詳解C語言二分查找算法細(xì)節(jié)

思路

我相信對很多讀者朋友來說，編寫二分查找的算法代碼屬于玄學(xué)編程，雖然看起來很簡單，就是會(huì)出錯(cuò)，要么會(huì)漏個(gè)等號(hào)，要么少加個(gè) 1。

不要?dú)怵H，因?yàn)槎植檎移鋵?shí)并不簡單。看看 Knuth 大佬（發(fā)明 KMP 算法的那位）怎么說的：

Although the basic idea of binary search is comparatively straightforward，

the details can be surprisingly tricky.。.

這句話可以這樣理解：思路很簡單，細(xì)節(jié)是魔鬼。

本文以問答的形式，探究幾個(gè)最常用的二分查找場景：尋找一個(gè)數(shù)、尋找左側(cè)邊界、尋找右側(cè)邊界。第一個(gè)場景是最簡單的算法形式，解決 這道題，后兩個(gè)場景就是本題。

而且，我們就是要深入細(xì)節(jié)，比如不等號(hào)是否應(yīng)該帶等號(hào)，mid 是否應(yīng)該加一等等。分析這些細(xì)節(jié)的差異以及出現(xiàn)這些差異的原因，保證你能靈活準(zhǔn)確地寫出正確的二分查找算法。

零、二分查找框架

int binarySearch（int［］ nums， int target） {

int left = 0， right = 。..;

while（。..） {

int mid = （right + left） / 2;

if （nums［mid］ == target） {

。..

} else if （nums［mid］ 《 target） {

left = 。..

} else if （nums［mid］ 》 target） {

right = 。..

}

}

return 。..;

}

分析二分查找的一個(gè)技巧是：不要出現(xiàn) else，而是把所有情況用 else if 寫清楚，這樣可以清楚地展現(xiàn)所有細(xì)節(jié)。本文都會(huì)使用 else if，旨在講清楚，讀者理解后可自行簡化。

其中 。.. 標(biāo)記的部分，就是可能出現(xiàn)細(xì)節(jié)問題的地方，當(dāng)你見到一個(gè)二分查找的代碼時(shí)，首先注意這幾個(gè)地方。后文用實(shí)例分析這些地方能有什么樣的變化。

另外聲明一下，計(jì)算 mid 時(shí)需要技巧防止溢出，即 mid=left+（right-left）/2。本文暫時(shí)忽略這個(gè)問題。

一、尋找一個(gè)數(shù)（基本的二分搜索）

這個(gè)場景是最簡單的，肯能也是大家最熟悉的，即搜索一個(gè)數(shù)，如果存在，返回其索引，否則返回 -1。

int binarySearch（int［］ nums， int target） {

int left = 0;

int right = nums.length - 1; // 注意

while（left 《= right） {

int mid = （right + left） / 2;

if（nums［mid］ == target）

return mid;

else if （nums［mid］ 《 target）

left = mid + 1; // 注意

else if （nums［mid］ 》 target）

right = mid - 1; // 注意

}

return -1;

}

1. 為什么 while 循環(huán)的條件中是 《=，而不是 《 ？

答：因?yàn)槌跏蓟?right 的賦值是 nums.length-1，即最后一個(gè)元素的索引，而不是 nums.length。

這二者可能出現(xiàn)在不同功能的二分查找中，區(qū)別是：前者相當(dāng)于兩端都閉區(qū)間 ［left， right］，后者相當(dāng)于左閉右開區(qū)間 ［left， right），因?yàn)樗饕笮?nums.length 是越界的。

我們這個(gè)算法中使用的是前者 ［left， right］ 兩端都閉的區(qū)間。這個(gè)區(qū)間其實(shí)就是每次進(jìn)行搜索的區(qū)間，我們不妨稱為「搜索區(qū)間」。

什么時(shí)候應(yīng)該停止搜索呢？當(dāng)然，找到了目標(biāo)值的時(shí)候可以終止：

if（nums［mid］ == target）

return mid;

但如果沒找到，就需要 while 循環(huán)終止，然后返回 -1。那 while 循環(huán)什么時(shí)候應(yīng)該終止？搜索區(qū)間為空的時(shí)候應(yīng)該終止，意味著你沒得找了，就等于沒找到嘛。

while（left 《= right） 的終止條件是 left == right + 1，寫成區(qū)間的形式就是 ［right + 1， right］，或者帶個(gè)具體的數(shù)字進(jìn)去 ［3， 2］，可見這時(shí)候搜索區(qū)間為空，因?yàn)闆]有數(shù)字既大于等于 333 又小于等于 222 的吧。所以這時(shí)候 while 循環(huán)終止是正確的，直接返回 -1 即可。

while（left 《 right） 的終止條件是 left == right，寫成區(qū)間的形式就是 ［left， right］，或者帶個(gè)具體的數(shù)字進(jìn)去 ［2， 2］，這時(shí)候搜索區(qū)間非空，還有一個(gè)數(shù) 2，但此時(shí) while 循環(huán)終止了。也就是說這區(qū)間 ［2， 2］ 被漏掉了，索引 2 沒有被搜索，如果這時(shí)候直接返回 -1 就是錯(cuò)誤的。

當(dāng)然，如果你非要用 while（left 《 right） 也可以，我們已經(jīng)知道了出錯(cuò)的原因，就打個(gè)補(bǔ)丁好了：

//。..

while（left 《 right） {

// 。..

