聊聊兩粒子頂角函數(shù)的有趣之處

在上一個(gè)系列“超越局域近似-費(fèi)曼圖展開（1）”中，我們看到了高階頂角函數(shù)對(duì)于自能修正的神奇之處。通過將不同格點(diǎn)上的局域兩粒子頂角函數(shù)用非局域項(xiàng)連接起來，我們可以得到對(duì)于動(dòng)力學(xué)平均場局域自能的非局域修正。這讓我們對(duì)于頂角函數(shù)的作用有了新的認(rèn)識(shí)和理解。頂角函數(shù)不再只是作為Bethe-Salpeter方程中的一部分，總是與各種極化率綁定在一起。高階頂角函數(shù)與低階頂角函數(shù)之間的關(guān)系，讓我們多了一種構(gòu)造量子多體理論的途徑。今天，我們來進(jìn)一步聊聊兩粒子頂角函數(shù)的有趣之處。

我們首先來介紹一下兩粒子格林函數(shù)。和單粒子格林函數(shù)類似，它代表的是多粒子體系對(duì)于增加和減少兩個(gè)粒子的響應(yīng)，可以依照單粒子格林函數(shù)的樣子類似定義

這里我們用1,2,3,4表示一系列聯(lián)合指標(biāo)，可以包括動(dòng)量、自旋等。如果作用量S是無相互作用的，我們可以對(duì)四費(fèi)米算符應(yīng)用Wick分解，分別得到兩個(gè)單粒子傳播子的乘積，

然而，如果S含有相互作用項(xiàng)時(shí)，就會(huì)多出一項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的是4費(fèi)米子不可分的收縮項(xiàng)。

我們對(duì)單粒子格林函數(shù)很熟悉，知道它有兩個(gè)外腳，其他部分對(duì)應(yīng)自能的貢獻(xiàn)。

相應(yīng)的，我們可以理解，兩粒子格林函數(shù)應(yīng)該有四個(gè)外腳，同時(shí)還有類似于自能一樣的東西，如下圖所示。

這三項(xiàng)，分別對(duì)應(yīng)了上述公式中兩粒子格林函數(shù)的三個(gè)貢獻(xiàn)。其中，陰影部分的圖形是兩粒子格林函數(shù)的“自能”部分，我們通常稱之為完全頂角函數(shù)(full vertex function)。這里我們沒有畫成類似于單粒子格林函數(shù)Dyson方程那樣的迭代方式，而是把它收縮成一個(gè)整體。這是因?yàn)閮闪Ｗ訉哟紊系摹癉yson方程”形式上變得比較復(fù)雜了，還需要慢慢聊。 大部分人可能都是通過如下的兩個(gè)途徑了解到兩粒子頂角函數(shù)：
1.單粒子格林函數(shù)求導(dǎo)；
2.Bethe-Salpeter方程。 其實(shí)兩者是一回事。前面我們提到過，通常我們推導(dǎo)關(guān)聯(lián)函數(shù)是在作用量中添加一個(gè)高斯形式的源項(xiàng)，然后對(duì)源項(xiàng)求導(dǎo)。這里我們要計(jì)算的是具有四費(fèi)米子算符的兩粒子格林函數(shù)，所以我們需要對(duì)單粒子格林函數(shù)求源項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，才能構(gòu)造出四費(fèi)米子算符的乘積。這里，我們要稍微注意一下源項(xiàng)是如何進(jìn)入到格林函數(shù)中的。源項(xiàng)的算符具有高斯型，因此會(huì)在無相互作用格林函數(shù)里出現(xiàn)，通過Dyson方程，也會(huì)出現(xiàn)在自能中。所以，單粒子格林函數(shù)對(duì)源項(xiàng)的求導(dǎo)，包含了對(duì)單粒子無相互作用格林函數(shù)部分的求導(dǎo)，也包含了對(duì)自能的求導(dǎo)。前者會(huì)給出上述圖形中前兩項(xiàng)，而自能對(duì)于源項(xiàng)的求導(dǎo)給出的就是頂角函數(shù)及其連續(xù)遞推公式Bethe-Salpeter方程。因?yàn)槭墙炭茣系闹R(shí)，這里我們不再做更詳細(xì)的介紹了。取決于自能中對(duì)單粒子格林函數(shù)的出現(xiàn)方式不同，我們會(huì)得到三個(gè)不同的Bethe-Salpeter方程，如下圖所示。這是我們通常所說的particle-hole horizontal channel、particle-hole vertical channel及particle-particle channel中的Bethe-Salpeter方程。這是我們這篇所討論內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)。

在多體計(jì)算中，我們通常利用Bethe-Salpeter方程計(jì)算有頂角修正的各種極化率，圖形上對(duì)應(yīng)著把上述完全頂角函數(shù)F的四個(gè)外腳兩兩連接起來，如下圖左圖所示。實(shí)際上，通過完全頂角函數(shù)我們也可以計(jì)算單粒子格林函數(shù)的自能，如下圖右圖所示。

