如何解決模擬技術中工程的有限元分析？

作者 | 尚曉江博士 仿真秀專欄作者

首發(fā) |仿真秀公眾號（ID:fangzhenxiu2018）

2003年春，記得田宗漱老教授在中國科學院研究生院的有限元課上曾提及一件事，國內(nèi)某項重點工程的甲方單位委托國內(nèi)多家科研機構(gòu)背靠背地分頭對該項目進行了整體結(jié)構(gòu)分析，后來結(jié)果匯總到一起，專家組經(jīng)過反復的研究論證，判定國內(nèi)一家985高校的計算團隊給出的結(jié)果是錯的，因其采用的一些計算假定不符合實際情況。

一所名校的專業(yè)仿真團隊，耗費數(shù)月時間，投入大量人力，對這個項目的分析竟以失敗的結(jié)果而告終。這個真實發(fā)生的事情說明，實際工程問題往往都是難度比較大的問題。專業(yè)團隊小心翼翼地計算，花費數(shù)月時間尚且出錯，那么可想而知，對于大量研發(fā)力量薄弱的中小企業(yè)，缺乏專業(yè)經(jīng)驗，有些甚至沒有專職分析人員的情況下，要真正地具備仿真分析能力會有多困難。

那么工程問題的有限元分析，到底難在哪里呢？這是一個很大的題目，本文僅結(jié)合幾個具體的算例和個人認識作簡單討論，希望能拋磚引玉，引起廣大分析人員的思考。

首先來看第一個算例。如圖1所示，一個100mm×100mm×1000mm的長方塊體，材質(zhì)為結(jié)構(gòu)鋼，彈性模量200GPa，泊松比0.3，屈服強度200MPa，理想塑性（不考慮硬化），材料應力應變關系如圖2所示。整個構(gòu)件軸向受壓。

圖1 軸壓柱形構(gòu)件

圖2 理想塑性材料模型

讀者可能會說，一個構(gòu)件單軸受壓，這能有什么問題？計算中采用了圖中所示的一端固定（ANSYS Mechanical中的Fixed Support），另一端位移加載的方式進行模擬，頂部向下加載位移量0.8mm。

計算結(jié)果表明，構(gòu)件的中上部接近單軸應力狀態(tài)，從軸向變形來看，名義軸向應變絕對值僅為0.0008，并未達到單軸屈服應變0.001（fy/E），Von-Mises等效應力幾乎等于軸向應力，即0.0008×200GPa≈160MPa。但是由于泊松效應，底面附近位置實際上是處于復雜的三軸應力狀態(tài)，而且這一看似再平常不過的固定約束還引起了應力奇異。

如圖3所示，計算出的最大Von-Mises等效應力SEQV的數(shù)值為215.52MPa，竟然違背了在Engineering Data中定義的理想塑性關系，明顯超過屈服強度。這時可能有人要問，花了百十來萬買來的軟件，難道連本構(gòu)關系都不滿足？由此可見，即便對于這樣一個單一構(gòu)件的簡單受力問題，邊界條件的選取都是一件值得推敲的事情。

圖3 計算的Von-Mises等效應力分布

其實，在很多其他場合也可能出現(xiàn)類似問題，如圖4所示，兩個圓環(huán)A和B截面尺寸分別為3mm×5mm以及3mm×3mm，其接觸面存在4.5微米的幾何干涉，定義摩擦系數(shù)為0.1的Frictional接觸，B外側(cè)為固定，通過2D軸對稱分析計算兩鋼環(huán)之間的過盈配合問題。

圖4 軸對稱問題示意圖

圖5為分析中采用的雙線性硬化模型，切線模量很低，即便塑性應變達到屈服應變的5倍，后繼屈服強度也會不超過205MPa，但是計算的von-Mises等效應力結(jié)果卻也是出現(xiàn)了明顯超過屈服強度的數(shù)值，最大值為218.78MPa，如圖6所示。

