關于質(zhì)量與能量關系證明及說明

物質(zhì)同能量之間的關系是個歷史久遠的問題。牛頓就曾發(fā)問過，物質(zhì)和光之間難道不可以相互轉換嗎？對太陽發(fā)光機制以及對原子核放射性產(chǎn)物的動能來源的詰問，啟發(fā)了關于物質(zhì)與能量之間的等價關系和轉化過程的思考。1900年，法國科學家龐加萊認為電磁場有動量 mv=(E/c2)c ，其中E/c2等價于質(zhì)量。1903年，意大利人德·普萊托假設以太以光速振蕩，而物質(zhì)是響應以太振蕩的，故質(zhì)量為m的物質(zhì)具有 mc2的潛能。愛因斯坦首先從相對論的角度理解能量-質(zhì)量(慣性)等價性的深刻含義。1905年愛因斯坦從相對性原理出發(fā)，考慮原子向相反方向發(fā)射兩束光的過程，得到了關系 E=Δmc2，即原子發(fā)射出能量為E的光，相應的質(zhì)量減少為E=Δmc2中的Δm 。愛因斯坦自相對性原理得到這個關系式，它意味著能量守恒和質(zhì)量守恒的合并。受此啟發(fā)，普朗克1907年研究了運動體系的動力學，給出了 M=(E0+pV0)/c2形式的納入了熱能的質(zhì)能關系。在談論質(zhì)量-能量關系時，質(zhì)量是慣性質(zhì)量，或者干脆說就是慣性(Tr?gheit, inertia)。

愛因斯坦得到的是E=Δmc2形式的質(zhì)能關系，其論證過程包括動能定義不正確、涉嫌循環(huán)論證以及未考慮廣延物體同質(zhì)點粒子之間區(qū)別等瑕疵。1911年，勞厄用能量-動量張量概念針對能量-動量張量不隨時間變化的情形證明了質(zhì)能等價關系。m=E/c2形式的質(zhì)能等價關系的詮釋是，靜止參照框架內(nèi)能量為E的廣延體系，其作勻速運動時的動力學行為等同于一個質(zhì)量為m=E/c2的質(zhì)點。1918年克萊因推廣了勞厄的結果，他只需假設系統(tǒng)是閉合的而不要求能量-動量張量不依賴于時間，運用四維高斯定理得到了的質(zhì)能等價關系，至此質(zhì)能等價關系的推導才算塵埃落定。質(zhì)能等價關系，一如別的物理思想，都是物理學這條連綿河流中的某個節(jié)點，都有其淵源。物理學不相信橫空出世。

一般核物理過程涉及的質(zhì)量-能量關系是E=Δmc2。類似正負電子對湮滅的過程，對應的關系才是 E=mc2， 即質(zhì)量各為m的電子-正電子，湮滅為一對光子時，光子的能量為E=mc2。這個公式的圖像中，質(zhì)量和能量是有不同的載體的。關于質(zhì)能關系有相當多的誤解，其中較著名的有根據(jù)?臆造出什么靜止質(zhì)量同運動質(zhì)量的區(qū)別。質(zhì)量是粒子的標簽，是一個相對論不變量。造成這種誤解的一個根源是未習慣于用4-矢量和張量來理解相對論動力學，執(zhí)其一點而隨意發(fā)揮。在狹義相對論中，能量是以 E/c 的形式作為動量的分量，以及以能量體積密度的形式作為能量-動量張量的一個分量出現(xiàn)的，其變換由相應的洛倫茲變換得到。談論質(zhì)能關系以及能量-動量守恒問題時，應使用相對論動力學表示加洛倫茲變換的語言。

關于質(zhì)能關系的驗證問題，核反應過程驗證的是E=Δmc2，這是個釋放結合能的過程，并不是什么質(zhì)量轉化成了能量。有些涉及中子的核反應過程也被拿來作為質(zhì)能關系的驗證，因為中子質(zhì)量是利用質(zhì)能關系確定的，這種所謂的實驗驗證就涉嫌循環(huán)論證了。類似E=mc2這樣的相對論標志式公式，其正確性更多地來自理論基礎及其同其它理論的自洽性。

