 Alice 有一個地圖三染色的答案，你的目的是通過和 Alice 對話來獲取地圖三染色的答案，會話的過程參考上一篇文章的「地圖三染色問題」協議。

繼續(xù)腦洞，Alice 只存在「現實世界」中；在「理想世界」，Alice 被「替換」成了一個長相與聲音一模一樣的個體，我們稱替身為 Zlice。下一步，把「你」同時放入兩個世界中，但不讓你知道是你當前位于哪一個世界。你的兩個分身所面對的都是一個 “Alice”模樣的人。

再重復一遍，在「現實世界」中， 與你對話的是一個真實的，并且誠實的 Alice；而在「理想世界」中，與你對話的是 Zlice （假 Alice），Zlice 雖然相貌語言與 Alice 并無二致，但差異是，Zlice 并不知道「知識」，即不知道一個三染色問題的答案。

接下來在這兩個世界中，你的兩個分身將同時與真假 Alice 進行對話。神奇的事情發(fā)生了，最終在兩個世界中，你的兩個分身都被說服了，都經過n輪挑戰(zhàn)，沒有發(fā)現對方作弊，即「你」的兩個分身都認為對方確實知道「答案」。換句話說，「你」沒有能力「區(qū)分」出來自己到底在 「現實世界」 還是 「理想世界」，當然也沒能力「區(qū)分」和自己對話的究竟是 Alice 還是 Zlice。不僅如此，對于吃瓜群眾我而言，如果把「我」作為觀察者放入任何一個世界中，我會和你一樣「無法區(qū)分」出來眼前的 這個長相為 “Alice” 的人到底是真還是假。

下面是燒腦結論：

這個交互系統(tǒng)為何是「零知識」？

因為 Zlice 是沒有任何知識，而且她和 Alice 不可區(qū)分。

我再換個方式解釋：因為你和我都沒辦法區(qū)分我們究竟是在哪個世界中，兩個世界發(fā)生的交互過程幾乎不可區(qū)分，而且其中一個世界中根本就不存在知識，因此，我們說這個交互協議——「地圖三染色問題」是「零知識的」。

這里還有個前提，理想世界必須是算法可構造的。然后，有一個「神」，他通過算法「模擬」了一個「理想世界」，其中構造了一個算法叫做 Zlice，她沒有「知識」作為輸入，也即「零知識」；除此之外，「理想世界」與「現實世界」一模一樣。

設想你在對話過程中，如果真 Alice 泄露了信息，那么你就能立即區(qū)分出面前這個人是 真 Alice 還是 Zlice，Zlice 是不可能偽裝泄露信息的。因此可以得出結論：

真 Alice 沒有泄露任何信息。

這個神，被稱為「模擬器」（Simulator），而在理想世界中，和你對話的這個 Zlice 幻象其實也是「模擬器」，你在理想世界中，所有能感知到的東西都是模擬器「模擬」出來的。

好了，到這里，我們用「模擬器」這個概念對「零知識」進行了定義。

接下來，我們開始進入證明零知識的環(huán)節(jié)。

區(qū)分兩個世界

證明的零知識過程，等價于構造（尋找）一個「模擬」算法，這個算法能夠讓模擬器來模擬出一個「沒有知識」的理想世界。如果這個算法存在，而且兩個世界不可區(qū)分，那么就證明完畢。

等等，可能「你」會覺得哪里不對勁。

假如說真的存在這種算法，而且它能夠在沒有知識的情況下騙過我，那么在「現實世界」中，不排除真 Alice 也使用了這樣的算法來欺騙我。這樣一來，我豈不是在兩個世界中都被欺騙了。那么這個交互協議就失去意義了。

其實，這里有個關鍵點，借用電影『盜夢空間』中的劇照，在「理想世界」中有點東西是和「現實世界」本質不同的。這個東西是區(qū)分兩個世界的關鍵，而它要讓我們「無法感知」。這個東西不是夢境中的陀螺，它是一種「超能力」，模擬器 Simulator 所具備的超能力。

