信號與系統(tǒng)中卷積分析和總結(jié)

“卷積”是信號與系統(tǒng)時域分析中的一個重要內(nèi)容。本文對此知識點進行了詳細的分析和總結(jié)，并給出了多道例題及詳細解答。

（一）常用信號的卷積表

首先，將常用信號的卷積、以及卷積的性質(zhì)整理成表格，這些信號的卷積，需要熟練掌握其計算方法，并且要記住結(jié)果。為了方便大家對比，幫助理解和記憶，我把連續(xù)時間信號的卷積積分與離散時間信號的卷積和放在同一張表格中。

（二）卷積的計算

卷積的計算方法有以下幾種：

定義法；

性質(zhì)法；

圖解法；

豎式法（卷積和）

需要注意的是，這幾種計算方法，不是孤立的，經(jīng)常需要結(jié)合運用。

例題1：

【分析】

這是一道填空題，如果不給題設(shè)中的條件，也可以直接計算出結(jié)果，但既然已經(jīng)給了題設(shè)的條件，就不需要利用公式再去求解計算，而只需要利用卷積的時移特性。

【解答】

例題2：

【分析】

此題是一道典型的求解卷積積分的題目，一個有限長信號與一個單邊信號卷積題目難度不大，屬于基本題?？梢灾苯永镁矸e積分的定義式計算，也可以利用圖解法。

【解答】

方法一：

方法二：

【總結(jié)】

有限長信號或者單邊信號卷積，關(guān)鍵是判斷被積函數(shù)公共的非零區(qū)間。

結(jié)果通常為分段函數(shù)，可以寫成分段的表示形式，也可以利用階躍信號，寫成一個表達式。

例題3：

【分析】

此題也是一道典型的卷積積分計算題，與例題2類似之處是，也是一個有限長信號與一個單邊信號卷積。但例題2中為右邊信號，而此題中為左邊信號。與例題2相比，難度稍大。此題可以直接從定義式出發(fā)計算，也可以利用圖解法計算。正確解題的關(guān)鍵是：判斷被積函數(shù)的共同的非零區(qū)間。

【解答】

f(t) 的圖形如下圖：

當(dāng)然，最終結(jié)果也可以寫成閉合表達式：

或者也可以寫為：

例題4：

【分析】

此題是一道典型的離散卷積和計算的題目?？梢岳镁矸e和的定義式計算，也可以利用 z 變換來求解。

【解答】

方法一：利用卷積和的定義式計算

注意，上圖中，（1）式和（2）式中的邊界條件，即可以寫成n＞2和n≤2，也可以寫成n≥2和n＜2，這樣，寫成閉合表達式就有兩種形式，這兩種形式的答案，實質(zhì)是相同的。

方法二：利用 z 變換的方法。

注意，利用z變換來求解，一定要寫清楚收斂域，否則計算反變換時容易出錯。

【總結(jié)】

（1）右邊序列與左邊序列的卷積和，結(jié)果為雙邊序列；

（2）卷積和的最終結(jié)果，通常有多種不同的形式，但形式不同，本質(zhì)相同。

例題5：

【分析】

這是一道很有趣的題目。需要用卷積的一些基本概念進行靈活分析，而不是死記硬背式的計算。

考察卷積的兩個知識點：第一個，兩個有限長序列的長度與卷積得到的序列長度之間的關(guān)系；第二個，卷積的豎式法。

【解答】

根據(jù)題意，序列 x(n) 共10個點，記為 L1 = 10；序列 h(n) 共 N+1 個點，記為 L2 = N+1。則卷積結(jié)果 y(n)的長度 L = L1 + L2 - 1 =N+10。

序列x(n)在 n = 0~9 內(nèi)函數(shù)取值均為1，h(n) 在 n=0~N內(nèi)函數(shù)取值均為1，而 y(14)等于0，說明序列 y(n) 的長度不大于14，即：

L= N+10≤ 14，即 N≤4

再根據(jù) y(4)= 5，結(jié)合豎式法，可以推斷：N = 4。驗證如下：

【總結(jié)】

（1）在解決有限長序列的卷積時，豎式法經(jīng)常是一種簡單的方法；

（2）兩個有限長序列的卷積，卷積結(jié)果也是有限長的，其長度等于兩個序列的長度之和減1。

例題6：

已知 x(t)*h(t) = y(t)，證明

x(-t)*h(-t) = y(-t)。

【分析】

此題有兩種方法，第一種方法是，直接利用卷積的定義式證明；第二種方法是，利用傅里葉變換來證明。

【解答】

方法一：

方法二：

【總結(jié)】

（1）注意在運用卷積定義式時，注意下面兩個式子，第一種寫法對，第二種寫法錯：

（2）采取此題方法，可以得出以下結(jié)論：

x(at)*h(at)=1/|a|×y(at)

（三）卷積的物理含義

卷積的存在，有它的特殊意義，卷積之所以在信號與系統(tǒng)課程中如此重要，正是因為它的物理含義：

卷積，揭示了LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與輸入信號、系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之間的關(guān)系，即：

零狀態(tài)響應(yīng) = 輸入信號 * 系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)

例題7：

【分析】

此題需利用卷積的物理含義進行分析。有兩種方法。

【解答】

方法一：利用單位沖激響應(yīng)的概念，令輸入信號 x(t) 等于單位沖激信號，帶入積分式中，則得到 h(t)。

方法二：利用卷積的概念，將題目中的積分式與卷積公式對照，得出 h(t)。

例題8：

【分析】

此題用到的知識點：

（1）串聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，等于各個分系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)之卷積，并聯(lián)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，等于各個分系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)之和；

（2）積分器的單位沖激響應(yīng)就是 u(t)；

（3）單位階躍響應(yīng) s(t) 與單位沖激響應(yīng) h(t) 之間的關(guān)系為：h(t) 是 s(t) 的微分，s(t) 是 h(t) 的積分。

【解答】

（四）后續(xù)章節(jié)中與卷積相關(guān)的知識點總結(jié)

卷積在信號與系統(tǒng)課程中扮演著重要角色，除了時域分析之外，在課程后續(xù)章節(jié)的多個知識點中，都有卷積的身影。大家一定要靈活處理。例如：

（1）一個域相乘，另外一個域卷積

（2）周期沖激串的傅里葉變換

（3）周期信號的傅里葉變換與主周期信號傅里葉變換之間的關(guān)系

（4）時域/頻域抽樣

（5）單邊周期信號的拉氏變換、單邊周期序列的 z 變換

另外，在數(shù)字信號處理課程中，也要用到卷積的概念，例如：DFT分析信號頻譜、窗函數(shù)法和頻率抽樣法設(shè)計FIR濾波器、脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR濾波器等。

由于篇幅關(guān)系，就這個問題不再展開。