傳遞函數(shù)極點和零點的影響是什么

之前提出了兩種標準方法來為一階RC低通濾波器制定s域傳遞函數(shù)。簡要回顧一些基本概念：傳遞函數(shù)在數(shù)學上表示濾波器的頻域輸入到輸出行為；可以用變量s來表示傳遞函數(shù)，它代表復雜的頻率，當需要計算特定頻率的幅度和相位響應時可以用jω代替s ；傳遞函數(shù)的標準化形式就像一個模板，可以幫助我們快速確定濾波器的定義特征；對標準化一階傳遞函數(shù)的數(shù)學處理使我們能夠證明濾波器的截止頻率是幅度減小3dB并且相位偏移-45°的頻率。

極點和零點

假設我們有一個傳遞函數(shù)，其中變量s出現(xiàn)在分子和分母中。在這種情況下，至少一個s值將使分子為零，并且至少一個s值將使分母為零。使分子為零的值是傳遞函數(shù)零點，并且使分母為零的值是傳遞函數(shù)極點。讓我們考慮以下示例：

在這個系統(tǒng)中，在s=0時為零點，在s=–ωo時為極點。極點和零點定義了濾波器的特征。如果你知道極點和零點的位置，則可以獲得有關系統(tǒng)如何響應不同輸入頻率的信號的信息。

極點和零點的影響

波特圖提供了極點或零點與系統(tǒng)輸入與輸出行為之間關系的直觀可視化。極點頻率對應于角頻率，在該角頻率處，振幅曲線的斜率減小20dB /decade，并且一個零點對應于一個角斜率，在該頻率下，斜率增加20dB /decade。在下面的示例中，波特圖是系統(tǒng)的振幅響應的近似值，該系統(tǒng)的極點為10 2弧度/秒（rad / s），零點為10 4 rad / s。

相位效應

在上一篇文章中，我們看到低通濾波器的相位響應的數(shù)學原點是反正切函數(shù)。如果我們使用反正切函數(shù)（更具體地是負反正切函數(shù)）來生成相位（以度為單位）與對數(shù)頻率的關系圖，最終得到以下曲線：

由極點產(chǎn)生的相移的波特圖近似是表示相移的-90°的直線。該線以極點頻率為中心，并且每十倍頻率下具有-45度的斜率，這意味著向下傾斜的線在極點頻率之前十倍頻率開始并且在極點頻率之后十倍頻率結束。除了線具有正斜率之外，零點影響是相同的，使得總相移是+ 90°。以下示例表示一個系統(tǒng)，其極點為10 2 rad / s，零點為10 5 rad / s。

隱藏的零點

低通濾波器的傳遞函數(shù)可以寫成如下：

這個系統(tǒng)有零點嗎？如果我們應用本文前面給出的定義，將得出結論，它不是變量s不出現(xiàn)在分子中，因此s的任何值都不會導致分子等于零。事實證明，它確實有一個零點，為了理解原因，我們需要考慮傳遞函數(shù)極點和零點更一般化的定義：零點（z）發(fā)生在s的值上，它導致傳遞函數(shù)減小到零，極點（p）發(fā)生在s的值上，導致傳遞函數(shù)趨向于無窮大：

一階低通濾波器的s值是否會導致T（s）→0？是的，即s =∞。因此，一階低通系統(tǒng)在ωo處有極點，在ω=∞處有零點。嘗試在ω=∞處提供零點的物理解釋：它表示濾波器不能繼續(xù)“永久”衰減（其中“永久”指的是頻率，而不是時間）。如果設法創(chuàng)建一個輸入信號，其頻率繼續(xù)增加直到達到無窮大rad / s，則s =∞時的零點會使濾波器停止衰減，即振幅響應的斜率從-20 dB /decade到0 dB /decade。

總結

我們已經(jīng)探索了傳遞函數(shù)極點和零點的基本理論和實踐方面，并且我們已經(jīng)看到在濾波器的極點和零點頻率及其振幅和相位響應之間建立直接關系。
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