動(dòng)態(tài)電路中零輸入響應(yīng)的一階齊次微分方程解析

動(dòng)態(tài)電路中無(wú)外施激勵(lì)電源，僅由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱(chēng)為動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)。

RC電路的零輸入響應(yīng)

開(kāi)關(guān)S閉合前，電容C已充電，其電壓u_C=U_o?，F(xiàn)把開(kāi)關(guān)動(dòng)作時(shí)刻取為計(jì)時(shí)起點(diǎn)(t=0)。開(kāi)關(guān)閉合后，即t≥0+時(shí)，根據(jù)KVL可得

u_R-u_C=0

將u_R=Ri(對(duì)R，電流、電壓的參考方向是關(guān)聯(lián)參考方向)，i=-C(du_C/dt)(對(duì)電容C，電流、電壓的參考方向是非關(guān)聯(lián)參考方向)代入上述方程，有

RC(du_C/dt)+u_C=0

(齊次線(xiàn)性方程dy/dx+P(x)y=0

通解為y=Ce-∫P(x)dx(C=±e^C1)

對(duì)于RC(du_C/dt)+u_C=0，u_C=Ae^-∫(1/RC)dt=Ae^-(1/RC)t

(RCp+1)Ae^pt=0)

這是一階齊次微分方程，初始條件u_C(0₊)=u_C(0_-)=U₀，令此方程的通解u_C=Ae^pt，代入上式后有

(RCp+1)Ae^pt=0

相應(yīng)的特征方程為

p=-(1/RC)

根據(jù)u_C(0₊)=u_C(0_-)=U₀，以此代入u_C=Ae^pt，則可求得積分常數(shù)A=u_C(0₊)=U₀。

電路中的電流為

i=(U₀/R)e^-(1/RC)t

電阻上的電壓

u_R=u_C=U₀e^-(1/R)t

由于p=-1/RC，這是電路特征方程的特征根，僅取決于電路的結(jié)構(gòu)和元件的參數(shù)。當(dāng)電阻的單位是Ω，電容的單位為F時(shí)，乘積RC的單位為s，它稱(chēng)為RC電路的時(shí)間常數(shù)，用τ表示。引入τ后，電容電壓u_C和電流i可以分別表示為

uC=U₀e^-t/τ

i=(U₀/R)e^-t/τ

過(guò)程與RC電路類(lèi)似，從略

τ=L/R

i=I₀e^-t/τ

u_R=RI₀e^-t/τ

u_L=-RI₀e^-t/τ