比如這樣一種超能力：「時光倒流」。

等等，各位看官，不是剛才我們一直在討論不可區(qū)分性嗎？怎么兩個世界又需要區(qū)分啦？“我糊涂了”。不要慌，所謂的不可區(qū)分性針對的是理想世界中的個體認知而言。而「可區(qū)分性」是對位于世界外部的神而言。

設想下在我們周圍，如果有一個人有時空穿越能力，或者他能讓時間回退到一年前，那么我們這些凡夫俗子完全是一臉茫（meng）然（bi）的，無從感知。那么，如果「模擬器」可以在他構造出的「理想世界」中實現「時間倒流」，那么他就可以達成一些神奇的事情，從而騙過作為驗證者身份的「你」，也能騙過觀察者「我」。對于「你」而言，你明白，在「理想世界」中，時間是可以回退的，但是在「現實世界」中，顯然真 Alice 不可能擁有超能力。雖然你和我不能區(qū)分在哪個世界里，但是至少我們知道在兩個世界中的其中「現實世界」里，對面那個Alice是沒辦法欺騙我們的，當然我們卻不能說出我們到底在哪個世界中。

到此，交互協議的「零知識」已經證明完了。各位是否已經明白了？我再給大家再梳理下證明思路：

首先「零知識」是為了保護 Alice 的利益，因為 Alice 不想在交互過程中透露更多的信息給 Bob，不想讓 Bob 知道她所擁有的秘密 w，甚至不想讓 Bob 從交互的過程中分析出哪怕一丁點的信息。那么怎么保證這一點呢？「模擬器」這時候登場了，它能模擬出一個和現實世界外表一模一樣的「理想世界」，然后「模擬器」在這個世界中可以輕松地騙過任何一個對手，讓對方無法分辨自己是在現實世界中，還是理想世界中。因為「模擬器」手里沒有那個秘密 w，「理想世界」是零知識的。又因為兩個世界的不可區(qū)分性，所以我們可以得出結論：Alice 的交互協議是「零知識」的。

我們來看一個具體的例子，上一篇文章［1］中提到的地圖3染色問題。

地圖三染色問題的零知識證明

回憶一下「地圖三染色問題交互系統(tǒng)」：

· 第一步：Alice 把地圖染色答案做一次完全置換，然后將所有頂點蓋上紙片，交給 Bob

· 第二步：Bob 隨機挑選一條邊

· 第三步：Alice 打開指定邊的兩端頂點的紙片，Bob檢驗兩個頂點的顏色是否相同，如果不同則通過，如果相同則失敗

· 回到第一步，重復 n 遍

我們接下來就來證明上述這個交互是零知識的，這里先假設驗證者 Bob 是誠實的，這有助于大家理解這個證明過程。然后我們再討論，如果 Bob 不誠實的證明方法。

在「理想世界」中，跟 Bob 對話的是一個「模擬器」，它模擬出了整個世界的樣子。Bob 按照三染色問題的交互協議進行交互。模擬器并沒有一個三染色答案，它索性把所有的頂點都染成了灰色。

首先，模擬器模仿 Alice ，把每個頂點用紙片蓋起來。然后發(fā)給 Bob。

Bob 隨機挑選了一條邊，挑戰(zhàn)證明者。

Bob 這時候無法感知到時間已經倒退回第一步了，對他來說，一切都是新鮮的，他「誠實」地再次選擇了最下面的邊。

這時候模擬器就可以放心地打開紙片，讓 Bob 檢查。Bob 很顯然會被騙過。然后 Bob 一輪輪地重復這個過程，每一次模擬器都能用時間倒流的方式騙過 Bob。

于是在理想世界中，模擬器并沒有任何三染色答案的「知識」，卻同樣能騙過Bob，并且從概率上來看，與「現實世界」中被觀察到的交互過程高度地一致（完全一致的概率分布）。于是上面的過程展示了模擬器的算法的存在性，也就相當于證明了交互系統(tǒng)的「零知識性質」。

