傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z 變換的聯(lián)系是什么？

[導(dǎo)讀] 在知乎上看到一個問題，傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z 變換的聯(lián)系是什么？為什么要進(jìn)行這些變換？我覺得這是一個非常好的問題，貌似一下子也回答不上來，所以整理學(xué)習(xí)并分享一下。

什么是數(shù)學(xué)變換？

要理解這些變換，首先需要理解什么是數(shù)學(xué)變換！如果不理解什么是數(shù)學(xué)變換的概念，那么其他的概念我覺得也沒有理解。

數(shù)學(xué)變換是指數(shù)學(xué)函數(shù)從原向量空間在自身函數(shù)空間變換，或映射到另一個函數(shù)空間，或?qū)τ诩蟈到其自身（比如線性變換）或從X到另一個集合Y的可逆變換函數(shù)。比如(圖片來源wikipedia)：

旋轉(zhuǎn)變換(Rotation)

鏡像變換（Reflection）

平移變換(Translation)

數(shù)學(xué)中還有很多其他的數(shù)學(xué)變換，其本質(zhì)都可以看成是將函數(shù)f(x)利用變換因子進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)映射，其變換結(jié)果是函數(shù)的自變量有可能還是原來的幾何向量空間，或許會變成其他的幾何向量空間，比如傅立葉變換就從時域變換為頻域。

而傅立葉變換和拉普拉斯變換的本質(zhì)都是對連續(xù)或有限個第一類間斷點(diǎn)函數(shù)的一種積分變換，那么什么是積分變換呢？

什么是積分變換？

積分變換通過對原函數(shù)對映射函數(shù)空間自變量在特定區(qū)間進(jìn)行積分運(yùn)算，將函數(shù)從其原始函數(shù)空間映射到另一個函數(shù)空間。這樣一來，其中原始函數(shù)的某些屬性在映射函數(shù)空間可能比原始函數(shù)空間更容易表征或分析。通常可以使用逆變換將變換后的函數(shù)映射回到原函數(shù)空間，這樣的變換稱為可逆變換。

假定對于函數(shù)為自變量t的函數(shù)f(t)，通常積分變換都具有如下類似的范式：

函數(shù)f(t)是該變換的輸入，(Tf)(u)為變換的輸出，因此積分變換一般也稱為一種特定的數(shù)學(xué)運(yùn)算符。而函數(shù)K(t,u)稱為積分核函數(shù)(kernel function)。

這里有一個對稱核函數(shù)的概念，這是什么意思呢？就是將函數(shù)K的兩個自變量交換位置仍然相等：

有的變換可逆，這是什么概念呢？就是變換后通過逆變換，還能還原！

觀察正變換與逆變換，你會發(fā)現(xiàn)：

核函數(shù)剛好兩個自變量交換位置

正變換是對原函數(shù)f(t)在時間維度上進(jìn)行積分

逆變換是在變換后的函數(shù)在u維度上進(jìn)行積分

什么是傅立葉級數(shù)？

在談傅立葉變換之前，先談?wù)劯盗⑷~級數(shù)會更容易理解傅立葉變換。在數(shù)學(xué)中，傅里葉級數(shù)（Fourier series）是把類似波的函數(shù)表示成簡單正弦波的方式。更正式的說法是，它能將任何周期性函數(shù)或周期性信號分解成一個（可能由無窮個頻率分量組成的）簡單振蕩函數(shù)的集合，即正弦函數(shù)和余弦函數(shù)（或者，等價地使用復(fù)指數(shù)），從數(shù)學(xué)的定義來看：

設(shè)f(t)是一周期信號,假定其周期為T。若f(t)在一個周期的能量是有限的，就是：

則，可以將f(t)展開為傅立葉級數(shù)。怎么展開呢？計算如下：

而傅立葉級數(shù)的系數(shù)由下式計算：

對于f(t),利用歐拉公式還可以寫成正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的和，這里就不寫了。歐拉公式如下：

公式中的k表示第k次諧波，這是個什么概念呢？不容易理解，看下對于一個方波的前4次諧波合成動圖就比較好理解了。這里合成的概念是指時域上的疊加的概念，圖片來源wikipedia

從上圖可以直觀看出，周期性方波，可以看成多次諧波的線性疊加，其幅度譜圖，是一根根離散的譜線，且幅度值越來越低，從這個角度可以看出高次諧波的分量，占比越來越小。其譜線的位置為：