}

return nums［left］ == target ？ left ： -1;

2. 為什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代碼是 right = mid 或者 left = mid，沒有這些加加減減，到底怎么回事，怎么判斷？

答：這也是二分查找的一個(gè)難點(diǎn)，不過只要你能理解前面的內(nèi)容，就能夠很容易判斷。

剛才明確了「搜索區(qū)間」這個(gè)概念，而且本算法的搜索區(qū)間是兩端都閉的，即 ［left， right］。那么當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)索引 mid 不是要找的 target 時(shí)，如何確定下一步的搜索區(qū)間呢？

當(dāng)然是 ［left， mid - 1］ 或者 ［mid + 1， right］ 對不對？因?yàn)?mid 已經(jīng)搜索過，應(yīng)該從搜索區(qū)間中去除。

3. 此算法有什么缺陷？

答：至此，你應(yīng)該已經(jīng)掌握了該算法的所有細(xì)節(jié)，以及這樣處理的原因。但是，這個(gè)算法存在局限性。

比如說給你有序數(shù)組 nums = ［1，2，2，2，3］，target = 2，此算法返回的索引是 2，沒錯(cuò)。但是如果我想得到 target 的左側(cè)邊界，即索引 1，或者我想得到 target 的右側(cè)邊界，即索引 3，這樣的話此算法是無法處理的。

這樣的需求很常見。你也許會(huì)說，找到一個(gè) target，然后向左或向右線性搜索不行嗎？可以，但是不好，因?yàn)檫@樣難以保證二分查找對數(shù)級的復(fù)雜度了。

我們后續(xù)的算法就來討論這兩種二分查找的算法。

二、尋找左側(cè)邊界的二分搜索

直接看代碼，其中的標(biāo)記是需要注意的細(xì)節(jié)：

int left_bound（int［］ nums， int target） {

if （nums.length == 0） return -1;

int left = 0;

int right = nums.length; // 注意

while （left 《 right） { // 注意

int mid = （left + right） / 2;

if （nums［mid］ == target） {

right = mid;

} else if （nums［mid］ 《 target） {

left = mid + 1;

} else if （nums［mid］ 》 target） {

right = mid; // 注意

}

}

return left;

}

1. 為什么 while（left 《 right） 而不是 《= ？

答：用相同的方法分析，因?yàn)?right = nums.length 而不是 nums.length - 1 。因此每次循環(huán)的「搜索區(qū)間」是 ［left， right） 左閉右開。

while（left 《 right） 終止的條件是 left == right，此時(shí)搜索區(qū)間 ［left， left） 為空，所以可以正確終止。

2. 為什么沒有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 這個(gè)值，怎么辦？

答：因?yàn)橐徊揭徊絹?，先理解一下這個(gè)「左側(cè)邊界」有什么特殊含義：

對于這個(gè)數(shù)組，算法會(huì)返回 1。這個(gè) 1 的含義可以這樣解讀：nums 中小于 2 的元素有 1 個(gè)。

比如對于有序數(shù)組 nums = ［2，3，5，7］， target = 1，算法會(huì)返回 0，含義是：nums 中小于 1 的元素有 0 個(gè)。

再比如說 nums 不變，target = 8，算法會(huì)返回 4，含義是：nums 中小于 8 的元素有 4 個(gè)。

綜上可以看出，函數(shù)的返回值（即 left 變量的值）取值區(qū)間是閉區(qū)間 ［0， nums.length］，所以我們簡單添加兩行代碼就能在正確的時(shí)候 return -1：

while （left 《 right） {

//。..

}

// target 比所有數(shù)都大

if （left == nums.length） return -1;

// 類似之前算法的處理方式

return nums［left］ == target ？ left ： -1;

3. 為什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一樣？

答：這個(gè)很好解釋，因?yàn)槲覀兊摹杆阉鲄^(qū)間」是 ［left， right） 左閉右開，所以當(dāng) nums［mid］ 被檢測之后，下一步的搜索區(qū)間應(yīng)該去掉 mid 分割成兩個(gè)區(qū)間，即 ［left， mid） 或 ［mid + 1， right）。

4. 為什么該算法能夠搜索左側(cè)邊界？

答：關(guān)鍵在于對于 nums［mid］ == target 這種情況的處理：

if （nums［mid］ == target）

right = mid;

可見，找到 target 時(shí)不要立即返回，而是縮小「搜索區(qū)間」的上界 right，在區(qū)間 ［left， mid） 中繼續(xù)搜索，即不斷向左收縮，達(dá)到鎖定左側(cè)邊界的目的。