不誠實的 Bob

在上面的證明過程中，有一個相當強的假設，就是每次時間倒流之后，Bob都會選擇同一條邊。如果 Bob 每次都會換一條不同的邊呢？沒關系，如果在模擬器第一次實施時間倒流之后，Bob又選擇了不同的邊，那么模擬器可以把顏色打亂之后，再次運行時間倒流，在多次時間倒流之后，Bob 極大的概率總會一次選擇模擬器進行染色的那條邊，然后這時候模擬器才走到第三步，打開紙片。

阿里巴巴、洞穴與芝麻開門

在網上眾多的講解「零知識證明」的中文科普文章中，有一個例子流傳非常廣，這就是阿里巴巴與強盜的故事。可惜地是，這些不同版本的故事都只講了一半。那么我接下來講一個不一樣的「阿里巴巴」與「四十大盜」的故事：

在很久很久以前，在一個叫做巴格達的城市里，住著一個人叫阿里巴巴。每天阿里巴巴會到集市上買東西。

有一天，阿里巴巴被一個盜賊搶了錢包，于是他一路追著盜賊到了一個山洞口，然后盜賊就消失了。阿里巴巴發(fā)現洞口里面有兩條岔路，如下圖所示。

阿里巴巴不知道盜賊往哪邊跑了，于是他決定去「左邊」岔道看看，很快阿里巴巴就發(fā)現這是個死胡同，也不見盜賊蹤影。然后他又去「右邊」岔道檢查，也是個死胡同，不見盜賊蹤影。阿里巴巴自言自語道：「該死的盜賊跑哪去了呢？」

第二天，阿里巴巴又去集市買東西，這次另一個盜賊搶了他的籃子，然后阿里巴巴追著這個盜賊到了昨天同樣的山洞口，然后盜賊又不見了，這一次阿里巴巴決定先去「右邊」岔道看看，沒有發(fā)現盜賊，然后再去左邊看看，也同樣不見盜賊。這好奇怪。

第三天，第四天，……，第四十天，同樣的故事上演，阿里巴巴追著第四十個大盜到了神秘的洞口，盜賊就消失了。阿里巴巴想，這個山洞里面一定有機關，于是他躲在「右邊」岔道的盡頭，耐心地等了很長時間，這時一個盜賊跑了進來，走道岔道盡頭之后，念了一個咒語「芝麻開門」。這時候墻壁居然打開了，盜賊跑進去之后，然后墻壁又合上了，這時候另一個受害者追了進來，找了半天，一無所獲。

阿里巴巴隨后等他們走了之后，試驗了一下這個咒語，果然非常有效，而且阿里巴巴發(fā)現這個墻壁通向「左邊」岔道。后來，阿里巴巴找到了更換咒語的辦法，并且把一個新咒語和洞穴的地理位置寫在了一張羊皮紙上。

注：到這里，故事并沒有結束。..。 （上字幕）很久很久以后

在很多年后，到了80年代，阿里巴巴的羊皮紙流落到了幾個密碼學家手里，他們跑到巴格達，找到了洞穴的位置，盡管過了幾個世紀，咒語居然仍然有效，這幾個密碼學家興奮地打開墻壁，在兩個岔道之間跑來跑去。

一家電視臺很快知道了這個奇異事件，一個密碼學家 Mick Ali（與密碼學家 Micali 發(fā)音相似）決定向電視觀眾展示他知道這個咒語，首先，電視節(jié)目主持人把攝像機架在洞口，然后讓所有人都在山洞口等待，這時候 Mick Ali一個人進入到山洞中，然后主持人拋一個硬幣，來決定讓 Mick Ali 從哪個岔道跑出來。為了紀念阿里巴巴與四十大盜，Mick Ali 重復了四十遍每次都成功。