質(zhì)量與能量

質(zhì)量和能量是歷史永久的科學概念。從前，質(zhì)量和能量是兩個獨立的概念。從化學反應，化學家總結出了質(zhì)量守恒定律。從落體的高度與速度之間的轉化， 物理學家總結出了機械能守恒定律。動能-勢能之間的轉化，來自可見的高度與速度之間的轉化，可視才是關鍵！機械能和熱結合到一起，于是有了一般意義上的能量守恒定律。物理學家相信這樣的守恒（不變性?。┒煽梢岳^續(xù)擴展到所有領域。比如，質(zhì)量和能量也存在某種等價關系或者守恒律嗎？

1704年，牛頓在《光學》一書中曾發(fā)出疑問：“重物和光不可以互相轉化嗎？”19世紀末，一個待解的物理之謎是太陽的能量來源與放射性過程所產(chǎn)生的高速粒子的動能問題。英國物理學家普萊斯頓（Samuel Tolver Preston,1844-1917）在 Physics of the Ether （以太的物理，1875）一書中指出，若將物質(zhì)分成以太粒子，這些以光速傳播的以太粒子則代表著巨大的能量。1903年，意大利人德·普萊托（Olinto de Pretto, 1857-1921）則假設分子、原子和亞原子粒子都能響應以太的振動，因此質(zhì)量為m的粒子包含量為 mv2（v是以太振蕩速度，即光速）的潛能，來解釋放射性粒子的動能問題。法國大學問家勒龐（Gustave Lebon, 1841-1931）在Evolution de matière （物質(zhì)的演化，1905）一書中指出，物質(zhì)可完全分解為光，其能量為 ，且稱之為énergie intra-atomique （原子內(nèi)的能量）。

質(zhì)-能關系在龐加萊1900文章中是同一個悖論（電磁能的消滅與產(chǎn)生）相關聯(lián)的。龐加萊認識到電磁能的行為如同具有慣性的流體，故他把“流動的”電磁場當成一種想象的流體（fluide fictive）。龐加萊提出了輻射動量的概念：若一定體積內(nèi)封閉了電磁能量dE，則這種假想流體有動量，對應的質(zhì)量為 dm=dE/c2 。在 sur la dynamique de l’électron（論電子的動力學，1906）(2)一文中，龐加萊為電子引入的拉格朗日量形式為 ?，也即電子的勢能為 U=mc2? ，即靜止的電子具有能量 E=mc2 。在經(jīng)典電磁學，一個粒子在電磁場中被電場加速做功，在dt時間內(nèi)吸收能量為dW（來自電場方向），獲得往前的動量（k 方向，來自洛倫茲力）為dW/c。而這些都來自電磁波，可以認定電磁波有關系p=E/c。19世紀末20世紀初的一段時間里，為了理解帶電物體的質(zhì)量如何依賴于靜電場，那時已有電磁質(zhì)量的說法，甚至分為縱向質(zhì)量?mL=m0/(1-v2/c2)3/2 和橫向質(zhì)量?mT=m0/(1-v2/c2)1/2。1904年，哈瑟諾爾（Friedrich Hasen?hrl, 1874-1915）計算空腔里熱的輻射壓力效果，得出的結果是，擁有輻射能量的空腔的質(zhì)量有一個明顯的增量，?，后來又被修正為?。1907年，普朗克指出，吸收或者發(fā)射了熱能的物體，其慣性質(zhì)量變化為 m-M=E/c2。1907年，普朗克討論了運動體系的動力學問題，給出過M=(E0+pV0)/ c2形式的質(zhì)能等價表達式，為的是給出一個不依賴于速度的體系的質(zhì)量。

德·普萊托的質(zhì)能關系

在意大利人德·普萊托1903年的文章中，公式 E=mc2 已現(xiàn)身影，源于對以太和放射性問題的研究。德·普萊托注意到，幾乎沒有動能的原子核，其放射出來的粒子卻具有極大的動能。放射性粒子的巨大動能必須有個來處，如果人們堅信能量守恒的話，則必須認為在物質(zhì)內(nèi)部潛伏著某些能量，其對我們總是隱藏的。

