拓撲學,英文為 Topology,最初是幾何學的一個分支。通常的幾何學是研究平面或幾何體上點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質;拓撲學對研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和位置關系都不關心,而是研究幾何形狀在連續(xù)形變下的不變性,即“拓撲不變性”和“拓撲等價性”等內容。
在通常的平面幾何和立體幾何中,兩個圖形等價,是要求兩個圖形通過平移、旋轉等操作能夠完全重合;在拓撲學里所研究的圖形,大小、形狀都可以改變,但是表面的點、線的結合關系、順序關系應該保持不變。如圖1,粉色的圖形通過連續(xù)的變形可以從球逐漸變成雞蛋、表面凹陷的球、類似鴨舌帽的圖形等。
在幾何拓撲的基礎上,通過幾何的微分形式研究體系的整體性質就是微分拓撲,其包含兩個核心概念:底流形和纖維叢。流形是歐幾里德空間的一個子集,這個子集不一定是平直的,可以是一個平面、一個球面等幾何形狀。
底流形,顧名思義就相當于我們選取的一個基底空間。纖維,就是定義在基底空間上的可參數(shù)化的空間。例如,向量空間等,而纖維叢就是基底空間與纖維空間的乘積空間。例如,二維平面可以看成是兩個一維平面的乘積,圓柱面可以看作是圓圈和一維直線空間的乘積。纖維叢的一個形象比喻就是一把卷發(fā)梳:底流形是梳柄,而纖維則是上面的一根根梳齒。
微分拓撲已在物理研究中發(fā)揮重要的作用。例如,高能物理中的規(guī)范反常和引力反常,凝聚態(tài)物理中的整數(shù)量子霍爾效應,分數(shù)電荷等,都與各種物理空間中的拓撲性質相關。
拿一個二維體系的電子結構舉例:在二維體系中,考慮周期性邊界條件,其動量空間張成了輪胎面狀的布里淵區(qū)(底流形),布里淵區(qū)內所有占據(jù)態(tài)的布洛赫波函數(shù)以及布里淵區(qū)就構成了纖維叢,可以借助微分幾何的概念來刻畫材料電子結構的拓撲性質。
“拓撲”與磁性的第一次結合是整數(shù)量子霍爾效應
1980年,Von Klitzing等發(fā)現(xiàn)二維電子氣在極低溫條件下,隨著外加磁場的增強,霍爾電導不再隨磁場連續(xù)變化,而是呈現(xiàn)出一個個量子化的平臺,如圖3所示。因此項研究,Von Klitzing獲得了1985年的諾貝爾物理學獎。
在量子霍爾效應體系中,材料的邊界上會形成一些貫穿能隙的邊界態(tài),邊界態(tài)的數(shù)目對應于陳數(shù)(一種拓撲數(shù))。D.Thouless最早利用微分拓撲中的陳數(shù)解釋了量子霍爾電導平臺的穩(wěn)定性,他也因為這一工作獲得了2016年的諾貝爾物理學獎。
從2005年開始,拓撲學的知識在固體物理中得到了廣泛的應用。Kane和 Mele等在研究二維石墨烯時最早提出了“拓撲絕緣體”的概念。二維拓撲絕緣體,又稱量子自旋霍爾效應絕緣體,是一種全新的量子物態(tài),它的體態(tài)是絕緣的,但是在邊界上存在拓撲保護的、能夠導電的邊界態(tài)。
如圖4所示,量子自旋霍爾邊界態(tài)具有重要的“自旋過濾”特性:在邊界上,自旋向上的電子都向右運動,而自旋向下的電子向左傳播,彼此互不干擾,可以有效抑制“背散射”。因此,量子自旋霍爾效應體系在微納尺度是無電阻的理想導體。
“拓撲”與磁性的第二次結合是量子反?;魻栃膶崿F(xiàn)
