計(jì)算機(jī)為什么使用補(bǔ)碼的形式來(lái)表示負(fù)數(shù)

計(jì)算機(jī)有三種編碼方式來(lái)表示同一個(gè)數(shù)：

原碼：符號(hào)位加上真值的絕對(duì)值，第一位表示符號(hào)，其余位表示值。

反碼：正數(shù)的反碼是其本身；負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上，符號(hào)位不變，其余位取反。

補(bǔ)碼：正數(shù)的補(bǔ)碼還是其本身；負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上，符號(hào)位保持不變，其余位取反，最后+1。即反碼加1。

對(duì)于+1和-1，

[+1] = [0001]原 = [0001]反 = [0001]補(bǔ)

[-1] = [1001]原 = [1110]反 = [1111]補(bǔ)

為什么計(jì)算機(jī)采用補(bǔ)碼的形式來(lái)表示負(fù)數(shù)呢？

首先我們知道，一個(gè)數(shù)在計(jì)算機(jī)中有正負(fù)之分，這個(gè)數(shù)的最高位（符號(hào)位）用來(lái)表示它的正負(fù)，其中0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)。

對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，加法是最基礎(chǔ)的運(yùn)算，要設(shè)計(jì)的盡量簡(jiǎn)單。

根據(jù)加法的運(yùn)算法則，a-b等于a+(-b)。

如果能將符號(hào)位也參與到運(yùn)算中，而非單獨(dú)“辨識(shí)符號(hào)位”，就可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算機(jī)的基礎(chǔ)電路。

于是，人們開(kāi)始探索只保留加法，并將符號(hào)位參與到運(yùn)算中的方法。

1、原碼：1 - 1 = 0

首先來(lái)看原碼：1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]原 + [1001]原

= [1002]原

= -2

這顯然是錯(cuò)誤的。

2、反碼：1 - 1 = 0

對(duì)于反碼：

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]反 + [1110]反

= [1111]反

= [1000]原

= -0

用反碼進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)結(jié)果是對(duì)的。但有一個(gè)問(wèn)題是“0”的表示有兩個(gè)：

-0（[1000]）

+0（[0000]）

而0帶符號(hào)是沒(méi)有意義的。

且采用補(bǔ)碼形式，對(duì)于4位的二進(jìn)制，其表達(dá)的范圍為：[1000]反~[0111]反，即[1111]原~[0111]原，也即[-7，7]。

因?yàn)椤?”有兩個(gè)編碼形式，所以等于浪費(fèi)了一個(gè)編碼。

3、補(bǔ)碼：1 - 1 = 0

而補(bǔ)碼解決了反碼的問(wèn)題：

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]補(bǔ) + [1111]補(bǔ)

= [0000]補(bǔ)

= [0000]原

= 0

使用補(bǔ)碼, 不僅僅解決了0的符號(hào)以及存在兩個(gè)編碼的問(wèn)題，而且還能夠用[1000]來(lái)表示-8，即多表示一個(gè)最低數(shù)。

即對(duì)于4位的二進(jìn)制，使用原碼或反碼表示的范圍為[-7，+7]，而使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-8，7]。

因?yàn)橛?jì)算機(jī)采用補(bǔ)碼來(lái)表示負(fù)數(shù)，所以對(duì)于編程中常用到的32位int類(lèi)型，可以表示范圍是：[-2^31，2^31-1] 。