開關(guān)轉(zhuǎn)換器動(dòng)態(tài)分析采用快速分析技術(shù)(一)
如果采用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)(mesh-node)分析能很好地求解電路的傳遞函數(shù),那么立即獲得一個(gè)有意義的符號(hào)公式通常是不可能的,需要額外的工作才能得出。應(yīng)用經(jīng)典的分析技術(shù)來獲得所謂的低熵表達(dá)式–即分?jǐn)?shù)形式,從中您可識(shí)別增益、極點(diǎn)和零點(diǎn)–往往導(dǎo)致如Middlebrook博士曾在他的文獻(xiàn)[1]、[2]中提到的代數(shù)失效(algebraic paralysis)。
在此,快速分析電路技術(shù)(FACTs)可幫助您基于您在大學(xué)里學(xué)到的東西而擴(kuò)展,以大大簡(jiǎn)化分析。通過使用FACTs,不僅加快您的執(zhí)行速度,而且最終結(jié)果將以有序的多項(xiàng)式形式出現(xiàn),通常無需進(jìn)一步的因子分解工作[3]、[4]。
本文首先介紹后文用于確定開關(guān)轉(zhuǎn)換器的控制到輸出傳遞函數(shù)的FACTs。這個(gè)主題很大,在此我們只談及表面,希望激勵(lì)您進(jìn)一步挖掘這個(gè)主題。我們選擇了電壓模式耦合電感單端初級(jí)電感轉(zhuǎn)換器(SEPIC)工作于非連續(xù)導(dǎo)電模式(DCM)。PWM開關(guān)[5]將用于形成小信號(hào)模型。
01
快速分析技術(shù)(FACTs)簡(jiǎn)介
FACTs背后的基本原理在于電路時(shí)間常數(shù)的確定–t=RC或t=L/R–此時(shí)在兩種不同的條件下觀察所研究的電路:當(dāng)激勵(lì)信號(hào)降至0時(shí)和響應(yīng)清零時(shí)。通過使用這種技術(shù),您將體會(huì)到確定特定傳遞函數(shù)有多快和直觀?;谶@種方法的分析技術(shù)始于幾十年前,如[6]和[7]中記載的。
傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)關(guān)系,它把激勵(lì)信號(hào)、激勵(lì)物,和由這種激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)信號(hào)聯(lián)系起來。如果我們考慮一個(gè)線性時(shí)不變(LTI)系統(tǒng)無延時(shí),具有靜態(tài)增益H0–例如開關(guān)轉(zhuǎn)換器的線性理想功率級(jí)-其連接控制信號(hào)Verr(激勵(lì))和輸出Vout(響應(yīng))的傳遞函數(shù)H可表示為:
(1)
首項(xiàng)H0是系統(tǒng)在s=0評(píng)估表現(xiàn)出的增益或衰減。該項(xiàng)將帶傳遞函數(shù)的單位(或維度),如果有的話。如果響應(yīng)和激勵(lì)都用伏特表示,在此我們表示為Verr和Vout,H是沒有單位的。分子N(s)控制傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。數(shù)學(xué)意義上,零點(diǎn)是函數(shù)幅值為零的根。通過FACTs,我們用數(shù)學(xué)抽象思維以輕松地揭開這些零點(diǎn)。我們不會(huì)像通常在諧波分析(s=jw)中所做的僅僅考慮在s平面的垂直軸,而是覆蓋考慮到負(fù)數(shù)根的整個(gè)平面。
因此,如果電路存在零點(diǎn),將表現(xiàn)為當(dāng)輸入信號(hào)調(diào)到零角頻率sz時(shí)無信號(hào)的輸出響應(yīng)。在這種情況下,在變形的電路中的一些阻抗阻擋了信號(hào)傳播,響應(yīng)為零,盡管存在激勵(lì)源:當(dāng)變形的電路在s=sz點(diǎn)被激勵(lì)時(shí),在信號(hào)路徑的串聯(lián)阻抗趨于無窮或分支將該激勵(lì)分流到地面。
請(qǐng)注意,這種方便的數(shù)學(xué)抽象通過觀察提供了巨大的幫助來找到零點(diǎn),通常無需寫一行無源電路的代數(shù)。圖1提供了簡(jiǎn)單的流程圖,詳細(xì)介紹了過程。關(guān)于這種方法的更多細(xì)節(jié)見[8]。
圖一
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Bring the excitation signal – the stimulus – back in place:將該激勵(lì)信號(hào) – 激勵(lì)-帶回原處
Null the output:將輸出清零
