容易混淆的4種派克(Park)變換矩陣的基本原理

“由于國內(nèi)外研究人員對abc坐標(biāo)系與dq軸的定義不同，造成了Park變換矩陣的多種多樣，本文則從4種定義的abc坐標(biāo)系與dq軸出發(fā)，解釋了4種Park矩陣的由來”

第一部分4種派克(Park)變換矩陣的由來

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引言

你見過的Park變換矩陣可能有以下4種形式，另外還有4種對應(yīng)的形式，只是系數(shù)由2/3改為根號下2/3。

你有沒有因此而眼花繚亂?有沒有因此而不知所措?有沒有想弄懂卻又求助無門的感覺?有沒有不求甚解、得過且過的想法?有沒有聽之任之、生搬硬套、會用就行的行為？反正我是有過。我很理解這種感受，所以我想將我所了解的內(nèi)容分享給大家。

今天要分享的內(nèi)容主要就是4種派克(Park)變換矩陣的基本原理，后續(xù)還會介紹Park變換在基于dq軸解耦的雙閉環(huán)控制中的應(yīng)用以及一些注意事項。這個知識點比較經(jīng)典，或者說比較基礎(chǔ)，但是確實容易混淆，產(chǎn)生混淆的主要原因是使用Park變換的人來自世界各地，但是他們采用的標(biāo)準(zhǔn)卻有所不同，而且應(yīng)用Park變換的仿真軟件也很多，其內(nèi)置的Park變換模塊也不盡相同，新發(fā)表的文章或者出版的書籍基本都不會闡述其原理，而是直接使用各種形式的Park矩陣，但是不同Park矩陣的使用都有一定的前提，如果不清楚原理，生搬硬套，可能產(chǎn)生牛頭不對馬嘴的結(jié)果，最終導(dǎo)致仿真結(jié)果錯誤。

由于現(xiàn)有仿真軟件中公開一些應(yīng)用較多的簡單實例，我們可以通過軟件中的實例去學(xué)習(xí)Park變換相關(guān)的知識點，但是若不能正確的使用好一種仿真軟件中的Park變換模塊，或者說使用一種軟件中的模塊時卻受到了另一種軟件中對應(yīng)模塊的影響，同樣地得不到想要的結(jié)果，只會越來越自我懷疑，有時甚至?xí)J(rèn)為某種軟件或者文獻(xiàn)中的結(jié)構(gòu)是錯誤的。

這就好比從常德去北京，我們可以選擇開車、搭火車或者飛機等等，有很多去北京的方式，但是不能混用和誤用工具，我們不能在火車上開汽車，也不能在飛機上開汽車，工具的混誤用勢必導(dǎo)致我們到不了北京。接下來要介紹的就是怎樣認(rèn)識、區(qū)分和利用這些工具，從而不至于得到錯誤的結(jié)果。

02

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基本原理

2.1第一種Park變換矩陣

設(shè)系統(tǒng)三相電壓如式(1)所示。

系統(tǒng)三相電壓vabc在abc三相靜止坐標(biāo)系與dq同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的關(guān)系如圖1所示。

圖1 第一種abc三相靜止坐標(biāo)系與dq同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的關(guān)系

正常情況下，在abc三相電壓中，a相相位超前b相120度，且a相相位超前c相240。在圖1-1中，abc三相電壓給人的感覺就是，a相相位超前c相120度，且a相相位超前b相240度。其實，abc三相的相序并沒有改變，產(chǎn)生上述兩種不同情況的原因在于，前一種是通過時間矢量圖描述abc三相的關(guān)系，而圖1是通過空間矢量圖描述abc三相的關(guān)系，SVPWM中會經(jīng)常用到空間矢量圖，而且我覺得這與物理中描述物體簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量法類似。

由圖1可知

結(jié)合式(1)和式(2)可得

則式(3)至式(5)的關(guān)系可得到

Clark變換為：

Clark反變換為：

將dq軸電壓向αβ坐標(biāo)軸投影，可得

則

所以Park變換為：

一般為了使Park矩陣可逆，會引入0軸坐標(biāo)，且

則

式(14)中為d軸與相位參考軸的夾角，一般取為Ua的相角，后續(xù)還會區(qū)分怎樣由PLL獲取Ua的相角，以及是否需要偏移PLL輸出角度。

2.2第2種Park變換矩陣

圖2第二種abc三相靜止坐標(biāo)系與dq同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的關(guān)系

由圖2可知，由于abc坐標(biāo)軸與αβ坐標(biāo)軸的關(guān)系和圖1中的關(guān)系相同，所以以圖2為標(biāo)準(zhǔn)的Clark變換與以圖1為標(biāo)準(zhǔn)的Clark變換相同，后面相同的Clark變換則不在敘述。

將dq軸電壓向αβ坐標(biāo)軸投影，可得

則

所以Park變換為：

對應(yīng)Park反變換為：

2.3第3種Park變換矩陣

圖3第三種abc三相靜止坐標(biāo)系與dq同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的關(guān)系

將dq軸電壓向αβ坐標(biāo)軸投影，可得

所以Park矩陣為

Park反變換為：

2.4第4種Park變換矩陣

圖4第四種abc三相靜止坐標(biāo)系與dq同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的關(guān)系

將dq軸電壓向αβ坐標(biāo)軸投影，可得

所以Park矩陣為

Park反變換為：

03

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總結(jié)

本文只對Park和Clark的等幅變換進(jìn)行了簡單闡述，其等功率變換同樣對應(yīng)著4種形式，之后有興趣的話還會闡述。

其實，本文的關(guān)鍵就在于圖1至圖4，在知道abc三相靜止坐標(biāo)系與dq同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的4種關(guān)系后，想要推導(dǎo)出4種Park矩陣，并弄懂它們之間的區(qū)別與聯(lián)系也就很容易了。

為了便于讀者根據(jù)文中內(nèi)容，通過PSCAD或者Matlab進(jìn)行仿真驗證，現(xiàn)給出文中Park矩陣和各軟件中模塊的對應(yīng)關(guān)系：文中第1種Park變換對應(yīng)Matlab中abc/dq0模塊的第1種Park矩陣；文中第2種Park變換對應(yīng)PSCAD中abc/dq0模塊的Park矩陣；文中第3種Park變換對應(yīng)Matlab中abc/dq0模塊的第2種Park矩陣；文中第4種Park變換暫未找到對應(yīng)應(yīng)用。而且第一種和第二種Park矩陣的q軸分量相反，第三種和第四種Park矩陣的q軸分量相反，其值互為相反數(shù)，如果有同學(xué)想要推導(dǎo)，可以只推導(dǎo)第一種矩陣，后面三種只需要對第一種進(jìn)行簡單的改寫即可得到。