德·普萊托接下來論證的基礎概念，依然是以太。在以太這種流體中寄存著宇宙的能量，無窮盡的能量，且此能量處于最簡單的、最原初的形式（sotto la forma più semplice ed originaria）；其它的能量，例如光能、電能和熱等等，不過是導出性的，是由運動引起的。以太一直在平衡位置附近連續(xù)振動，而這個快速運動應該原子或者分子甚至原子以下的粒子所接收到。如果整個物體都被無限小尺度上的運動激發(fā)了，非?？?，象以太一樣，那么可以認為這塊物體，其中每個粒子都以同樣的速度在空間中整體一起運動的這塊物體，隱含著由這個物體的內(nèi)部質(zhì)量所表示的那么一坨能量（una somma di energia rappresentata dall'intera massa del corpo），也即對應的能量為mv2，v是以太振動的速度，即光速。這個論證導向一個出乎意料的、令人難以置信的結果。在一公斤的物質(zhì)中，完全不為我們所感知，竟然儲存著這么大量的沉睡的能量，足以抵得上萬億公斤的煤。這想法無疑地會被判定為太荒唐了（l'idea sarà senz'altro giudicata da pazzi）。一公斤的物質(zhì)，以光速拋出，攜帶的能量之大難以想象。此一嚇人的結果何時曾挑動過我們的神經(jīng)呢？

德·普萊托的論證還包括對慣性（惰性）的理解。物質(zhì)是惰性的（la materia è inerte），這不應被理解為“非能動的”。惰性一詞指的是，物質(zhì)真正的要務就是響應以太的行為。物質(zhì)確實跟從以太的作用，可使用和儲存其能量。

德·普萊托得出質(zhì)量為m的物質(zhì)攜帶量為mv2的潛能的結論，是基于以太的概念，論證過程包含不少錯誤，但自有其深刻的思想意義。但是，這個思考是我們走向正確理論的邏輯鏈條中的一環(huán)。愛因斯坦1905年發(fā)表了“物體的慣性依賴于其所蘊含能-量嗎？”一文，其中的Energieinhalt （能的含量）一詞在德·普萊托思想的基礎上就非常容易理解。質(zhì)量對應著一定的潛能，這個能的多少決定了物體的Tr?gheit，即慣性（質(zhì)量）。質(zhì)能關系里的質(zhì)量是慣性（質(zhì)量），慣性質(zhì)量是物體存儲的能量。

愛因斯坦的質(zhì)能關系

愛因斯坦1905年的經(jīng)典文章“物體的慣性依賴于其所蘊含的能-量嗎？”(3)，后來被當成是質(zhì)能關系研究的起源。愛因斯坦設想一束光波在(x, y, z)坐標系(4)中的方向與x-軸成φ角，其能量為ε；在一沿x-軸方向以速度v運動的坐標系(ξ, η, ζ)中看來，能量為?，F(xiàn)在，假設一在(x, y, z)坐標系中靜止的物體，能量為E0 ，其在坐標系(ξ, η, ζ)中的能量為 H0?。此物體向與x-軸成φ角的方向和相反方向上同時發(fā)射在(x, y, z)坐標系中能量為L/2 的光。在(x, y, z)坐標系中，此物體保持靜止；在坐標系(ξ, η, ζ)中，物體發(fā)射光前后速度應該相等。此過程在兩個坐標系中都應該滿足能量 (守恒) 原理。將物體發(fā)射后在(x, y, z)坐標系中和坐標系(ξ, η, ζ)中的能量分別記為?E1?和 H1 。則有