第一根為：

第二根為：

第n根為：

其譜線的間隔為

應(yīng)用：這里可以聯(lián)想到我們的電子系統(tǒng)中的時鐘信號，做硬件的朋友或有經(jīng)驗(yàn)，在做EMC的輻射測試時，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)品電路板在某些頻點(diǎn)超標(biāo)，有經(jīng)驗(yàn)的同學(xué)會很快定位到輻射源。其實(shí)這里大概率就是因?yàn)橹芷谛缘臅r鐘信號造成的，從頻率的角度可以看成是其基頻的多次諧波的線性疊加，而某個諧波分量在電路線路尺寸滿足輻射條件時，就從電路板上脫逸而出，變?yōu)殡姶挪芰肯蚩臻g傳播。所以反向去查該頻率可能對應(yīng)的周期性時鐘信號的基頻就能很快定位到輻射源，從而解決問題。

說到傅立葉級數(shù)是周期性信號可以用傅立葉級數(shù)展開，那么是不是任一周期性信號都可以進(jìn)行傅立葉級數(shù)展開呢？答案是否定的，必須滿足著名的狄利克雷(Dirichlet)條件：

在一周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的數(shù)目需要是有限個數(shù)

在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目是有限個數(shù)的

在一周期內(nèi)，信號或者函數(shù)是絕對可積分的。見前文公式。

什么是傅立葉變換？

前面說了傅立葉級數(shù)，接下來再看傅立葉變換。傅立葉變換之所以稱為傅立葉變換，是由于1822年，法國數(shù)學(xué)家傅立葉(J.Fourier) 在研究熱傳導(dǎo)理論時首次證明了將周期函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的理論，并進(jìn)而不斷發(fā)展成為一個有力的科研分析工具。

假定周期性信號周期T逐漸變大，則譜線間間隔將逐漸變小，如果外推周期T無限放大，變成無窮大，則信號或者函數(shù)就變成非周期信號或函數(shù)了，此時譜線就變成連續(xù)的了，而非一根一根離散的譜線！那么傅立葉變換正是這種一般性的數(shù)學(xué)定義：

對于連續(xù)時間信號f(t)，若f(t)在時間維度上可積分，（實(shí)際上并不一定是時間t維度，這里可以是任意維度，只需在對應(yīng)維度空間可積分即可），即：

那么，x(t)的傅立葉變換存在，且其計算式為：

其反變換為：

前文說傅立葉變換本質(zhì)上也是一種連續(xù)函數(shù)的積分變換，那么從上面公式，可以看出傅立葉變換的核函數(shù)為：

其核函數(shù)的兩個自變量為t, ，對于一般稱為角速度(可以形象的理解為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的快慢)，是表征頻率空間的。

上面這兩個公式是啥意思呢？在度量空間可積可以理解成其在度量空間能量有限，也即對其自變量積分（相當(dāng)于求面積)是一個確定值，那么這樣的函數(shù)或者信號就可以進(jìn)行傅立葉變換展開，展開得到的就變成是頻域的函數(shù)了，如果對頻率將函數(shù)值繪制出曲線就是我們所說的頻譜圖，而其逆變換就比較好理解了，如果我們知道一個信號或者函數(shù)譜密度函數(shù)，就可以對應(yīng)還原出其時域的函數(shù)，也能繪制出時域的波形圖。

傅立葉變換公式，從理解的角度，可以看成無限多無窮小的能量之和，而傅立葉級數(shù)也是各諧波分量的加和，所不同的是，前者相對于頻率變量是連續(xù)的，而后者相對于頻率則是離散的！

當(dāng)然，本文限定討論時域信號是因?yàn)槲覀冸娮酉到y(tǒng)中的應(yīng)用最為普遍的就是一個時域信號。推而廣之，其他的多維度信號也能利用上面定義進(jìn)行推廣，同樣在多維空間信號也非常有應(yīng)用價值，比如2維圖像處理、3維圖像重建等等。

傅立葉級數(shù)與變換的區(qū)別？

傅立葉級數(shù)對應(yīng)的是周期信號，而傅立葉變換則對應(yīng)的是一個時間連續(xù)可積信號（不一定是周期信號）

傅立葉級數(shù)要求信號在一個周期內(nèi)能量有限，而后者則要求在整個區(qū)間能量有限

傅立葉級數(shù)的對應(yīng)是離散的，而傅立葉變換則對應(yīng)是連續(xù)的。

故而，兩者的物理含義不同，且其量綱也是不同的，代表周期信號的第k次諧波幅度的大小，而則是頻譜密度的概念。所以答案是這兩者從本質(zhì)上不是一個概念，傅立葉級數(shù)是周期信號的另一種時域的表達(dá)方式,也就是正交級數(shù),它是不同的頻率的波形的時域疊加。而傅立葉變換則是完全的頻域分析，傅里葉級數(shù)適用于對周期性現(xiàn)象做數(shù)學(xué)上的分析，傅里葉變換可以看作傅里葉級數(shù)的極限形式，也可以看作是對周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，同時也適用于非周期性現(xiàn)象的分析。