圖5 硬化材料模型

圖6 等效應力分布結(jié)果

這類現(xiàn)象估計也經(jīng)常出現(xiàn)在很多用戶的計算書中，而且不論你進行的是線彈性分析，又或者是理想塑性條件下的彈塑性分析，都是同樣的結(jié)果。其實在有限元分析中還有很多這類問題，認真推敲起來，還真的就是越想越不對勁兒，有種“看山不是山”的錯覺。

再來看一個結(jié)構(gòu)動力學分析的簡單例子。這是以前西安地區(qū)的用戶發(fā)來的一個問題，問題來源是高等教育出版社出版的同濟大學朱慈勉教授主編《結(jié)構(gòu)力學》下冊中的一個結(jié)構(gòu)動力學例題，如圖7所示。

圖7 結(jié)構(gòu)動力學例題

這是一個很典型的動力學題目，需要驗證跨中電機運轉(zhuǎn)時梁的強度和變形。在有限元分析中，當然首先需要計算位移，也就是梁的撓度。這個用戶是能夠熟練操作ANSYS軟件的，他根據(jù)電機運轉(zhuǎn)頻率，在結(jié)構(gòu)上施加了一個隨時間正弦變化的函數(shù)荷載，對結(jié)構(gòu)進行了瞬態(tài)分析，計算時間為10個運轉(zhuǎn)周期，施加的荷載時間歷程及計算的梁跨中撓度時間歷程曲線分別如圖8和圖9所示。

圖8 用戶施加的正弦荷載曲線

圖9 用戶得到的跨中撓度瞬態(tài)過程曲線

根據(jù)計算結(jié)果，用戶說梁跨中的最大撓度僅約為3.78mm，與教材中計算撓度結(jié)果6.5mm差別很大，表示無法理解。實際上，之所以出現(xiàn)這樣的問題，是因為分析人員缺乏結(jié)構(gòu)動力學以及ANSYS計算原理方面的理論基礎。

我建議他采用諧響應分析來計算這個問題，計算后得到的撓度結(jié)果約為1.7mm，表面數(shù)字來看與教材計算的結(jié)果反而差距更大了。之前在一些講座中，明顯看到很多聽課學員疑惑的眼神。標準的諧響應計算，只有一個荷載，不會有問題，書上的結(jié)果當然也是對的，那么問題又出在哪里？

以上這些還都是一些結(jié)構(gòu)形式簡單、受力狀態(tài)明確的結(jié)構(gòu)計算問題，那么對于一般的更為復雜的實際工程問題，可想而知，計算過程中必然會有更多的難點需要去克服。

我在編寫的《ANSYS結(jié)構(gòu)有限元高級分析方法與范例應用（第三版）》（中國水利水電出版社，2015）一書中首次提出有限元分析的“二次映射”思想，即：分析人員首先需要將工程問題映射為可以求解的力學（物理）問題，再將這些問題映射為ANSYS等計算軟件所能求解的數(shù)學問題。

在第一次映射中，需要分析人員具備相關的力學背景知識，能夠把待求解的實際工程問題抽象為一個完整描述的力學問題，包括能確定求解域以及全部的邊界條件、初始條件，最好能夠畫一個計算草圖出來。這個過程中，需要隨時思考一系列問題：

計算域取到這個范圍是否合適？這個范圍的邊界是否都可以明確下來？這個問題需要求解的力學方程是什么（也就是問題的物理機制或特點，比如：空間軸對稱問題和三維問題的平衡方程當然不同，板的分析方程與連續(xù)體的方程當然不同，彈性和彈塑性的求解方程當然不同，靜力學和動力學的求解方程當然不同，等等）？這一次的映射相當于給要分析的問題定性。