(b)圖初看起來沒有那么熟悉，其實(shí)把完全頂角函數(shù)用其最低階近似U替代，就可以發(fā)現(xiàn)是我們熟悉的二階自能圖中唯一的那個(gè)相連拓?fù)洳坏葍r(jià)圖形。而F是包含了所有頂角相互作用的完整表示，如果我們可以嚴(yán)格計(jì)算得到F，那么通過（b）計(jì)算出的自能也將是嚴(yán)格的。通過F與自能的關(guān)系（b），原則上，我們可以構(gòu)造出來一個(gè)完全自洽的理論，即通過計(jì)算兩粒子完全頂角函數(shù)，從而計(jì)算單粒子自能，再反過來通過單粒子格林函數(shù)求源項(xiàng)導(dǎo)數(shù)而計(jì)算新的完全頂角函數(shù)。 這樣的自洽過程把F與自能的關(guān)系（b）及Bethe-Salpeter方程連接在一起，形成了一個(gè)完整的同時(shí)具有單粒子和兩粒子自洽性的閉合循環(huán)。這顯然要比僅僅只有單粒子自洽性的量子多體方法要好。我們常見的格林函數(shù)微擾方法，例如Hartree-Fock、二階微擾論、fluctuation-exchange approximation (FLEX， 漲落交換近似)、non-crossing approximation（非交叉近似）等等，都是僅有單粒子層次上的自洽性。它們?cè)趦闪Ｗ訉哟紊喜痪哂凶郧⑿浴? F與自能的關(guān)系（b）及Bethe-Salpeter方程都是嚴(yán)格的，如果我們可以嚴(yán)格的計(jì)算得到完全頂角函數(shù)，我們預(yù)想的同時(shí)具有兩粒子和單粒子自洽性的多體理論，自然也是一個(gè)嚴(yán)格的理論。 但是現(xiàn)實(shí)是我們無法嚴(yán)格而完整的計(jì)算出完全頂角函數(shù)。它是一個(gè)依賴于三個(gè)獨(dú)立動(dòng)量和獨(dú)立頻率的函數(shù)，大部分情況下我們得不到它的閉合表達(dá)形式。利用數(shù)值計(jì)算，也存在實(shí)際困難。動(dòng)量空間是具有周期邊條件的，但是松原頻率空間沒有周期性的，原則上所有的頻率都會(huì)貢獻(xiàn)自能中的內(nèi)部變量求和。目前已知的所有數(shù)值計(jì)算辦法（包括量子蒙特卡洛和精確對(duì)角化）都無法得到F的全部信息。因此，我們常常不得不利用Bethe-Salpeter方程做些近似。簡單的想法是對(duì)每個(gè)channel里不可約的頂角函數(shù)Γ近似處理，然后利用Bethe-Salpeter方程迭代計(jì)算出F。因?yàn)槿齻€(gè)channel里的F是等價(jià)的，只需要計(jì)算一個(gè)最簡單的particle-hole horizontal channel里的Bethe-Salpeter方程即可。 然而，為什么嚴(yán)格的推導(dǎo)會(huì)給我們?nèi)齻€(gè)不同channel的Bethe-Salpeter方程呢，這其中隱含了什么重要的信息嗎？ 實(shí)際上這個(gè)三個(gè)Bethe-Salpeter方程并不是獨(dú)立的。當(dāng)我們?cè)噲D去近似某一個(gè)Γ的時(shí)候，我們很可能就會(huì)破壞其他另外兩個(gè)channel中的Bethe-Salpeter方程。這是因?yàn)橥耆斀呛瘮?shù)F具有一個(gè)非常重要的對(duì)稱性-crossing symmetry。它連接了這三個(gè)Bethe-Salpeter方程，即通過crossing symmetry我們總是可以把其中的一個(gè)Bethe-Salpeter方程變成另外一個(gè)。當(dāng)然，只有Γ是嚴(yán)格的，或者對(duì)其做了恰當(dāng)?shù)慕疲拍鼙ＷC這一點(diǎn)。很可惜，目前，我們常見的單粒子自洽理論，包括前述的Hartree-Fock、二階微擾論、fluctuation-exchange approximation (FLEX， 漲落交換近似)、non-crossing approximation（非交叉近似）等等都不滿足這一點(diǎn)。通過他們計(jì)算得到的兩粒子頂角函數(shù)都破壞了crossing symmetry。 什么是crossing symmetry呢？它是兩粒子頂角函數(shù)因?yàn)橘M(fèi)米子的交換反對(duì)易性而具有的一個(gè)特性。如果我們?nèi)我饨粨Q兩個(gè)費(fèi)米子算符，就會(huì)得到一個(gè)額外的負(fù)號(hào)。