顯然，差 H0-E0或者H1-E1 只可能是物體的動能加上某個任意普適常數(shù)，即H0-E0=T0+Const. ；H1-E1=T1+Const. 也即

。保留低階項，T0-T1=1/2(L/c2)v2。這個結果可以這樣理解，一個物體發(fā)出了能量為L的光輻射，則其質(zhì)量就減少Δm= L/c2 。必須指出，這里的Δm是物體的質(zhì)量損失，而L是光的能量—此公式中的質(zhì)量和能量分屬兩個不同的主體。愛因斯坦接著說，如果本理論對應實際情況，則射線在發(fā)射體和吸收體之間傳遞了慣性（質(zhì)量）。愛因斯坦的這個推導談不上優(yōu)美，實際上它備受批評，但它是自相對性原理的推導，意味著質(zhì)量與能量之間的聯(lián)系來自相對性原理的要求（postulate），意味著質(zhì)量守恒和能量守恒的合并。1905年，相對論還只是嶄露頭角，相對論力學尚未建立起來，要求一下子得出正確的能量-動量表達是不現(xiàn)實的。愛因斯坦也知道自己推導的不嚴謹，他后來不停地想證明質(zhì)能等價關系 （參閱愛因斯坦于1905, 1906,1907, 1907, 1912, 1935, 1946發(fā)表的文章），跨度長達40年。1946年，愛因斯坦才把質(zhì)能等價公式寫成 E=mc2 的形式，出現(xiàn)在文章的題目中。這個公式此處的寓意是：“質(zhì)量為m的粒子，具有內(nèi)稟能量mc2 ?！?愛因斯坦自己從未宣稱擁有這個公式的優(yōu)先權。

電子-正電子湮滅

1928年，狄拉克提出了相對論量子力學方程，導致了反電子概念的提出和反電子的發(fā)現(xiàn)。反電子是1932年在電子-反電子對的產(chǎn)生過程中被發(fā)現(xiàn)的。電子-反電子對的發(fā)生可發(fā)生在如下的過程中，hv+p+→p++e++e-，光子在同質(zhì)子的碰撞過程中轉化為了電子-反電子對。在這個過程中，光子的能量轉化成了兩個具有確定質(zhì)量的粒子，質(zhì)能等價關系表現(xiàn)為 Eγ/c2→2me。這里比質(zhì)能等價關系更重要的是，原本電中性的光，誘導了一團帶正電和一團帶負電的具有慣性的區(qū)域—有慣性質(zhì)量的電荷的出現(xiàn)才是更重要的物理。反過來，當電子、反電子相遇會發(fā)生湮滅，（取決于電子對的動能，可以產(chǎn)生兩個以上的光子）。慣性質(zhì)量全部湮滅了，轉化成了光子攜帶的能量，mec2→Eγ。電子和正電子的質(zhì)量為 0.91x10-30kg，當電子和正電子湮滅為一對光子時，光子的能量最低為 511 keV。?

勞厄和克萊因的最終證明

既然認識到相對性原理是要求，那就要把物理定理轉化（transfer）為相對性理論。就動力學而言，相對論的動力學一般來說是很復雜的。1911年，勞厄拓展了普朗克、閔可夫斯基等人關于動力學的工作。他從連續(xù)介質(zhì)動力學著手，把連續(xù)介質(zhì)動力學放到質(zhì)點動力學之前邏輯上更顯合理。勞厄討論了把力改造為4-矢量形式 F 的問題，以及湊成正確的能量-動量張量的問題，能量-動量張量 T 的分量 ，Txx ，Txy，…等應該分別如同x2 ，xy，...那樣作洛倫茲變換，見圖(1)。經(jīng)典動力學方程依然是 F=-▽·T 的形式，▽·T=0對應的是能量-動量守恒。在相對論語境中，沒有獨立的能量、動量概念了。

圖1. 能量-動量張量。能量-動量張量T是個對稱張量，有10個獨立分量，其中， T00為能量體積密度乘上c-2 ；Tii為壓力分量， Ti0為動量密度，Tij 為動量通量，i, j=1, 2, 3 。

根據(jù)勞厄的結果，一個靜止時總能量為E0的完全靜態(tài)的系統(tǒng)，即內(nèi)部沒有流的系統(tǒng)，當它以速度v運動時，有 ；。記 m=E0/c2，則上述兩個公式可以理解為，總能量為 E^0的完全靜態(tài)的系統(tǒng)，作勻速運動時其行為如同質(zhì)量為 m=E0/c2 的質(zhì)點。這是相對論質(zhì)能關系在動力學語境下的詮釋。?