節(jié)目非常成功。但很快，另外一個電視臺眼紅，也想拍一個類似的節(jié)目，但是Mick Ali 因為簽了獨家協議，沒辦法參與這個新節(jié)目。怎么辦呢？第二個電視臺的主持人心生一計，他找了一個和 Mick Ali 很像的演員，穿著打扮、姿態(tài)和說話口音都模仿 Mick Ali。然后他們開拍了，每次主持人擲硬幣后，都讓這個演員跑出來，但是很顯然，演員并不知道咒語，沒辦法打開那個墻壁。于是有時候演員碰巧會成功，有時候則會失敗，于是演員很辛苦，重復了將近一百次，才成功了四十次。最后這個狡猾的新節(jié)目主持人，把錄制視頻進行了剪輯，只保留了成功的片段，錯誤的片段都刪除了。然后這個新節(jié)目和 Mick Ali 的節(jié)目在同一時間，不同頻道播出。然后觀眾們完全無法區(qū)分哪個視頻是真的，哪個視頻是假的。第一個電視臺的主持人完全明白 Mick Ali 是真正知道墻壁的咒語的人，但是他卻不能把這個事實傳遞給無辜的觀眾們。

看到這里，大家是不是對「模擬」慢慢有了感覺？這里第二個電視臺的主持人通過剪輯視頻的方式，而不是「時間倒流」。他對「理想世界」，也就是電視中播出的內容所在的世界，進行了外部干預，達到了同樣的效果。對理想世界而言，這種剪輯本質上就是一種超能力。

這個故事其實來源于一篇論文『如何向你的孩子解釋零知識證明』（How to Explain Zero-Knowledge Protocols to Your Children）［3］，發(fā)表在1989年的美密會議上。

模擬與圖靈機

一談到超能力，大家有沒有覺得這玩意不科學。是的，如果我們無腦地用「超能力」來解釋任何事情，那么我們邏輯就無法自?。–onsistent）。在理想世界中，模擬器是不能隨便開掛的，比如模擬器肯定不能直接修改 Bob 的內部狀態(tài)，比如 Bob 在驗證步驟明明驗證失敗，但是模擬器強硬去把驗證結果改為「接受」，這會導致我們可以證明：「任何的交互系統(tǒng)都是零知識的」，這個錯誤結論。

模擬器不是理想世界中全能的上帝。

那么模擬器到底可以是什么呢？模擬器其實只是一個圖靈機。所謂的「時間倒流」，「剪輯錄像」這類的所謂超能力并不是玄乎的超自然能力，而是圖靈機可以實現的功能。計算機專業(yè)的朋友們肯定都用過 VMWare，虛擬機之類的軟件，本文講的「模擬器」完全可以想象成一個「虛擬機」軟件，它能虛擬出一個計算機環(huán)境，這個虛擬環(huán)境就是我們上文說的「理想世界」?！笗r間倒流」如何解釋呢？不知道大家有沒有用過虛擬機軟件的「快照」功能（Snapshot），使用快照的時候，虛擬機軟件可以把整個虛擬計算機的所有狀態(tài)保存下來，然后在任意時刻，虛擬機軟件都可以重新回到保存快照的位置繼續(xù)運行。

注：其實所謂時間倒流是計算機中的一個基本操作，在程序語言理論中有一個概念叫做 Continuation。抽象地講，Continuation 表示從現在開始到未來的計算。Continuation這是控制流的一個顯式抽象，而 goto，call-with-current-continuation，甚至 thread scheduling 都可以看做是操作 Continuation 的操作符。比如采用call/cc，也就是call-with-current-continuation 就可以輕松地實現「回溯」功能。保存快照可以理解為保存當前的 Continuation，而回到過去的某一刻，就是應用這個 Continuation。