兩粒子頂角函數(shù)具有和庫侖排斥力一樣的二次量子化形式，這里我們簡單的把其系數(shù)寫成算符指標(biāo)的一個(gè)函數(shù)F(12;34)。在上式中我們分別交換了C2和C4兩個(gè)湮滅算符，及C2和C3一對(duì)產(chǎn)生湮滅算符。通過重新改寫啞元，我們得到如下的頂角函數(shù)之間的關(guān)系。

我們來形象的理解一下上面變換的意義。如果F(12;34)表示一對(duì)電子-空穴3-4散射成另外一對(duì)電子-空穴1-2，這是一個(gè)水平的散射過程，那么將C2和C4兩個(gè)湮滅算符后，就變成了從3-2散射成1-4，是一個(gè)垂直的散射過程。交換兩個(gè)算符的過程，可以形象的理解為將這兩個(gè)算符的頂角對(duì)應(yīng)的外腳相互交換，這兩個(gè)外線必然要cross，所以我們把這個(gè)對(duì)稱性稱為crossing symmetry。對(duì)應(yīng)于上述交換C2和C4兩個(gè)湮滅算符，crossing-symmetry將particle-hole horizontal channel中的頂角函數(shù)變到了particle-hole vertical channel中。同樣的道理，如果我們交換一個(gè)產(chǎn)生一個(gè)湮滅算符，比如C2和C3，我們也可以把particle-hole channel與particle-particle channel聯(lián)系起來?？偠灾?，費(fèi)米子的交換反對(duì)稱性，使得三個(gè)channel中的Bethe-Salpeter方程并不獨(dú)立，他們之間應(yīng)當(dāng)可以相互轉(zhuǎn)換。 另外，因?yàn)橥耆斀呛瘮?shù)F是遵從crossing symmetry的，當(dāng)我們考慮任何一個(gè)Bethe-Salpeter方程，左邊的F在crossing操作下變成了自己（符號(hào)相應(yīng)的改變），等式右邊自然也應(yīng)當(dāng)變成自身。我們以particle-hole horizontal channel為例，等式右側(cè)的第二項(xiàng)，在cross c_2和c_4后會(huì)從horizontal的連接方式變成了vertical的，而不是變成自身。因此，我們只能要求等式右邊的第一項(xiàng)Γ中應(yīng)當(dāng)有一項(xiàng)，它能夠在cross c_2和c_4后變成等式的第二項(xiàng)。換句話說，Γ中應(yīng)該包含vertical channel中等式右邊的第二項(xiàng)，它在cross 2和4后，會(huì)給出horizontal channel等式右邊的第二項(xiàng)。同樣的道理，Γ中也應(yīng)當(dāng)含有particle-particle channel中的連接方式，這樣才能保證無論怎樣交換兩個(gè)外腳，都可以保證F能夠變回自身，滿足crossing symmetry。因此，我們熟悉的Bethe-Salpeter方程中的Γ應(yīng)該表示成如下的樣子：

