老司機(jī)解讀香農(nóng)定理、奈奎斯特定理、編碼與調(diào)制

工程師都會(huì)考慮一個(gè)問題：信道上到底可以傳輸多大的數(shù)據(jù)，或者指定的信道上的極限傳輸率是多少。這就是信道容量的問題。例如，在xDSL系統(tǒng)中，我們使用的傳輸介質(zhì)是僅有幾兆帶寬的電話線，而上面要傳送幾兆、十幾兆甚至幾十兆帶寬的數(shù)據(jù)，如此高的速率能保證在幾兆帶寬的雙絞線上可靠傳輸嗎？或者說從另一個(gè)角度說，在給定通頻帶寬(Hz)的物理信道上，到底可以有多高的數(shù)據(jù)速率(b/S)來可靠傳送信息？

早在1924年，AT&T的工程師奈奎斯特（Henry Nyquist）就認(rèn)識(shí)到在任何信道中，碼元傳輸?shù)乃俾识际怯猩舷薜模⑼茖?dǎo)出一個(gè)計(jì)算公式，用來推算無噪聲的、有限帶寬信道的最大數(shù)據(jù)傳輸速率，這就是 今天的奈奎斯特定理。由于這個(gè)定理只局限在無噪聲的環(huán)境下計(jì)算信道最大數(shù)據(jù)傳輸速率，而在有噪聲的環(huán)境下仍然不能有效計(jì)算出信道最大數(shù)據(jù)傳輸速率，因此在1948年，香農(nóng)（Claude Shannon）把奈奎斯特的工作進(jìn)一步擴(kuò)展到了信道受到隨機(jī)噪聲干擾的情況，即在有隨機(jī)噪聲干擾的情況計(jì)算信道最大數(shù)據(jù)傳輸速率，這就是今天的香農(nóng)定理。下面分別介紹這兩個(gè)定理。

一、奈奎斯特定理

奈奎斯特證明，對(duì)于一個(gè)帶寬為W赫茲的理想信道，其最大碼元（信號(hào)）速率為2W波特。這一限制是由于存在碼間干擾。如果被傳輸?shù)男盘?hào)包含了M個(gè)狀態(tài)值（信號(hào)的狀態(tài)數(shù)是M），那么W赫茲信道所能承載的最大數(shù)據(jù)傳輸速率（信道容量）是：

C =2×W×log2M（bps）

假設(shè)帶寬為W赫茲信道中傳輸?shù)男盘?hào)是二進(jìn)制信號(hào)（即信道中只有兩種物理信號(hào)），那么該信號(hào)所能承載的最大數(shù)據(jù)傳輸速率是2Wbps。例如，使用 帶寬為3KHz的話音信道通過調(diào)制解調(diào)器來傳輸數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)，根據(jù)奈奎斯特定理，發(fā)送端每秒最多只能發(fā)送2×3000個(gè)碼元。如果信號(hào)的狀態(tài)數(shù)為2，則每個(gè)信 號(hào)可以攜帶1個(gè)比特信息，那么話音信道的最大數(shù)據(jù)傳輸速率是6Kbps；如果信號(hào)的狀態(tài)數(shù)是4，則每個(gè)信號(hào)可以攜帶2個(gè)比特信息，那么話音信道的最大數(shù)據(jù) 傳輸速率是12Kbps。

因此對(duì)于給定的信道帶寬，可以通過增加不同信號(hào)單元的個(gè)數(shù)來提高數(shù)據(jù)傳輸速率。然而這樣會(huì)增加接收端的負(fù)擔(dān)，因?yàn)椋邮斩嗣拷邮找粋€(gè)碼元，它不再只是從兩個(gè)可能的信號(hào)取值中區(qū)分一個(gè)，而是必須從M個(gè)可能的信號(hào)中區(qū)分一個(gè)。傳輸介質(zhì)上的噪聲將會(huì)限制M的實(shí)際取值。

二、香農(nóng)定理

奈奎斯特考慮了無噪聲的理想信道，而且奈奎斯特定理指出，當(dāng)所有其他條件相同時(shí)，信道帶寬加倍則數(shù)據(jù)傳輸速率也加倍。但是對(duì)于有噪聲的信道，情況將會(huì)迅速變壞?，F(xiàn)在讓我們考慮一下數(shù)據(jù)傳輸速率、噪聲和誤碼率之間的關(guān)系。噪聲的存在會(huì)破壞數(shù)據(jù)的一個(gè)比特或多個(gè)比特。假如數(shù)據(jù)傳輸速率增加了，每比特所占用 的時(shí)間會(huì)變短，因而噪聲會(huì)影響到更多比特，則誤碼率會(huì)越大。