什么是拉普拉斯變換？

1814年法國數(shù)學(xué)家Pierre-Simon Laplace在研究概率論中給出了拉普拉斯的可靠數(shù)學(xué)依據(jù)，從而發(fā)展成拉普拉斯變換理論。對于函數(shù)f(t)我們知道其傅立葉變換為：

那么如果對于函數(shù)其傅立葉變換為：

上面的公式整理一下：

令,則上面的變換

從前文我們知道，拉普拉斯本質(zhì)上也是一種積分變換，那么上面公式，將看成積分變換的核函數(shù)，則其變換核函數(shù)為：

上面引入的因子，對于函數(shù)函數(shù)將變得更容易收斂，傅立葉變換的絕對可積分的限制條件也就更容易滿足了。拉普拉斯變換存在的條件為：

傅立葉拉氏變換聯(lián)系區(qū)別

所以傅立葉變換與拉普拉斯變換的聯(lián)系就比較容易聯(lián)系了。

拉普拉斯變換，將原函數(shù)從時間維度（不一定是時間維度，只是方便理解本文以常見的時間維度信號進(jìn)行描述），映射為復(fù)平面

傅立葉變換是拉普拉斯變換的特例，也即變換核函數(shù)時，拉普拉斯變換就變成傅立葉變換了。相當(dāng)于只取虛部，實(shí)部為0.

傅立葉變換是從原維度變換為頻率維度，對于信號處理而言相當(dāng)于將時域信號變換為頻域進(jìn)行分析，為信號處理提供了強(qiáng)大的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)及工具。

拉普拉斯變換，將原維度變換為復(fù)頻域，在電子電路分析以及控制理論中，為建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述提供了強(qiáng)大的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，學(xué)過控制理論的一天到晚都與傳遞函數(shù)打交道，其本質(zhì)就是拉普拉斯變換對系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)建模描述。為分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性提供了數(shù)學(xué)工具。

什么是Z變換？

Z變換本質(zhì)上是拉普拉斯變換的離散形式。也稱為Fisher-Z變換。對于連續(xù)信號進(jìn)行抽樣變換就得到了原函數(shù)的離散序列：

其中T為采樣周期，信號與系統(tǒng)中稱為沖激抽樣。其實(shí)說人話，就是將連續(xù)信號，按等間隔理想的轉(zhuǎn)為抽取離散序列樣本。看下圖就明白了，在電子系統(tǒng)中常用AD轉(zhuǎn)換器進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。

對上式進(jìn)行拉普拉斯變換：

該公式利用沖激函數(shù)的抽樣特性，可簡化為：

引入,引入新的自變量Z，則上面的公式就變成這樣了：

這就是Z變換了，從上面的過程描述就知道Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系了。因此兩者的聯(lián)系也就是Z變換是拉布拉斯變換的離散形式。

那么Z變換的意義在于什么呢？在數(shù)字信號處理以及數(shù)字控制系統(tǒng)中，Z變換提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。利用Z變換很快就能將一個傳遞函數(shù)描述成差分方程形式，這就為編程實(shí)現(xiàn)提供了數(shù)學(xué)依據(jù)，比如一個數(shù)字濾波器知道其Z變換形式，寫代碼就是分分鐘的事情了，同樣知道一個控制算法的Z變換形式，同樣編代碼也是水到渠成的事情。

這里談到Z變換的離散形式，那么這里也提一句，傅立葉變換數(shù)字落地，也即離散形式是離散傅立葉變換DFT(Discrete Fourier Transform)，而大家所熟知的快速傅立葉變換FFT(Fast Fourier Transform)則是DFT的高效率實(shí)現(xiàn)。

總結(jié)一下

要理解三種變換的聯(lián)系區(qū)別，首先要理解什么是數(shù)學(xué)變換，什么是積分變換。傅立葉變換以及拉普拉斯變換本質(zhì)上都是連續(xù)或有限個第一類間斷點(diǎn)函數(shù)的積分變換，而傅立葉變換是拉普拉斯變換的特殊形式，而Z變換是拉普拉斯變換的離散形式。每種變換都有其應(yīng)用價值，傅立葉變換在信號處理的頻域分析中提供了強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，而拉普拉斯變換在電子學(xué)、控制工程、航空航天等領(lǐng)域提供了建模、分析的數(shù)學(xué)分析工具；Z變換則將這些變換進(jìn)而落地為數(shù)字實(shí)現(xiàn)提供數(shù)學(xué)理論依據(jù)。DFT為FFT的離散化形式，而FFT是DFT的算法優(yōu)化實(shí)現(xiàn)。

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