不管 Zlice 還是 Bob，還有我們的每一個觀察者，都是一個個可執(zhí)行程序。這些程序被拷貝到了虛擬機里。Zlice 與 Bob 的會話實際上就是這兩個程序之間的通訊。觀察者是 Hook 在 Zlice 與 Bob 進程 IO 上的程序。在上文的地圖三染色「理想世界」的誠實 Bob，實際上是 Bob 進程調用了虛擬機的「隨機數發(fā)生器」，而這個隨機數發(fā)生器是能被 Zlice 操縱的?！脯F實世界」是外部運行虛擬機軟件的計算機環(huán)境。

大家是不是又有所悟，我再強調一下：

證明零知識的過程，就是要尋找一個算法，或者更通俗點說，寫出一段代碼，它運行在外部計算機系統(tǒng)中，但是實現了虛擬機的功能。而且在虛擬機中，需要有一個不帶有「知識」作為輸入的 Zlice，可以騙過放入虛擬機運行的 Bob。

如果還沒理解上面我這句話，請時光回退到『區(qū)分兩個世界』這一小節(jié)，重新思考模擬。：P （Load World State from Snapshot X）

柏拉圖的洞穴寓言

模擬無處不在，哥德爾不完備性定理就使用了模擬的概念，用哥德爾數（Godel Numbers）模擬了形式算術。圖靈提出了「Universal Turing Machine」（通用圖靈機）的概念，這種圖靈機可以模擬自身。

但最早的「模擬」概念，出自『理想國』一書的第七卷［4］中，古希臘哲學家柏拉圖講了這么一則寓言——Allegory of Cave：

設想在一個暗無天日的山洞中，有一排被鎖鏈鎖住的囚徒，他們從小就只能看到前方的墻壁。這些囚徒們身后是一堵墻，再后面有一堆放著火，在火與墻壁之間，有一些人舉著道具和木偶來回走，這樣道具木偶就會在火光映射下在墻壁上投下影子。而這些囚徒們整天就只能看著這些影子。因為這些囚徒們從打出生起，所聞所見就只是前方洞壁上的各種影子，他們會以為所看到的這些影子就是真實的世界。

然而有一天，一個囚徒偶然掙脫鎖鏈，他回頭看到了火。但是他從小到大僅能看到暗淡的影子，他第一次看到了明亮的火光。看到了道具和木偶，假如有人告訴他，這些道具和木偶才是實物，他一定會嗤之以鼻，會堅持認為影子才是真實的。

柏拉圖假設說，如果把這個囚徒強制拖出洞穴，到外面去看到真實的世界， 一開始囚徒會不適應真實世界的光亮而感到刺目眩暈，他會因此而憤怒。但是當他慢慢適應了這個世界，看到太陽，樹木，河流，看到星空，他逐漸明白，這個世界比洞穴中那個世界更為優(yōu)越高級。他再也不想回到黑暗的洞穴生活中了。

過了一段時間，他對洞穴中的囚徒心生憐憫，于是想去把他們都帶出來。但是當他再次返回洞穴中，他因為已經適應了外面明亮的世界，回到洞穴中反而看不清楚。被鎖的囚徒們反而認為他的視力受損，胡言亂語，是個瘋子，最后當他想盡辦法把這群囚徒帶出洞穴時，被囚徒們聯手殺死。

這是則人類命運的寓言，就和那一排被鎖鏈鎖著的囚徒類似， 我們以為眼睛看到的就是世界的真相，但實際上，那也許是幻象，就像洞穴墻壁上投下的影子一樣。

未完待續(xù)

本文章介紹了理解零知識所需的關鍵概念——模擬。任何一個零知識的協議，都可以通過構造一個「理想世界」來理解。第一次接觸這個概念的讀者需要反復琢磨。

計算機科學中有兩個方法論至關重要，第一個是「抽象」，第二個是「模擬」。

回顧一下在地圖三染色問題中，Bob 在「理想世界」與「現實世界」中的對話。雖然 Bob 無法區(qū)分兩個世界，但是有一點，他可以確信：現實世界中，Alice 沒有超能力。