對(duì)于有噪聲信道，我們希望通過提高信號(hào)強(qiáng)度來提高接收端正確接收數(shù)據(jù)的能力。衡量信道質(zhì)量好壞的參數(shù)是信噪比（Signal-to-Noise Ratio，S/N），信噪比是信號(hào)功率與在信道某一個(gè)特定點(diǎn)處所呈現(xiàn)的噪聲功率的比值。通常信噪比在接收端進(jìn)行測(cè)量，因?yàn)槲覀冋窃诮邮斩颂幚硇盘?hào)并試 圖消除噪聲的。如果用S表示信號(hào)功率，用N表示噪聲功率，則信噪比表示為S/N。為了方便起見，人們一般用10log10（S/N）來表示信噪比，單位是 分貝（dB）。S/N的值越高，表示信道的質(zhì)量越好。例如，S/N為1000，其信噪比為30dB；S/N為100，其信噪比為20dB；S/N為10， 其信噪比為10dB。

對(duì)于通過有噪聲信道傳輸數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)而言，信噪比非常重要，因?yàn)樗O(shè)定了有噪聲信道一個(gè)可達(dá)的數(shù)據(jù)傳輸速率上限，即對(duì)于帶寬為W赫茲，信噪比為S/N的信道，其最大數(shù)據(jù)傳輸速率（信道容量）為：

C = W×log2(1+S/N)（bps）

例如，對(duì)于一個(gè)帶寬為3KHz，信噪比為30dB（S/N就是1000）的話音信道，無論其使用多少個(gè)電平信號(hào)發(fā)送二進(jìn)制數(shù)據(jù)，其數(shù)據(jù)傳輸速率 不可能超過30Kbps。值得注意的是，香農(nóng)定理僅僅給出了一個(gè)理論極限，實(shí)際應(yīng)用中能夠達(dá)到的速率要低得多。其中一個(gè)原因是香農(nóng)定理只考慮了熱噪聲（白噪聲），而沒有考慮脈沖噪聲等因素。

香農(nóng)定理給出的是無誤碼數(shù)據(jù)傳輸速率。香農(nóng)還證明，假設(shè)信道實(shí)際數(shù)據(jù)傳輸速率比無誤碼數(shù)據(jù)傳輸速率低，那么使用一個(gè)適當(dāng)?shù)男盘?hào)編碼來達(dá)到無誤碼數(shù)據(jù)傳 輸速率在理論上是可能的。遺憾的是，香農(nóng)并沒有給出如何找到這種編碼的方法。不可否認(rèn)的是，香農(nóng)定理確實(shí)提供了一個(gè)用來衡量實(shí)際通信系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)。

三、編碼與調(diào)制

說完上面這兩個(gè)定理，在說說對(duì)編碼和調(diào)制的解說。

信源與信宿

信源與信宿是網(wǎng)絡(luò)中的兩個(gè)專業(yè)名詞，其實(shí)，信源與信宿可簡(jiǎn)單地理解為信息的發(fā)送者和信息的接收者。信息傳播的過程一般可描述為：信源→信道→信 宿。在傳統(tǒng)的信息傳播過程中，對(duì)信源的資格有嚴(yán)格的限制，通常是指廣播電臺(tái)、電視臺(tái)等機(jī)構(gòu)，采用的是有中心的結(jié)構(gòu)。而在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)中，對(duì)信源的資格并無特 殊限制，任何一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中的計(jì)算機(jī)都可以成為信源，當(dāng)然任何一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中計(jì)算機(jī)也可以成為信宿。

由于傳輸介質(zhì)及其格式的限制，通信雙方的信號(hào)不能直接進(jìn)行傳送，必須通過一定的方式處理之后，使之能夠適合傳輸媒體特性，才能夠正確無誤地傳送到目的地。

調(diào)制是指用模擬信號(hào)承載數(shù)字或模擬數(shù)據(jù)；而編碼則是指用數(shù)字信號(hào)承載數(shù)字或模擬數(shù)據(jù)。

目前存在的傳輸通道主要有模擬信道和數(shù)字信道兩種，其中模擬信道一般只用于傳輸模擬信號(hào)，而數(shù)字信道一般只用于傳輸數(shù)字信號(hào)。有時(shí)為了需要，也可能需 要用數(shù)字信道傳輸模擬信號(hào)，或用模擬信道傳輸數(shù)字信號(hào)，此時(shí)，我們就需要先對(duì)傳輸?shù)臄?shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換為信道能傳送的數(shù)據(jù)類型，即模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)的轉(zhuǎn) 換，這是編碼與調(diào)制的主要內(nèi)容。當(dāng)然模擬數(shù)據(jù)、數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)如何通過通道發(fā)送的問題也是編碼與調(diào)制的重要內(nèi)容。下面我們分別從模擬信號(hào)使用模擬信道傳送、模擬 信號(hào)使用數(shù)字信道傳送、數(shù)字信號(hào)使用模擬信道傳送和數(shù)字信號(hào)使用數(shù)字信道傳送四個(gè)方面來介紹數(shù)據(jù)的調(diào)制與編碼。

