濾波器耦合矩陣?yán)碚摰恼Q生

上世紀(jì)70年代，通信衛(wèi)星技術(shù)得到了飛速發(fā)展。通信衛(wèi)星是一種無線信號的中繼站，它接受地面基站A的信號，將信號載波頻率轉(zhuǎn)化到發(fā)射頻率，將信號功率放大再傳輸給另一個地方的地面基站B。

衛(wèi)星高高“懸掛“于地球上方，它能夠看到大約1/3的地球表面，因此它能夠避開山川盆地的阻隔，連接遠(yuǎn)在大洋彼岸的通信基站，它還能非常便捷地提供一對多的衛(wèi)星電視服務(wù)。

圖1. 通信衛(wèi)星的無線模塊結(jié)構(gòu)[1]

圖1所示的是通信衛(wèi)星的射頻系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，接收端天線Rx的信號首先通過一個寬帶濾波器IFA（input filter assembly），將衛(wèi)星通信頻帶之外的干擾信號加以抑制然后接收信號經(jīng)過低噪聲接收機(jī)RCVR，RCVR模塊包括低噪放LNA（low noise amplifier），本振（local oscillator）和混頻器（mixer）用于將接收頻率向下轉(zhuǎn)換到發(fā)射頻率，以及驅(qū)動放大器（driver amplifier）。

圖1中有一個備用的RCVR，主要目的是保證接收機(jī)工作的可靠性。

寬帶信號經(jīng)過低噪接收機(jī)之后便進(jìn)入輸入多工器IMUX（input multiplexer）。多工器的作用是將整個通信衛(wèi)星的頻譜分割成一個個非常窄的頻帶，每一路窄帶信號由一個高功率放大器HPA（high-power amplifier）獨立放大。

信號被放大之后再由輸出多工器OMUX（output multiplexer）將其合并，由發(fā)射天線TX將信號送出。為了獲得足夠的輸出功率，HPA工作在接近飽和區(qū)的狀態(tài)，此時功率放大器無法在較寬的頻帶內(nèi)保持良好的線性度，因此必須先將整個無線信號分成多路窄帶信號，分別放大再合并。

輸入輸出多工器是由許多窄帶濾波器以某種方式連接到一個公共端構(gòu)成的。通信衛(wèi)星使用的C和Ka波段的頻率，這些波段被進(jìn)一步劃分為帶寬24MHz~72MHz的多個窄帶信道，這使得每一個信道濾波器的相對帶寬（帶寬和中心頻率之比）通常在0.3%~2%之間。相較于寬帶濾波器而言，窄帶濾波器會使通帶信號產(chǎn)生更大的群時延，同時相位線性度也會更差，因此通常需要設(shè)計平衡器（equalizer）以改善相位線性度。

濾波器設(shè)計的另一個關(guān)鍵問題是，多工器相鄰信道頻率非常接近，這對濾波器的帶外抑制產(chǎn)生了很高的要求。此外，還要求濾波器功率容量大，體積和重量盡量小等等。

圖2. 通信衛(wèi)星上的圓波導(dǎo)雙模濾波器

圖2所示的圓波導(dǎo)雙模濾波器的設(shè)計很好地應(yīng)對了這一挑戰(zhàn)。它采用空氣填充的圓波導(dǎo)腔體，內(nèi)部表面鍍銀之后，諧振器的Q值可以達(dá)到10000。由于每一個金屬腔支持兩個正交極化的TE11諧振模式，相較于單模濾波器，這個濾波器的空間利用率更高。

它有四個圓柱形諧振腔，在濾波器通帶內(nèi)一共有八個諧振模式，這八個諧振模式的耦合結(jié)構(gòu)如圖3所示，可以看到其中除了按照諧振模式順序耦合之外，這個耦合結(jié)構(gòu)還有兩個交叉耦合，分別在諧振模式1和4之間以及在諧振模式5和8之間。

其中一個交叉耦合產(chǎn)生帶外的傳輸零點，可以增強(qiáng)濾波器的頻率選擇性；另一個交叉耦合產(chǎn)生一對共軛傳輸零點，這對傳輸零點不能在幅度響應(yīng)上直接被觀察到，但是通過合理安排它們在復(fù)平面上的位置，可以起到改進(jìn)相位線性度的作用。

圖3. 圓波導(dǎo)雙模濾波器的耦合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖3中所示中間有數(shù)字的圓表示一個TE11諧振模式，圓圈之間的連線表示諧振模式之間的耦合。