5. 為什么返回 left 而不是 right？

答：都是一樣的，因?yàn)?while 終止的條件是 left == right。

三、尋找右側(cè)邊界的二分查找

尋找右側(cè)邊界和尋找左側(cè)邊界的代碼差不多，只有兩處不同，已標(biāo)注：

int right_bound（int［］ nums， int target） {

if （nums.length == 0） return -1;

int left = 0， right = nums.length;

while （left 《 right） {

int mid = （left + right） / 2;

if （nums［mid］ == target） {

left = mid + 1; // 注意

} else if （nums［mid］ 《 target） {

left = mid + 1;

} else if （nums［mid］ 》 target） {

right = mid;

}

}

return left - 1; // 注意

}

1. 為什么這個(gè)算法能夠找到右側(cè)邊界？

答：類似地，關(guān)鍵點(diǎn)還是這里：

if （nums［mid］ == target） {

left = mid + 1;

當(dāng) nums［mid］ == target 時(shí)，不要立即返回，而是增大「搜索區(qū)間」的下界 left，使得區(qū)間不斷向右收縮，達(dá)到鎖定右側(cè)邊界的目的。

2. 為什么最后返回 left - 1 而不像左側(cè)邊界的函數(shù)，返回 left？而且我覺得這里既然是搜索右側(cè)邊界，應(yīng)該返回 right 才對。

答：首先，while 循環(huán)的終止條件是 left == right，所以 left 和 right 是一樣的，你非要體現(xiàn)右側(cè)的特點(diǎn)，返回 right - 1 好了。

至于為什么要減一，這是搜索右側(cè)邊界的一個(gè)特殊點(diǎn)，關(guān)鍵在這個(gè)條件判斷：

if （nums［mid］ == target） {

left = mid + 1;

// 這樣想： mid = left - 1

因?yàn)槲覀儗?left 的更新必須是 left = mid + 1，就是說 while 循環(huán)結(jié)束時(shí)，nums［left］ 一定不等于 target 了，而 nums［left-1］ 可能是 target。更多精彩文章歡迎關(guān)注我的眾公號(hào) labuladong。

至于為什么 left 的更新必須是 left = mid + 1，同左側(cè)邊界搜索，就不再贅述。

3. 為什么沒有返回 ?1-1?1 的操作？如果 nums 中不存在 target 這個(gè)值，怎么辦？

答：類似之前的左側(cè)邊界搜索，因?yàn)?while 的終止條件是 left == right，就是說 left 的取值范圍是 ［0， nums.length］，所以可以添加兩行代碼，正確地返回 ?1-1?1：

while （left 《 right） {

// 。..

}

if （left == 0） return -1;

return nums［left-1］ == target ？ （left-1） ： -1;

四、最后總結(jié)

來梳理一下這些細(xì)節(jié)差異的因果邏輯：

第一個(gè)，最基本的二分查找算法：

因?yàn)槲覀兂跏蓟?right = nums.length - 1

所以決定了我們的「搜索區(qū)間」是 ［left， right］

所以決定了 while （left 《= right）

同時(shí)也決定了 left = mid+1 和 right = mid-1

因?yàn)槲覀冎恍枵业揭粋€(gè) target 的索引即可

所以當(dāng) nums［mid］ == target 時(shí)可以立即返回

第二個(gè)，尋找左側(cè)邊界的二分查找：

因?yàn)槲覀兂跏蓟?right = nums.length

所以決定了我們的「搜索區(qū)間」是 ［left， right）

所以決定了 while （left 《 right）

同時(shí)也決定了 left = mid + 1 和 right = mid

因?yàn)槲覀冃枵业?target 的最左側(cè)索引

所以當(dāng) nums［mid］ == target 時(shí)不要立即返回

而要收緊右側(cè)邊界以鎖定左側(cè)邊界

第三個(gè)，尋找右側(cè)邊界的二分查找：

因?yàn)槲覀兂跏蓟?right = nums.length

所以決定了我們的「搜索區(qū)間」是 ［left， right）

所以決定了 while （left 《 right）

同時(shí)也決定了 left = mid + 1 和 right = mid

因?yàn)槲覀冃枵业?target 的最右側(cè)索引

所以當(dāng) nums［mid］ == target 時(shí)不要立即返回

而要收緊左側(cè)邊界以鎖定右側(cè)邊界

又因?yàn)槭站o左側(cè)邊界時(shí)必須 left = mid + 1

所以最后無論返回 left 還是 right，必須減一

如果以上內(nèi)容你都能理解，那么恭喜你，二分查找算法的細(xì)節(jié)不過如此。

通過本文，你學(xué)會(huì)了：

分析二分查找代碼時(shí)，不要出現(xiàn) else，全部展開成 else if 方便理解。

注意「搜索區(qū)間」和 while 的終止條件，如果存在漏掉的元素，記得在最后檢查。

如需要搜索左右邊界，只要在 nums［mid］ == target 時(shí)做修改即可。搜索右側(cè)時(shí)需要減一。

以后就算遇到其他的二分查找變形，運(yùn)用這幾點(diǎn)技巧，也能保證你寫出正確的代碼。