Identify in the transformed network, one or several impedances combinations that could block the stimulus propagation: a transformed open circuit or a transformed short circuit.:在變形的電路中找到一個(gè)或一些可阻擋激勵(lì)傳播的阻抗組合:一個(gè)變形的開路電路或變形的短路電路
Signal:信號(hào)
To response : 到響應(yīng)
If inspection is not possible, go for a Null Double Injection(NDI):若觀察無用,則進(jìn)行雙重抵消注入(NDI)
圖1:這個(gè)簡(jiǎn)單的流程圖將指導(dǎo)您用最簡(jiǎn)單的方法確定零點(diǎn)。在觀察無用時(shí),您將需要進(jìn)行雙重抵消注入或NDI。
分母D(s)由電路自然時(shí)間常數(shù)構(gòu)成。通過設(shè)置激勵(lì)信號(hào)為0和確定從電路中臨時(shí)移除的所考慮的電容或電感“所示”的阻抗,來得出這些時(shí)間常數(shù)。
通過“觀察”,您可想象把一個(gè)歐姆表置于暫時(shí)移除的儲(chǔ)能元件(C或L),并讀取它顯示的電阻。這其實(shí)是個(gè)相當(dāng)簡(jiǎn)單的運(yùn)用,正如圖2中的第二個(gè)流程圖所詳述的。
圖二
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Count energy-storing elements with independent state variables:計(jì)算具有獨(dú)立狀態(tài)變量的儲(chǔ)能元件
Assume there are two energy-storing element, L1 and C2:假設(shè)有兩個(gè)儲(chǔ)能元件,L1和C2
The denominator follow the form:分母遵循此公式
Open the capacitor, short the inductor, determine the dc gain H0 if it exists:電容開路,電感短路,確定直流增益H0,若H0存在
Reduce the excitation to 0 and determine time constants for b1 and b2:減小激勵(lì)至零,并確定b1和b2的時(shí)間常數(shù)
Determine the resistance Ri driving LI while C2 is open circuited:確定驅(qū)動(dòng)L1而C2 開路時(shí)的阻抗Ri
Determine the resistance Rj driving C2 while LI is short circuited:確定驅(qū)動(dòng)C2 而L1短路時(shí)的阻抗Rj
Sum the time constants:將時(shí)間常數(shù)相加
Determine the resistance Rk driving LI while C2 is short circuited:確定驅(qū)動(dòng)L1而C2 短路時(shí)的阻抗Rk
Determine the resistance Rl driving C2 while LI is open circuited:確定驅(qū)動(dòng)C2 而L1開路時(shí)的阻抗Rl
Choose the simplest combination:選擇最簡(jiǎn)單的組合
圖2:該流程圖解釋了用于確定電路時(shí)間常數(shù)的方法。
看到圖3,是一個(gè)涉及注入源的一階無源電路—該激勵(lì)源—加偏壓于左邊網(wǎng)絡(luò)。輸入信號(hào)Vin通過網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)傳播,形成您看到的電阻R3上的響應(yīng)Vout。我們感興趣的是導(dǎo)出連接Vout和Vin的傳遞函數(shù)G。
圖三
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The response:響應(yīng)
圖3:確定電路的時(shí)間常數(shù)需要將激勵(lì)源設(shè)為0,并看看從電路中暫時(shí)移除的能量存儲(chǔ)元件所提供的電阻。
為確定本例電路的時(shí)間常數(shù),我們將激勵(lì)源設(shè)為0(由短路代替0V電壓源,開路代替0A電流源),拆下電容器。然后,我們連接一個(gè)歐姆表來確定電容器端提供的電阻。圖4指導(dǎo)您進(jìn)行這些步驟。
圖四
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The excitation is set to 0:激勵(lì)源設(shè)為零
For example:例如
圖4:由短路代替0V源后確定電容器端的電阻。