與經(jīng)典的Butterworth和Chebyshev濾波器不同，圖2所示的濾波器帶有交叉耦合，它的設(shè)計需要一種新的理論工具，耦合矩陣就是在這樣的背景下由A. E. Atia和A. E. Williams提出的[2]-[6]。

圖4. 參考文獻(xiàn)[4]中給出的耦合諧振網(wǎng)絡(luò)電路模型

圖4所示的是早期的耦合諧振網(wǎng)絡(luò)電路模型。在這個電路模型中，每個諧振器是由電感電容串聯(lián)諧振器來表示的，所有的電容均為1F，每一個諧振回路的總電感為1H，所以每一個諧振器的諧振頻率均為1 rad/s。在最一般的情況下，任意兩個諧振器之間都可以存在耦合，耦合是通過線圈的互感來表示的。假設(shè)輸入端和輸出端的參考阻抗分別為R1和Rn，這個電路的回路方程可以寫為：

方程（1）

其中i1-in是n個諧振回路的電流，e1是在端口1外加的激勵電壓。通過求解方程（1）可以求得各個回路的電流，從而進(jìn)一步求解整個網(wǎng)絡(luò)的S參數(shù)。

方程（1）可以被歸納為如下形式：

方程（2）

上式為耦合矩陣的電路方程，其中[R]是一個稀疏矩陣，其中除了左上角的元素為R1，右下角的元素為Rn之外，其余元素均為0。[M]是耦合矩陣，其中每一個非對角線元素Mij表示第i個和第j個諧振器之間的耦合系數(shù)。（2）式左邊第三個矩陣[I]是單位矩陣，而單位矩陣之前的變量p是一個和頻率相關(guān)的變量：

方程（3）

注意到當(dāng)時的耦合矩陣和目前廣泛使用的耦合矩陣還是有較大的不同，主要表現(xiàn)在：

當(dāng)時的耦合矩陣的對角線元素均為0，此時所有諧振器諧振頻率一致，諧振頻率等于網(wǎng)絡(luò)的中心頻率，這種情況也被稱為同步調(diào)諧（synchronously tuned）。而現(xiàn)在耦合矩陣的對角線元素允許有非零元素，對角線元素的值和該諧振器的諧振頻率有關(guān)，這種網(wǎng)絡(luò)被稱為異步調(diào)諧（asynchronously tuned）網(wǎng)絡(luò)。

當(dāng)時的耦合矩陣中僅包含了諧振器之間的耦合，一個由N個諧振器構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)的耦合矩陣是一個大小為N乘以N的矩陣，因此這種耦合矩陣也被稱為N?N矩陣。而現(xiàn)在流行的是N+2耦合矩陣，其中除了N個諧振器之外還包括了兩個端口結(jié)點，同時也包含了輸入和輸出端與諧振器之間的耦合系數(shù)，這些耦合系數(shù)被稱為輸入輸出耦合。

圖5. N×N耦合矩陣形式

圖5所示內(nèi)容為與圖3所示拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對應(yīng)的N?N耦合矩陣形式，其中X標(biāo)記了非零元素。耦合矩陣的解讀類似于圖論中的鄰接矩陣，矩陣的每一個對角線元素對應(yīng)著耦合拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖中的一個頂點，即一個諧振模式。每一個非對角線元素對應(yīng)于兩個頂點之間的一條連線，如果一個非對角線元素為0，則表示對應(yīng)的兩個頂點之間沒有連線，即這兩個諧振模式之間沒有耦合；如果一個非對角線元素非零，它的大小則是這兩個諧振模式之間耦合的大小。

例如，對應(yīng)于圖3所示拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合矩陣，應(yīng)當(dāng)具有圖5所示的形式，其中X表示非零元素，空白部分的元素均為0。圖5中的耦合矩陣是一個同步調(diào)諧濾波器的矩陣，因此它的對角線元素均為0。

耦合矩陣的優(yōu)勢是它的元素和實際濾波器的單元有一一對應(yīng)關(guān)系，如果我們可以綜合出理想狀態(tài)下該濾波器的耦合矩陣，我們就得到了每一對諧振模式之間的耦合系數(shù)大小，從而進(jìn)行濾波器物理結(jié)構(gòu)的設(shè)計，這是耦合矩陣?yán)碚撝饾u成為濾波器的主流設(shè)計方法的原因。