勞厄的推導事先假設靜止參照框架下應力-能量張量是不依賴于時間的。以能量-動量張量為出發(fā)點，對分量T0μ作體積分得到總能量和動量。對靜態(tài)閉合系統(tǒng)，守恒率 αkTkμ=0 意味著在靜止框架中應力Tkl 的體積分為零。從能量-動量張量分量的洛倫茲變換性質(zhì)可以證明分量T0μ 的體積分是一個4-矢量，即總能量和動量按照4-矢量變換，這要求 ， ，此處 E0?是能量中心參照框架（動量為零的參照框架）下的能量。這樣，這個問題的能量-動量形式就類似一個質(zhì)量為?m=E/c2的粒子的形式了。1918年克萊因推廣了勞厄的結果，他只需假設系統(tǒng)是閉合的，能量-動量張量守恒，沿世界管 (world tube) ??αμTμv=0 成立，運用四維的高斯定理，可對依賴時間的能量-動量張量得到質(zhì)能關系。

關于質(zhì)能關系的再說明

關于質(zhì)能關系的一個誤解是把核反應的能量釋放過程按照公式E=Δmc2 解釋成了質(zhì)量轉化成了能量。其實，Δm是反應前后粒子 (們) 的質(zhì)量差，這個過程釋放的是結合能。E=Δmc2 的意思是，結合能部分在反應前的粒子里貢獻了大小為 E/c2的質(zhì)量，這恰是詮釋質(zhì)量起源會用到的那套語言。Δmc2反映的恰是原子核層面及其下的結合能遠大于原子、分子層面的結合能。 當我們反過來理解質(zhì)量大于質(zhì)量總和，也即能量成了質(zhì)量起源的時候，會有另一種感覺。質(zhì)能關系可用于理解核過程的能量釋放問題，它也提供了粒子質(zhì)量來源的問題—基本粒子每一個層面的質(zhì)量都大于下一層面單元的質(zhì)量總和，差別來自將構成單元結合到一起所需的能量。這個邏輯鏈條的盡頭，一定著落到一個無質(zhì)量的構成單元上。

在狹義相對論中，一個質(zhì)量為m，（在某個參照框架內(nèi)看來）速度為v的粒子，在這個參照框架內(nèi)的能量為 。大量的相對論文獻在此公式基礎上任意發(fā)揮，臆造出靜止質(zhì)量和運動質(zhì)量的說法，即在靜止參照框架內(nèi)，粒子的能量為?E=m0c2 ；而質(zhì)點若運動起來， ，若仍寫成?E=mc2 的形式，則有，m0被稱為粒子的靜止質(zhì)量，m是粒子的運動質(zhì)量。進一步的發(fā)揮則宣稱粒子質(zhì)量隨著速度的增加而越來越大，并有人宣稱實驗證實了這一點，連愛因斯坦本人都信了這一點。

必須指出，理解物理要盡可能依托完整的物理圖景，不可以在局部上任意發(fā)揮而罔顧學問整體上的自洽性。公式 表達的是一個質(zhì)量為m的粒子運動時的能量，數(shù)學上是個 E=E（v）的函數(shù)，不可以把它總按照?E=mc2 來理解得到一個質(zhì)量隨速度的變化—這種理解從數(shù)學、物理兩個方面來看都是不合適的。粒子的質(zhì)量，如同粒子的電荷、自旋，是粒子的標簽。粒子質(zhì)量就是靜止質(zhì)量，它是個不變量。公式 描述的是質(zhì)量為m的粒子在給定參考框架內(nèi)運動狀態(tài)下所具有的能量。特別地要指出，把質(zhì)量概念應用于光子更加需要謹慎。光子有能量，速度始終為c且沒有參照物。筆者以為，不是光子是零質(zhì)量粒子，而是關于光子，質(zhì)量的概念無從談起 （試看它的洛倫茲變換）！關于相對論語境下的能量問題，包括能量的轉化與守恒，需要用嚴謹?shù)膭恿?-矢量和能量-動量張量的相對論理論加以理解。具有動量p的質(zhì)量為m的粒子，其能量-動量關系為?E2?=p2c2+m2c4??(Dirac, 1928)，這才是正確的物理表述。