量子反?;魻栃煌诹孔踊魻栃?,它的產(chǎn)生不依賴于外加磁場而由材料本身的磁化產(chǎn)生。早在1988年,Haldane就提出了一種在六角晶格中實現(xiàn)這種無外加磁場的量子霍爾效應的理論模型,由此他也分享了2016年的諾貝爾物理學獎。
2013年,薛其坤院士團隊在實驗上首次觀測到了量子反?;魻栃摴ぷ鳙@得了國家自然科學一等獎,其本人也獲得了2020年度的菲列茲·倫敦獎,成為首個獲得這一榮譽的中國科學家。
2011年,隨著對拓撲絕緣體的深入研究,人們又發(fā)現(xiàn)了拓撲半金屬:它的能隙為零,費米面是孤立的點或者閉合的線。拓撲半金屬是不同于拓撲絕緣體的一類新的拓撲量子態(tài)。根據(jù)節(jié)點的簡并狀況及在動量空間中的分布,拓撲半金屬可以細分為外爾半金屬(WSM)、狄拉克半金屬(DSM)和節(jié)點線半金屬(NLSM)等。
如圖5所示,前兩種半金屬的費米面是動量空間中幾個孤立的費米點,而NLSM中的費米面是一維的閉合環(huán)線。與拓撲絕緣體一樣,拓撲半金屬也有許多新奇的物性,包括動量空間中的磁單極子、費米弧、外爾異常和負磁阻效應等。
“拓撲”與磁性的第三次結合是磁性拓撲半金屬
2011年,萬賢剛等最早預言了燒綠石結構的反鐵磁處于一種外爾半金屬相。隨后,徐剛等發(fā)現(xiàn)了尖晶石結構中鐵磁態(tài)的三維拓撲半金屬 HgCr2Se4。自此,越來越多的磁性Weyl半金屬材料相繼提出,包括Heusler化合物、Kagome層狀材料和蜂窩狀晶格材料等。
與此同時,對于磁性Dirac半金屬材料的研究也獲得廣泛關注,包括CuMnAs、EuCd2As2等材料體系被相繼提出。磁性NLSM體系包括層狀的Fe3GeTe2和LaCl等。
這里我們選取EuCd2As2體系作為磁性拓撲半金屬的例子,簡單介紹其新穎的拓撲物性。EuCd2As2是一種具有層間反鐵磁結構的狄拉克半金屬,在費米能級上只存在一對狄拉克點,如圖6所示。
通過調整磁矩方向,在EuCd2As2中還可以實現(xiàn)軸子絕緣體等新奇拓撲物態(tài)——在其某些表面上可以打開表面態(tài)的能隙,實現(xiàn)半整數(shù)量子霍爾效應、拓撲磁電效應、軸子極化激元等物理現(xiàn)象。EuCd2As2的發(fā)現(xiàn)為研究拓撲相變和新型反鐵磁拓撲物態(tài)提供了一個理想平臺。
相比于非磁拓撲材料,磁性拓撲材料最大的優(yōu)勢就是通過外加磁場可以有效調控磁性拓撲材料的磁化方向,從而實現(xiàn)不同拓撲態(tài)之間的拓撲相變。例如,外加磁場可以實現(xiàn)磁性拓撲半金屬到“量子反?;魻枒B(tài)”、軸子絕緣體的轉變。
這些拓撲轉變可以巨大地改變材料的物理性質,可以用來設計拓撲電子學器件。除了電學、磁學方面的新奇物性,磁性拓撲材料在光學等其他領域也有應用,包括實現(xiàn)拓撲磁光效應、用于宇宙暗物質探測等。
與拓撲相關的研究還包括高階拓撲絕緣體、非厄米系統(tǒng)中的拓撲態(tài)、磁性-超導材料異質結中的拓撲超導態(tài)等。這些前沿研究具有廣泛而深遠的戰(zhàn)略意義。其中,拓撲與磁性的結合尤為重要。一方面它可以提升我國的科研創(chuàng)新能力,另一方面相關量子現(xiàn)象的探測和調控研究將為新一代自旋電子器件、量子通信、拓撲量子計算機等領域打下堅實的理論基礎和材料基礎。
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原文標題:“拓撲”與磁性的結合
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