曲線的弧角概念及其應用

　　給定一段曲線，如何從整體上評價它，或者說，給出哪些描述其整體特性的度量指標是一個有意義的問題。顯然，最常用的指標是弧長，它是曲線展直后的總長度。數(shù)學上，弧長是曲線彎曲和扭曲下的不變量，應用中則可以表示諸如質點的曲線運動路程、彎曲公路的路程，以及漆包線中銅線的卷繞長度等，因此，是一個重要的概念。然而，弧長不能反映曲線的形狀，因此還需要其它的度量指標。這些指標也已經(jīng)存在，如反映曲線總彎曲的全曲率和反映曲線總扭曲的全撓率等與曲線曲率和撓率有關的指標。然而，這里有兩個問題。第一，例如，全曲率這個名稱可能不利于應用。我們知道，所謂曲線的曲率是其切矢對于弧長的旋轉速度，是一個角速度的概念，而全曲率為曲率對于弧長的積分，結果是角度而不是角速度（兩者量綱不同），但全曲率字面上容易被理解成仍然是一種曲率（角速度）。第二，例如，雖然全曲率的數(shù)學意義（特別是閉合曲線）得到了充分的發(fā)掘，但其應用（特別是非閉合曲線和工程應用）似乎沒有得到充分的關注。

　　注意到，圓弧的全曲率等于其圓心角，也就是圓弧對于其圓心所張成的角度。圓心角在一些文獻中被稱為弧角（arcangle），恰好與圓弧的弧飫對應。顯然，這個名稱直觀，便于應用。那么，可否將這個概念推廣到一般曲線上？本文就這個問題進行了討論。