1．模擬信號(hào)使用模擬信道傳送

有時(shí)候模擬數(shù)據(jù)可以在模擬信道上直接傳送，但在網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)傳送中這并不常用，人們?nèi)匀粫?huì)將模擬數(shù)據(jù)調(diào)制出來，然后再通過模擬信道發(fā)送。調(diào)制的目的是將模 擬信號(hào)調(diào)制到高頻載波信號(hào)上以便于遠(yuǎn)距離傳輸。目前，存在的調(diào)制方式主要有調(diào)幅（Amplitude Modulation，AM）、調(diào)頻（Frequency Modulation，F(xiàn)M）及調(diào)相（Phase Modulation，PM）。

2．模擬信號(hào)使用數(shù)字信道傳送

使模擬信號(hào)在數(shù)字信道上傳送，首先要將模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，這個(gè)轉(zhuǎn)換的過程就是數(shù)字化的過程，數(shù)字化的過程主要包括采用和量化兩步。常見的將模擬 信號(hào)編碼到數(shù)字信道傳送的方法主要有：脈沖幅度調(diào)制（Pulse Amplitude Modulation，PAM）、脈沖編碼調(diào)制（Pulse Code Modulation，PCM）、差分脈沖編碼調(diào)制（Differential PCM，DPCM）和增量脈碼調(diào)制方式（Delta Modulation，DM）。

3．?dāng)?shù)字信號(hào)使用模擬信道傳送

將數(shù)字信號(hào)使用模擬信道傳送的過程是一個(gè)調(diào)制的過程，它是一個(gè)將數(shù)字信號(hào)（二進(jìn)制0或1）表示的數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)來改變模擬信號(hào)特征的過程，即將二進(jìn)制數(shù)據(jù)調(diào)制到模擬信號(hào)上來的過程。

一個(gè)正弦波可以通過3個(gè)特性進(jìn)行定義：振幅、頻率和相位。當(dāng)我們改變其中任何一個(gè)特性時(shí)，就有了波的另一個(gè)形式。如果用原來的波表示二進(jìn)制1，那么波 的變形就可以表示二進(jìn)制0；反之亦然。波的3個(gè)特性中的任意一個(gè)都可以用這種方式改變，從而使我們至少有3種將數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)調(diào)制到模擬信號(hào)的機(jī)制：幅移鍵控法 （Amplitude-Shift Keying，ASK）、頻移鍵控法（Frequency-Shift Keying，F(xiàn)SK）以及相移鍵控法（Phase-Shift Keying，PSK）。另外，還有一種將振幅和相位變化結(jié)合起來的機(jī)制叫正交調(diào)幅（Quadrature Amplitude Modulation，QAM）。其中正交調(diào)幅的效率最高，也是現(xiàn)在所有的調(diào)制解調(diào)器中經(jīng)常采用的技術(shù)。

4．?dāng)?shù)字信號(hào)使用數(shù)字信道傳送

要是數(shù)字信號(hào)在數(shù)字信道上傳送，需要對(duì)數(shù)字信號(hào)先進(jìn)行編碼。例如，當(dāng)數(shù)據(jù)從計(jì)算機(jī)傳輸?shù)酱蛴C(jī)時(shí)，一般是采用這種方式。在這種方式下，首先須進(jìn)行對(duì)數(shù) 字信號(hào)編碼，即由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的二進(jìn)制0和1數(shù)字信號(hào)被轉(zhuǎn)換成一串可以在導(dǎo)線上傳輸?shù)碾妷好}沖。對(duì)信源進(jìn)行編碼可以降低數(shù)據(jù)率，提高信息量效率，對(duì)信道進(jìn)行 編碼可以提高系統(tǒng)的抗干擾能力。

目前，常見的數(shù)據(jù)編碼方式主要有不歸零碼、曼徹斯特編碼和差分曼徹斯特編碼三種。

（1）不歸零碼（NRZ，Non-Return to Zero）：二進(jìn)制數(shù)字0、1分別用兩種電平來表示，常用-5V表示1，+5V表示0。缺點(diǎn)是存在直流分量，傳輸中不能使用變壓器；不具備自同步機(jī)制，傳輸時(shí)必須使用外同步。

（2）曼徹斯特編碼（Manchester Code）：用電壓的變化表示0和1，規(guī)定在每個(gè)碼元的中間發(fā)生跳變。高→低的跳變代表0，低→高的跳變代表1（注意：某種教程中關(guān)于此部分內(nèi)容有相反的 描述，也是正確的）。每個(gè)碼元中間都要發(fā)生跳變，接收端可將此變化提取出來，作為同步信號(hào)。這種編碼也稱為自同步碼（Self- Synchronizing Code）。其缺點(diǎn)是需要雙倍的傳輸帶寬（即信號(hào)速率是數(shù)據(jù)速率的2倍）。

（3）差分曼徹斯特編碼：每個(gè)碼元的中間仍要發(fā)生跳變，用碼元開始處有無跳變來表示0和1。有跳變代表0，無跳變代表1（注意：某種教程中關(guān)于此部分內(nèi)容有相反的描述，也是正確的）。