淺說非線性及其有限元分析

世界是非線性的。但是，人類對它的認識卻是從簡單的線性開始的。早在公元前500年左右，古希臘的畢達哥拉斯學派就發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)是按照均勻的線性關(guān)系增加的。

到了18世紀，法國大數(shù)學家拉普拉斯首先認識到，自然界也許不是一個簡單的線性世界。他曾說，如果世界是線性的，則一旦初始條件確定，則世界就按簡單、均勻的規(guī)則發(fā)展，那么，這個世界也未免太簡單、太單調(diào)了。

到了19世紀，隨著力學的發(fā)展，數(shù)學家們首次發(fā)現(xiàn)了非線性的微分方程，這類方程與通常的線性的微分方程相比，方程中多了一個或幾個非線性的項，正是非線性項的存在，使方程由簡單的線性變成了復雜的非線性。當時，這類方程較多地出現(xiàn)在空氣動力學方程與流體力學方程之中。而法國數(shù)學家龐加萊則是最早研究此類方程的人，由此，他得出結(jié)論：自然界從廣義上講是由非線性構(gòu)成的，線性只是一個特例。

公認的對現(xiàn)代非線性理論做出杰出貢獻的是荷蘭的一位氣象學家，叫洛倫茲，正是他開啟了人類認識非線性世界的大門。在非線性世界中，結(jié)果對初始條件有著很大的依賴性，只要初始條件有一點微小的變化，隨著時間的推移，結(jié)果會越來越發(fā)生質(zhì)的變化，洛倫茲將非線性世界的這一特征稱為“混沌效應”。

因此，線性只是我們對復雜物理現(xiàn)象的簡化，非線性才是客觀世界的常態(tài)。

將非線性狀態(tài)抽象分類出來主要是三類：

材料非線性

幾何非線性

邊界非線性

● 材料非線性

材料非線性是指材料屬性會隨某些變量變化時，顯示出非線性特征。所有的工程材料本質(zhì)上都是非線性的，因為無法找到單一的本構(gòu)關(guān)系滿足不同的條件，比如加載、溫度和應變率。

材料非線性的簡單分類：

非線性彈性

超彈性

理想彈-塑性

彈性-時間無關(guān)塑性

時間相關(guān)塑性（蠕變）

應變率相關(guān)彈-塑性

溫度相關(guān)的彈性和塑性

● 幾何非線性

幾何非線性可能與大應變、大轉(zhuǎn)角、大變形幾種情況有關(guān)，這個并不是由于材料特性發(fā)生了變化，而是由于幾何形狀變化，造成剛度矩陣需要跟隨幾何形狀變化，從而影響最終結(jié)果。當形變非常大，造成應變非常高的時候，也有可能同時存在材料高度非線性。

● 邊界非線性

最典型的邊界非線性就是力學分析中的接觸，包括摩擦，碰撞等等。如兩個或更多個部件彼此接觸或相互干擾，則組件的這種剛度也會變化并改變。

在實際工程中，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設計常常會被優(yōu)化，讓荷載接近材料強度，以充分利用材料性能，在這種情況下，為了準確地預測結(jié)構(gòu)強度，有必要進行非線性有限元分析。

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