第二次映射，則需要分析人員熟悉計算軟件的功能和應用，能夠把一個明確的物理問題轉(zhuǎn)化為軟件語言，即軟件可以數(shù)值求解的數(shù)學問題。第一次映射中確定的計算域，如何在計算軟件中創(chuàng)建出來（用什么樣的單元類型或類型組合來描述求解域）？外部激勵和邊界條件如何施加能反映實際受力狀態(tài)？需要調(diào)用軟件的何種求解模塊進行計算？比如，上面的梁的振動問題，就需要映射到諧響應分析模塊而不是瞬態(tài)分析模塊。這一次映射相當于進行建模計算工作過程的一個規(guī)劃。

兩次映射之后，結(jié)構(gòu)分析的任務也就明確下來，就可以著手于具體的建模和計算操作了。由此可見，對工程問題的抽象和定性的能力、對力學理論及軟件編制原理的認知、對軟件功能和應用的熟悉程度都會在不同程度上影響問題是否能夠得到圓滿的解答。

這其中還會涉及到模型的簡化、對稱性的應用、計算參數(shù)的選擇、非線性收斂問題的克服、對分析結(jié)果的解釋等一系列具體問題，這些問題環(huán)環(huán)相扣，可以說每個環(huán)節(jié)都不容易。尤其是對于復雜問題計算結(jié)果的解釋，論證這么一個基于虛擬網(wǎng)格的數(shù)值現(xiàn)象跟實際復雜物理現(xiàn)象之間的一致性程度，如果發(fā)現(xiàn)不合適的就要回去修正模型重新計算。

對于一些問題中的復雜之處，往往是需要分析人員首先充分理解數(shù)值現(xiàn)象的產(chǎn)生機理（計算原理），然后再來解釋這個數(shù)值現(xiàn)象在多大程度上反映了真實物理現(xiàn)象。

一致程度高就是通常所說的仿真，否則就是失真（或者干脆叫做“仿假”）。而且這個領域還有一個特點，就是一些與概念有關的經(jīng)驗問題，往往是可意會而不可言傳，向前輩請教，他們好像也說不出個什么，但是這些經(jīng)驗又是一種真實的存在，這時你千萬別誤以為前輩不想幫你。

綜上所述，有限元分析的確不是件容易的事情，它更不是一個隨便什么人都可以玩的數(shù)值游戲，它客觀上需要分析者熟悉相關領域的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)和設計過程，具有力學和數(shù)值分析的理論根基，還得能熟練操作相關的分析軟件，對人提出了比較高的要求。

對于一些根基不牢，甚至連材料力學都沒有學過的分析者而言，做有限元分析簡直無異于“裸奔”！之前看到一些連應力和力的區(qū)別都講不清楚的用戶也在分析一些具體問題的時候，說實在話，真的替他捏把汗。

在本文的最后，打個比喻，不妨把分析人員的狀態(tài)歸納為三個境界。

一開始學習計算軟件，不論是分析簡單的懸臂梁還是開孔的方板，感覺入門很快，像麻將桌上的很多新手，手氣往往不錯，而且有些單位有固定的分析模板，又有前輩指導，進步就比較快，正所謂“看山是山，看水是水”，這是分析者的第一境界。

當新手隨后實踐到了一定程度，開始分析一些復雜的項目或者由自己主導來分析一些具體項目時，各種問題和疑惑也會接踵而至，而且在無數(shù)次加班甚至可能經(jīng)歷數(shù)個晚上住在辦公室，但最后還是被軟件完虐，感覺問題越來越多，有的問題甚至想半天也想不明白，前景也越來越看不清。一方面是艱辛的付出，另一方面卻看不到成果，由此而開始失落、甚至懷疑做這個的意義，這時的感覺恰似“看山不是山，看水不是水”，這是分析者的第二境界。

然而，越是在困難的時候，越是要堅持“去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里”的研究態(tài)度，具體問題具體分析，沉下心來，不斷去積累知識與經(jīng)驗，相信在一番徹悟后定能到達“看山還是山，看水還是水”的佳境。