這里將在每一個(gè)channel中不可約（不可約的意思是說，不能夠通過剪斷任意兩條內(nèi)部的格林函數(shù)線使其分成兩個(gè)獨(dú)立的部分）的Γ進(jìn)一步分解，其中Λ被稱為完全不可約頂角函數(shù)，它在三個(gè)channel中都是一樣的，并且在任何一個(gè)channel中都是兩粒子不可約的。作為對(duì)比，這里我們強(qiáng)調(diào)一下，Γ_ph僅在particle-hole horizontal channel里是不可約的，我們不能再進(jìn)一步通過剪斷兩條單粒子格林函數(shù)線把它分解成horizontal方向上的兩個(gè)獨(dú)立部分了。但是Γ_ph在其他channel就變成可約的了。比如在particle-hole vertical channel里，我們要剪斷垂直的兩個(gè)格林函數(shù)線。按照上圖，這顯然是可以把Γ_ph等式右側(cè)的第二張圖分成兩部分。所以我們說，Γ_ph在vertical channel里可約的。同樣的道理，Γ_ph在paritlce-particle channel里也是可約的。 上圖對(duì)于Γ的分解，構(gòu)成了一組新的方程，我們稱之為parquet方程。這樣的分解完全保證了兩粒子完全頂角函數(shù)F具有crossing symmetry。這時(shí)候，我們就可以安全的對(duì)Λ做近似，而不會(huì)破壞crossing symmetry了。這顯然比在Bethe-Salpeter方程中對(duì)三個(gè)Γ做近似要更有優(yōu)越性。對(duì)于如何求解完整的parquet 方程，可以參考筆者的程序和方法 [1, 2]。 我們可以把Λ用它的最低階近似U來替代，叫做parquet approximation。2007年，K. Held組用動(dòng)力學(xué)平均場方法嚴(yán)格計(jì)算了局域完全不可約頂角函數(shù)Λ， 并用動(dòng)力學(xué)平均場lattice格林函數(shù)來替換parquet方程中的格林函數(shù)線。這樣做，完全不可約頂角函數(shù)雖然是局域的，但是通過parquet方程及Bethe-Salpeter方程，我們可以計(jì)算得到非局域的完全頂角函數(shù)F，從而計(jì)算得到非局域的自能。因此，這也構(gòu)成了一種動(dòng)力學(xué)平均場的非局域擴(kuò)展方法，稱之為dynamical vertex approximation [3]. 這里我們不再進(jìn)一步闡述這個(gè)方法了，剩下的大部分都是數(shù)值計(jì)算的細(xì)節(jié)了。通過和Dual Fermion及non-local expansion方法對(duì)比，我們可以看到，雖然這些方法的出發(fā)點(diǎn)不同，但是自能的非局域修正均來自于局域兩粒子頂角函數(shù)的非局域連接。任何單粒子層次上的非局域性，都無法進(jìn)入到自能中，都僅僅只是在由impurity格林函數(shù)變換成lattice格林函數(shù)的過程中起作用。自能，作為單粒子中的相互作用部分，其本質(zhì)是來自于兩體相互作用，因此任何非局域的修正來至于兩粒子頂角函數(shù)也是情理之中?；谶@樣的思想，也可以通過局域兩粒子頂角函數(shù)的不同連接方式，構(gòu)造出全新的量子多體方法，對(duì)動(dòng)力學(xué)平均場的局域自能進(jìn)行非局域修正。這是一個(gè)嶄新的領(lǐng)域，雖然略有門檻，但是有很多可以嘗試和擴(kuò)展的東西。目前的非局域擴(kuò)展多集中在單軌道體系中，Hubbard相互作用，如何將非局域擴(kuò)展方法更為核心的部分抽出來，簡化計(jì)算，使得它更好的適用于真實(shí)材料體系的研究，將會(huì)是下一個(gè)研究中心。

結(jié)束的話

《動(dòng)力學(xué)平均場-三十而已》這個(gè)系列，算上前言，一共9篇，到這里就告一段落了，感謝各位讀者每期的陪伴。國內(nèi)做動(dòng)力學(xué)平均場方法論的同行不多，我最初的目的僅僅只是自說自話，簡單的科普一下，同時(shí)給自己的學(xué)生寫一個(gè)簡單的學(xué)習(xí)綱要。語言上有意在往輕松詼諧的方向上靠攏，每期想得更多的是如何把復(fù)雜的問題講的更有趣、更容易聯(lián)想記憶。隨著慢慢寫開來，意外的收到了很多反饋和鼓勵(lì)，這才讓我意識(shí)到，原來我以為的這些枯燥無趣的量子多體方法，其實(shí)有很多朋友在關(guān)注。因此，后期的文章少了些風(fēng)趣，多了些嚴(yán)謹(jǐn)；缺少了科普性，更像是lecture note了。如果有讀者在熱鬧之余，還能從這個(gè)系列中總結(jié)出自己學(xué)習(xí)量子多體方法的路線、能對(duì)多個(gè)不同小方向上的知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通，我想這個(gè)系列的任務(wù)就算超額完成了。 動(dòng)力學(xué)平均場走過三十年的發(fā)展歷程，回頭看，其實(shí)是量子多體方法論在嚴(yán)謹(jǐn)性和可行性之間不斷嘗試、取舍的過程。動(dòng)力學(xué)平均場抓住了量子多體問題的一個(gè)核心，即大多數(shù)情況下動(dòng)力學(xué)漲落要大于空間漲落。動(dòng)力學(xué)平均場的發(fā)展使得強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子材料的計(jì)算更為準(zhǔn)確，讓我們多了一套普適性更廣的量子多體方法。我相信，在各位年輕讀者的努力下，動(dòng)力學(xué)平均場還會(huì)有下一個(gè)三十年，還將取得更好的發(fā)展。一方面因?yàn)樗诓牧嫌?jì)算上體現(xiàn)出了非凡的活力，另一方面也是因?yàn)樗匀挥羞@么多不完美的地方，才更值得我們?nèi)ふ腋玫膭?dòng)力學(xué)平均場理論。這需要理論工作者的努力，更需要諸如數(shù)學(xué)物理、計(jì)算機(jī)技術(shù)、計(jì)算物理上的進(jìn)步。正因?yàn)檫@樣，年輕的朋友們才更有施展才華的空間。我也很期待，一個(gè)能同時(shí)描述空間和時(shí)間漲落、刻畫任意多體關(guān)聯(lián)、適用于多軌道真實(shí)體系的更好理論的出現(xiàn)。

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