本文將使用經(jīng)典力學的概念來推導質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。
傳遞函數(shù)使我們能夠描述檢驗質(zhì)量如何響應外部加速度而移動。在解釋加速度計的不同參數(shù)(例如傳感器線性工作范圍和帶寬規(guī)范)時,將在本系列的后續(xù)文章中使用派生的傳遞函數(shù)。
然而,在嘗試推導傳感器傳遞函數(shù)之前,讓我們簡要介紹一下微機電系統(tǒng) (MEMS) 技術(shù),它使當今的小型、低成本慣性傳感器成為可能。
MEMS 加速度計:使用質(zhì)量彈簧阻尼結(jié)構(gòu)測量加速度
用于感測加速度的質(zhì)量-彈簧-阻尼器結(jié)構(gòu)如圖 1 所示。
MEMS 技術(shù)使我們能夠在同一個硅芯片上實現(xiàn)該機械系統(tǒng)的一個非常小的版本以及所需的信號調(diào)理電子設備,從而獲得完整的傳感解決方案。
圖 1. 質(zhì)量-彈簧-阻尼器結(jié)構(gòu)。
MEMS 技術(shù)借鑒了微電子行業(yè)的基于光刻技術(shù)的微制造技術(shù),并將它們與其他專業(yè)制造技術(shù)相結(jié)合,從而能夠在硅芯片上創(chuàng)建可移動部件。
微制造技術(shù)的進步幫助實現(xiàn)了當今小型、低成本的微機械加速度計,圖 2 中顯示了一個示例。
圖 2. CMOS MEMS 加速度計的掃描電子顯微照片 (SEM)。圖片由K. Zhang提供
在上一篇文章中,我們簡要提到了阻尼器在加速度計的運行中起著至關(guān)重要的作用?,F(xiàn)在是在嘗試推導質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之前更熟悉系統(tǒng)的這一重要部分的好時機。
MEMS加速度計中的阻尼機制
阻尼器模擬耗散力,這些耗散力會降低質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的機械能并減慢檢測質(zhì)量的運動。
MEMS 加速度計中的主要阻尼機制之一是運動質(zhì)量與周圍空氣分子之間發(fā)生的內(nèi)摩擦。事實上,可以在極低的壓力下封裝基于 MEMS 的加速度計,以減少空氣阻尼的影響。然而,一般來說,空氣阻尼是 MEMS 加速度計能量損失的主要來源。
其他常見的阻尼源是結(jié)構(gòu)阻尼和熱阻尼。
結(jié)構(gòu)阻尼考慮了由MEMS器件中使用的組件結(jié)構(gòu)引起的能量損失。
熱阻尼對應于MEMS結(jié)構(gòu)的應力-應變關(guān)系隨溫度變化的偏差。阻尼器施加在質(zhì)量塊上的總減速力通常被建模為與質(zhì)量塊的速度成比例的力。
該力作用于與質(zhì)量運動相反的方向,由下式給出:
其中 b 表示阻尼系數(shù),v 表示質(zhì)量塊的速度。
請注意,當物體非常小時,空氣阻力與物體的速度成正比,微加工結(jié)構(gòu)就是這種情況。
一般來說,空氣阻力與 物體的速度有著復雜的關(guān)系。例如,一個大型物體,例如在空中移動的跳傘運動員,會受到與物體速度的平方成正比的阻力。
阻尼效應:想要的還是令人討厭的?
由于阻尼源于耗散力,因此它可能看起來是一種應避免的麻煩。事實上,許多 MEMS 加速度計被設計成只有少量的阻尼(以降低系統(tǒng)的噪聲)。
但需要注意的是,理想的沒有阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)實際上是一個振蕩器,不能用作加速度計。
如果我們將“理想”彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)量從平衡中移出然后釋放它,即使沒有對系統(tǒng)施加外部加速度,質(zhì)量也會永遠來回移動。這就是為什么對于加速度計,我們需要在我們的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中引入至少少量的阻尼。
使用牛頓運動定律證明質(zhì)量位移
假設,如圖 3 所示,外力施加到傳感器框架上。
圖 3. 對外力作出反應的質(zhì)量-彈簧-阻尼結(jié)構(gòu)傳感器框架。
為了根據(jù)施加的加速度計算質(zhì)量塊位移,我們使用牛頓第二運動定律。正如您可能知道的那樣,該定律指出,由合力產(chǎn)生的物體的加速度與合力的大小成正比,與物體的質(zhì)量成反比。
這由以下熟悉的等式表示:
其中 F 是施加在物體上的凈力,m 是物體的質(zhì)量,a 表示加速度。
為了將這個方程正確地應用到我們的系統(tǒng)中,這里應該注意一個微妙的點。牛頓第二運動定律僅適用于慣性坐標系,即不加速的坐標系。
圖 3 描繪了我們的加速度計的兩個不同坐標系。橙色坐標系對應于解決物理問題時假定為慣性的地球參考系。
然而,品紅色坐標系表示固定到傳感器框架的參考框架。
該坐標系是非慣性的,因為當外力施加到傳感器時它會加速。因此,要找到質(zhì)量塊的運動方程,我們應該使用慣性參考系(橙色坐標系)。
什么力量作用于證明質(zhì)量?
圖 4.通過 電容感應測量質(zhì)量塊位移的設置。有關(guān)更多信息,請查看該系列的上一篇文章。
為了用質(zhì)量塊位移來表示公式 4,我們需要使用圖 3 中洋紅色坐標系所示的移動參考系。我們使用小寫字母 x 和 y 表示該坐標系。
例如,如果傳感器幀加速度突然從零變?yōu)橛邢拗担A躍輸入),則系統(tǒng)的輸出將接近其最終值,并具有由系統(tǒng)參數(shù)確定的時間響應特性。
圖 5 顯示了改變系統(tǒng)參數(shù)如何改變輸出的振鈴和穩(wěn)定時間。在我們的討論中,輸出是驗證質(zhì)量位移。
圖 5.二階系統(tǒng)的階躍響應會根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)的值發(fā)生顯著變化。圖片由麻省理工學院的 David L. Trumper 提供
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