從傅里葉變換如何推換出拉普拉斯變換？

從傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換推出拉普拉斯變換。拉普拉斯變換，這是一個(gè)非常有用的工具，建立了時(shí)域與復(fù)頻域之間的聯(lián)系，它將時(shí)域內(nèi)的微分與積分的運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘法與除法的運(yùn)算，它將微分方程轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程，使求解過程更加方便。

一、傅里葉變換的不足

傅里葉變換是非常有用的。因?yàn)樗鼘r(shí)域中的激勵(lì)用頻域中無(wú)窮多個(gè)正弦分量來(lái)表示，使我們能用系統(tǒng)對(duì)正弦激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和來(lái)討論系統(tǒng)對(duì)非正弦激勵(lì)的響應(yīng)，從而使瞬變過程問題的求解得到簡(jiǎn)化。

特別是有關(guān)信號(hào)的分析與處理方面，諸如有關(guān)諧波成分、頻率響應(yīng)、系統(tǒng)帶寬、波形失真等問題上，它都能給出物理意義清楚的結(jié)果。

但它也有不足之處。

首先，它只能處理符合狄利赫利條件的信號(hào)，而在實(shí)際中有許多重要的信號(hào)是不符合絕對(duì)可積可積條件的，即積分不存在，如常見的階躍信號(hào)U（t）；階躍正弦信號(hào)sinωtU（t）等等。這樣傅里葉變換法的適用范圍就有一定的限制。

補(bǔ)充：

傅里葉級(jí)數(shù)分析使用的條件：傅里葉在提出傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)堅(jiān)持認(rèn)為，任何一個(gè)周期信號(hào)都可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)，雖然這個(gè)結(jié)論在當(dāng)時(shí)引起許多爭(zhēng)議，但持異議者卻不能給出有力的不同論據(jù)。直到20年后（1829年）狄里赫利才對(duì)這個(gè)問題作出了令人信服的回答，狄里赫利認(rèn)為，只有在滿足一定條件時(shí)，周期信號(hào)才能展開成傅里葉級(jí)數(shù)。這個(gè)條件被稱為狄里赫利條件，其內(nèi)容為：

⑴ 在一個(gè)周期內(nèi)，周期信號(hào) x（t） 必須絕對(duì)可積；

⑵ 在一個(gè)周期內(nèi)，周期信號(hào) x（t） 只能有有限個(gè)極大值和極小值；

⑶ 在一個(gè)周期內(nèi)，周期信號(hào) x（t） 只能有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，而且，在這些不連續(xù)點(diǎn)上， x（t） 的函數(shù)值必須是有限值。

齊次，是在求取時(shí)域中的響應(yīng)時(shí)，利用傅里葉反變換要進(jìn)行對(duì)頻域自負(fù)無(wú)窮大到正無(wú)窮大的無(wú)限積分，通常這個(gè)積分的求解是比較困難的。

二、頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域——拉普拉斯變換

將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來(lái)解決這兩個(gè)問題。

一個(gè)函數(shù)f（t）不滿足絕對(duì)可積條件往往是由于在t趨于正無(wú)窮大或負(fù)無(wú)窮大的過程中減幅太慢的緣故。

如果用一個(gè)被稱為收斂因子的指數(shù)函數(shù)e-σt去乘f（t），且δ取足夠大的正值，則在時(shí)間的正方向上總可以使t→∞時(shí)，e-σtf（t）減幅較快。當(dāng)然，這在時(shí)間負(fù)方向上反而將起增幅的作用。然而假使原來(lái)的函數(shù)在時(shí)間的負(fù)方向上是衰減的，而且其衰減速率較收斂因子引起的增長(zhǎng)更快，則仍可以使得當(dāng)t→-∞，f（t）e-σt也是減幅的。

例如下面的函數(shù)，在t的正方向上為一單位階躍函數(shù)，在t的負(fù)方向上為一指數(shù)衰減函數(shù)，即

上式不難看出，只要σ《β，則函數(shù)f（t）e-σt在時(shí)間的正、負(fù)方向上將都是減幅的。即函數(shù)滿足絕對(duì)可積的條件，可以進(jìn)行傅里葉變換。

式（1）及式（2）組成了一對(duì)新的變換式子，稱之為廣義的傅里葉變換式或雙邊拉普拉斯變換式。

其中前者稱為雙邊拉普拉斯正變換式，后者稱為雙邊拉普拉斯反變換式；

F（s）稱為f（t）的象函數(shù)，f（t）稱為F（s）的原函數(shù)。

雙邊拉普拉斯變換式可用下列符號(hào)表示：

在實(shí)際應(yīng)用中所遇到的激勵(lì)信號(hào)與系統(tǒng)響應(yīng)大都為有始函數(shù)，在有始函數(shù)的情況下，式（1）及（2）可以簡(jiǎn)化。因?yàn)橛惺己瘮?shù)在t《0范圍內(nèi)函數(shù)值為零，式（1）的積分在-∞到0的區(qū)間中為零，因此積分區(qū)間變?yōu)橛?到∞，亦即

應(yīng)該指出的是，為了適應(yīng)激勵(lì)與響應(yīng)中在原點(diǎn)出現(xiàn)沖激函數(shù)或其各階導(dǎo)數(shù)的情況，積分區(qū)間應(yīng)包括零點(diǎn)在內(nèi)，即式（3）中的積分下限應(yīng)為0-。為了書寫方便，今后仍寫為0，但其意義表示0-。

至于式（2），則由于F（s）中包含的分量仍為由ω等于-∞到+∞的各個(gè)分量，所以其積分區(qū)間不變。但因?yàn)樵瘮?shù)為有始函數(shù)，故由式（2）求得的f（t），在t《0范圍內(nèi)必然為零。因此對(duì)有始函數(shù)來(lái)說(shuō)式（2）可寫為：

式（3）及式（4）也是一組變換對(duì)。因?yàn)楝F(xiàn)在只是對(duì)在時(shí)間軸一個(gè)方向上的函數(shù)進(jìn)行變換，為區(qū)別于雙邊拉普拉斯變換式，故稱之為單邊拉普拉斯變換式，并標(biāo)記如下：

由以上分析可以看出，無(wú)論是雙邊或單邊拉普拉斯變換都是傅里葉變換在復(fù)變數(shù)域中的推廣。從物理意義上說(shuō)，傅里葉變換是把函數(shù)分解成許多形式為函數(shù)ejωt的分量之和。每一對(duì)正負(fù)ω分量組成了一個(gè)等幅的正弦振蕩。于此相類似，雙邊或單邊拉普拉斯變換也是把函數(shù)分解成許多形式為函數(shù)est的指數(shù)分量之和。

通常稱s為復(fù)頻率，并可把F（s）看成是信號(hào)的復(fù)頻譜。但嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，將s稱為復(fù)頻率是不太確切的，因?yàn)橥ǔｎl率是指函數(shù)每秒內(nèi)通過某定值（例如零值）的次數(shù)。而現(xiàn)在象函數(shù)包含的分量中存在有這樣的分量

它是單調(diào)變化的，無(wú)頻率可言。所以較為確切的說(shuō)法應(yīng)該是每一分量的頻率由其s值的虛部決定。

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