如果用圖4的做法,您“看到” R1與R2并聯(lián)后與R4串聯(lián),所有這些與R3并聯(lián)后與rC串聯(lián)。該電路的時(shí)間常數(shù)只通過R和C1即可計(jì)算得出:
(2)
我們可證明第一階系統(tǒng)的極點(diǎn)是其時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。因此:
(3)
現(xiàn)在,s=0時(shí)該電路的準(zhǔn)靜態(tài)增益是多少?在直流條件下,電感器短路,電容器開路。把這概念應(yīng)用于圖3的電路,繪制成如圖5所示。想象在R4前斷開連接,會(huì)看到一個(gè)含R1和R2的電阻分壓器。R2上的戴維寧(Thévenin)電壓為:
(4)
輸出電阻Rth是R1與R2并聯(lián)的值。因此完整的傳遞函數(shù)涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯(lián)的R4和加載的R3所構(gòu)成)。rC是斷開的,由于電容C1在這直流分析中被移除。因此:
(5)
圖五
圖5:您斷開直流電路中的電容器,計(jì)算這簡(jiǎn)單的電阻配置的傳遞函數(shù)。
基本就是這些了,我們正錯(cuò)過零點(diǎn)。我們?cè)谇拔奶岬?,零點(diǎn)通過阻斷激勵(lì)信號(hào)的傳播而在電路中表現(xiàn)出來,產(chǎn)生一個(gè)無信號(hào)的輸出響應(yīng)(見圖1)。
若我們考慮一個(gè)變形的電路–其中C1由代替–如圖6,當(dāng)激勵(lì)源加偏壓于電路,有什么特定的條件意味著無信號(hào)響應(yīng)?無信號(hào)響應(yīng)只意味流過R3的電流為0。這不是短路,而是相當(dāng)于虛擬的接地。
圖六
圖6:在這變形的電路中,當(dāng)串聯(lián)的rC和C1轉(zhuǎn)化為變形的短路,響應(yīng)消失,R3中無電流流過。
如果在R3中沒有電流,那么串聯(lián)的rC和轉(zhuǎn)化為短路:
(6)
根sz是我們想要的零點(diǎn)位置:
(7)
從而有:
(8)
現(xiàn)在我們可組合所有這些結(jié)果,形成以圖3電路為特征的最終的傳遞函數(shù):
(9)
這就是所謂的低熵表達(dá)式,從中您可立即識(shí)別靜態(tài)增益G0、極點(diǎn)wp和零點(diǎn)wz。高熵表達(dá)式將在考慮阻抗分壓器時(shí)通過施加大規(guī)模外力到原來的電路來獲得,如:
(10)
您不只在推導(dǎo)表達(dá)式時(shí)可能會(huì)出錯(cuò)—而且將結(jié)果格式化到像(9)這樣需要更多的精力。另外,請(qǐng)注意,在這特定的例子中,在寫(9)時(shí)我們沒有寫一行代數(shù)。如果我們后來發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤,那么很容易回到一個(gè)單獨(dú)的圖紙并單獨(dú)修復(fù)它。(9)的校正很簡(jiǎn)單。現(xiàn)嘗試對(duì)(10)進(jìn)行相同的修正,您可能會(huì)從頭開始。
02
FACTs應(yīng)用于二階系統(tǒng)
FACTs同樣適用于n階無源或有源電路。通過計(jì)算狀態(tài)變量是獨(dú)立的儲(chǔ)能元件的數(shù)量來確定電路的階數(shù)。若我們考慮一個(gè)具有有限的靜態(tài)增益H0的二階系統(tǒng),其傳遞函數(shù)可表示如下:
(11)
當(dāng)H0帶傳遞函數(shù)的單位,那么N:D的比值是沒有單位的。這意味著a1和b1的單位是時(shí)間[s]。當(dāng)a1無信號(hào)響應(yīng),b1的激勵(lì)源為零,您將確定的時(shí)間常數(shù)相加。
對(duì)于二階系數(shù),a2或b2,維度是時(shí)間的平方[s2],你將時(shí)間常數(shù)結(jié)合為一個(gè)產(chǎn)物。然而,在這時(shí)間常數(shù)產(chǎn)物中,您重用了已經(jīng)確定為a1或b1的一個(gè)時(shí)間常數(shù),而二階時(shí)間常數(shù)的確定需要一個(gè)不同的符號(hào):
(12)
在這個(gè)定義中,您設(shè)置標(biāo)號(hào)出現(xiàn)在“冪” 中的儲(chǔ)能元件處于高頻狀態(tài)(電容被短路,電感被開路),當(dāng)我們暫時(shí)從電路中移除二階元件端(參見下標(biāo)),您可從中確定電阻。當(dāng)a2必須為無信號(hào)的輸出和b2的激勵(lì)源減為0時(shí),您可運(yùn)用此法。
當(dāng)然,當(dāng)觀察有用時(shí),它總是最快和最高效的得出N的方法。乍一看有點(diǎn)難以理解,但沒有什么不可克服的,我們用幾句話解釋您就會(huì)明白。
圖七
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Voltage-mode:電壓模式
Small-signal mode:小信號(hào)模式