由最小作用量原理，自由粒子的作用量 ，可得與時空共軛的四維動量矢量 (px，py，pz；iE/c)?，這個四維矢量是洛倫茲變換不變的，故有?E2-(pc)2=E'?2-(p'?c)2=(mc2)2。能量-動量關系又稱為色散關系，具有普適的物理意義。在狹義相對論發(fā)展的初期，愛因斯坦的某些認識也是不成熟的（勞厄就批評愛因斯坦對廣延物體的內(nèi)部動力學使用了非相對論近似），不可以奉為圭臬，更不可以背離科學的規(guī)范去任意發(fā)揮。

愛因斯坦的結論E=Δmc2，有一個比較正確的推導過程。設想有質(zhì)量為m的靜止物體，其向相反方向發(fā)射兩束電磁能量脈沖，能量各為 E/2 ，發(fā)射后該物體質(zhì)量變?yōu)?m' ，但應該保持靜止（位置不變），因為兩束能量脈沖對應的動量數(shù)值各為 E/2c ，方向是相反的。現(xiàn)在，在一個沿著電磁能量脈沖方向以速度為v的觀察者看來，基于洛倫茲變換，動量守恒關系應為

。根據(jù)相對論原理，在靜止觀察者眼中，物體發(fā)射電磁輻射前后位置不變，則在運動觀察者眼中，物體發(fā)射電磁輻射前后的位置也不變，則必有v'=v，即發(fā)射前后相對于觀察者該物體的速度都是v，簡化上式，得 E=(m-m')c2。這個推導，就不象愛因斯坦的推導那樣，需要作關于v2/c2 的一階近似。

對粒子成立，但對廣延物體是否成立，是需要認真考慮的。粒子的動能該是。廣延物體的相對論動力學具有內(nèi)稟的復雜性，不能忽略廣延體系的內(nèi)部動力學。非相對論物理，可以近似地認為一個廣延的物體的動能具有同樣的形式，速度為質(zhì)心的平動速度。伽利略的速度相加，使得一個粒子體系的平動動能之和可以表示為質(zhì)心的動能加上相對質(zhì)心的動能之和。相對論里的動能不能這樣處理。一個物體的總能量為其靜止時的能量加上動能的說法，只是近似正確。一個參照系中某個力已經(jīng)對體系做功而在另一參照系中則尚未做功，當然能量就不一樣啦。對于受力的廣延物體，無法定義動能。不知道動能的形式，是無法得到質(zhì)能關系的！動能的這個困難，使用應力-能量張量就解決了！

愛因斯坦1912年曾假設廣延的物體有類粒子的能量表示，，這個做法太直接了些。如果是這樣，那還有啥好證明的，令v=0?，即得?E=mc2 。勞厄把建立所有形式能量的慣性（這才是真正的質(zhì)-能等價性）的建立歸功于愛因斯坦，是因為愛因斯坦首先從相對性原理的角度理解那個等價性的深刻含義。

有一些對損失質(zhì)量-釋放能量的過程進行測量以精確驗證質(zhì)能關系的研究，其中甚至用到 n+33S→33S+γ或者n+28Si→29Si+γ 這樣的核反應過程。然而，帶電粒子的質(zhì)量由質(zhì)譜測量方法可得到一個由電磁技術保證的精度，而中子質(zhì)量是假設質(zhì)能關系成立由實驗結果得來的，若反過來被用于證明質(zhì)能關系的精確程度，那就是循環(huán)論證了。類似 E=mc2這樣的結果，其正確性更多地來自其得來的理論基礎及其同其它理論內(nèi)容的自洽性。實驗的意義，筆者以為在于實驗結果同公式的明顯偏差讓人懷疑它的正確性；但是，以為這樣的公式需要精確測量來驗證其正確性，就太荒唐了。質(zhì)能關系一直在使用，從未被驗證——它也無需驗證。筆者愿意再次強調(diào)，自洽性和完整性才是理論正確的保證（Self-consistency and integrity of a theory are the guarantee of its correctness）。