圖7:工作于CCM的降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗的確定是一個(gè)很好的例子,演示了FACTs如何簡(jiǎn)化分析。
圖7是一個(gè)經(jīng)典的二階濾波器,用于確定在連續(xù)導(dǎo)通模式(CCM)中工作的電壓模式降壓轉(zhuǎn)換器的輸出阻抗。阻抗是連接一個(gè)激勵(lì)信號(hào)Iout與響應(yīng)信號(hào)Vout的一個(gè)傳遞函數(shù)。
此處,Iout是我們已安裝的測(cè)試生成器,而Vout是其兩端產(chǎn)生的電壓。要從(11)中確定各種系數(shù),我們可按照?qǐng)D2的流程圖,從s = 0開始:如圖所示,電感短路,電容開路。該電路是簡(jiǎn)單的,電流源的電阻R0不過是rL和Rload簡(jiǎn)單的并列組合:
(13)
這個(gè)電路中有零點(diǎn)嗎?我們看看圖8所示的變形電路。我們看看當(dāng)激勵(lì)源電流Iout調(diào)為零角頻率sz時(shí),什么樣的元件組合將使響應(yīng)Vout為零。我們可發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變形的短路涉及rL–L1和rc–C2。
圖八
圖8:如果阻抗Z1或Z2轉(zhuǎn)換為短路,響應(yīng)Vout為無信號(hào)輸出。
立即確定這兩個(gè)阻抗的根:
(14)
(15)
因此分母N(s)表示為
(16)
分母D(s)的一階系數(shù)b1是由L1兩端的阻抗提供,而C2處于直流狀態(tài)(開路):有t1。然后看驅(qū)動(dòng)C2而L1設(shè)置為直流狀態(tài)(短路)時(shí)的阻抗:得出t2。如圖9所示,從該草圖可立即得出b1的定義:
(17)
圖九
圖9:在選定的組件終端中,當(dāng)?shù)诙€(gè)組件處于直流狀態(tài)時(shí),您會(huì)得出阻抗為多少?
二階系數(shù)b2是用(12)中引入的符號(hào)來確定的。L1設(shè)置在其高頻狀態(tài)(開路),驅(qū)動(dòng)C2以得到的阻抗,C2處于高頻狀態(tài)(短路),則驅(qū)動(dòng)L1而得到的阻抗。圖10顯示了兩種可能的整理結(jié)果。
您通常選擇最簡(jiǎn)單的表達(dá)式,或避免不確定性的一個(gè),如果有的話(如∞×0或∞/∞)。下面對(duì)于b2的兩個(gè)定義是相同的,您看上面的是最簡(jiǎn)單的:
(18)
現(xiàn)在我們有所有的成分來組合最終的傳遞函數(shù),定義為:
(19)
我們已經(jīng)確定了這個(gè)傳遞函數(shù),而沒有寫一行代數(shù),只是拆分該電路為幾個(gè)簡(jiǎn)單的草圖個(gè)別解決。
此外,正如預(yù)期的那樣,(19)已經(jīng)是一個(gè)規(guī)范的表達(dá)式,您可輕易的看到一個(gè)靜態(tài)增益、兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)可用一個(gè)諧振分量w0和一個(gè)品質(zhì)因數(shù)Q進(jìn)一步整理的二階分母。如果不是迅速考慮Z1、Z2 和Rload的并聯(lián)組合,我們不可能得到這一結(jié)果。
圖十
圖10:在選定的組件終端中,當(dāng)?shù)诙€(gè)組件處于高頻狀態(tài)時(shí),您會(huì)得出阻抗為多少?
采用FACTs,通過觀察可導(dǎo)出傳遞函數(shù),特別是對(duì)于無源電路。由于電路復(fù)雜,包括電壓或電流控制源,觀察起來沒那么明顯,您需要利用經(jīng)典的網(wǎng)格和節(jié)點(diǎn)分析。但FACTs提供了幾個(gè)優(yōu)點(diǎn):由于您將電路拆分為用于確定最終的多項(xiàng)式表達(dá)式系數(shù)的小的單個(gè)草圖,因此如果在最終的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤,您總是可以回到一個(gè)特定的繪圖并個(gè)別修正。
此外,當(dāng)您確定與傳遞函數(shù)的ai和bi相關(guān)的項(xiàng)時(shí),您自然會(huì)得到一個(gè)多項(xiàng)式表達(dá)式,而不用投入進(jìn)一步的精力來收集和重新排列這些項(xiàng)。最后,如[4]所示,在復(fù)雜的無源和有源電路中,SPICE對(duì)驗(yàn)證個(gè)別極點(diǎn)和零點(diǎn)的計(jì)算有很大幫助。
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原文標(biāo)題:溫溫故,知知新 | 開關(guān)轉(zhuǎn)換器動(dòng)態(tài)分析采用快速分析技術(shù) 一(文末有獎(jiǎng))
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