材料電磁特性中的介電常數(shù)

材料的電磁特性是所有電子材料繞不過(guò)去的話題。今天，我來(lái)跟小伙伴們一起聊聊材料電磁特性中的介電常數(shù)。

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從麥克斯韋方程組說(shuō)起：

既然說(shuō)到了電子、電磁，就一定要說(shuō)麥克斯韋方程組了。記得前幾年看過(guò)一個(gè)帖子，選出了人類歷史上十個(gè)最偉大的公式，麥克斯韋方程組當(dāng)仁不讓位列其中。麥克斯韋老先生推導(dǎo)出這個(gè)方程組后，預(yù)言了電磁波的存在；愛(ài)因斯坦更是根據(jù)麥克斯韋方程組提出了狹義相對(duì)論。麥克斯韋可以說(shuō)是所有電子相關(guān)專業(yè)同學(xué)的親祖師爺了。

麥克斯韋方程組有積分形式和微分形式，有興趣的小伙伴可以找來(lái)看看，很容易看暈的。看暈了的小伙伴先別著急放棄。說(shuō)實(shí)話，這方程組我看著也暈。所以我們今天不去講這個(gè)偉大的方程組。我們的重點(diǎn)的是本構(gòu)方程。僅有麥克斯韋方程組還不足以求解，還必須引入描述材料電磁特性的本構(gòu)方程：

這三個(gè)方程看起來(lái)好欺負(fù)多了吧，今天，我們就一起聊聊第一個(gè)本構(gòu)方程中的這個(gè)，介電常數(shù)。

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介電常數(shù)是個(gè)啥？ 介電常數(shù)在PCB行業(yè)中習(xí)慣叫Dk和Df，這個(gè)我們一會(huì)兒再詳細(xì)聊，先來(lái)看看它的英文。在英文中有一個(gè)單詞（permittivity）和一個(gè)詞組（dielectricconstant）都表示介電常數(shù)，而“dielectricconstant”直譯過(guò)來(lái)就是“電介質(zhì)常數(shù)”，由此可見(jiàn)，介電常數(shù)描述的是絕緣體在電場(chǎng)中的特性。我們先來(lái)回憶一下大學(xué)物理中的庫(kù)倫定律。根據(jù)庫(kù)倫定律，一個(gè)電荷，在真空中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

在這里， 是物理學(xué)中的一個(gè)基本物理常量，稱為真空介電常數(shù)，其數(shù)值為：

我們?cè)倩貞浺幌?，一個(gè)導(dǎo)體（金屬），放在靜電場(chǎng)中會(huì)發(fā)生什么？

靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體（圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò)） 由于金屬中有大量的自由電荷（電子），會(huì)在外加電場(chǎng)作用下移動(dòng)，在金屬表面形成感應(yīng)電荷，而感應(yīng)電荷產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)與外加電場(chǎng)大小相等，方向相反。所以在金屬內(nèi)部感應(yīng)電場(chǎng)與外加電場(chǎng)互相抵消，總場(chǎng)強(qiáng)為零，也就是說(shuō)金屬內(nèi)部是不存在電場(chǎng)的。把絕緣體（電介質(zhì)材料）放在靜電場(chǎng)中會(huì)發(fā)生什么呢？先說(shuō)結(jié)論：跟金屬一樣的是，會(huì)在電介質(zhì)表面出現(xiàn)感應(yīng)電荷；不一樣的是感應(yīng)電荷產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)不足以完全抵消外加電場(chǎng)。小伙伴們可能會(huì)奇怪？絕緣體中沒(méi)有自由電荷，為啥也會(huì)感應(yīng)出電荷？絕緣體的分子按是否有極性，可以分成兩大類：無(wú)極分子和有極分子。是典型的無(wú)極分子，其特點(diǎn)是正電荷的幾何中心與負(fù)電荷的幾何中心重合，整體上沒(méi)有電矩；而的正電荷與負(fù)電荷的幾何中心不重合，整體上表現(xiàn)出一個(gè)電矩。

無(wú)極分子和有極分子（圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò)） 無(wú)極分子材料在沒(méi)有外加電場(chǎng)時(shí)表面為電中性，但是在外加靜電場(chǎng)時(shí)，分子中的正電荷和負(fù)電荷會(huì)向不同方向偏移，產(chǎn)生電矩，稱為位移極化。位移極化產(chǎn)生的電矩在內(nèi)部互相抵消，而在材料的表面產(chǎn)生電荷。

位移極化（圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò)） 有極分子雖然每個(gè)分子是有極性的，但在沒(méi)有外加靜電場(chǎng)時(shí)，大量分子隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，宏觀上表現(xiàn)為電中性，但在外加靜電場(chǎng)時(shí)，分子排列發(fā)生一定的改變，趨向于一致，從而在材料表面產(chǎn)生電荷，這一過(guò)程稱為取向極化。

取向極化（圖片來(lái)自網(wǎng)絡(luò)） 現(xiàn)在我們知道了，電介質(zhì)材料在靜電場(chǎng)中也會(huì)在表面形成感應(yīng)電荷，這一點(diǎn)與金屬材料是相同的。但是在電介質(zhì)材料表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)不足以抵消掉外加電場(chǎng)，所以電介質(zhì)材料內(nèi)部的總電場(chǎng)比外加電場(chǎng)小，但不為零。我們可以計(jì)算出，一個(gè)電荷，在電介質(zhì)中產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為： 這里的我們稱為這種電介質(zhì)材料的介電常數(shù)，工程上，我們經(jīng)常會(huì)把這個(gè)值對(duì)做歸一化，歸一化后的值稱為相對(duì)介電常數(shù)，是一個(gè)無(wú)量綱的值： 由此可以看出，材料的相對(duì)介電常數(shù)（工程上經(jīng)常直接簡(jiǎn)稱為介電常數(shù)）是材料本身固有的屬性。
敲黑板畫一下重點(diǎn)：一個(gè)電荷，在真空中產(chǎn)生的電場(chǎng)為，在金屬中產(chǎn)生的電場(chǎng)為0，而在電介質(zhì)材料中產(chǎn)生的電場(chǎng)為，小于，其比值就是這種材料的相對(duì)介電常數(shù)。 上面討論的是介質(zhì)在靜電場(chǎng)條件下的特性，在交流電場(chǎng)下，情況會(huì)變得更復(fù)雜。在這我們不做詳細(xì)的討論了，有興趣的同學(xué)可以參考方俊鑫，殷之文的《電介質(zhì)物理學(xué)》。簡(jiǎn)單的說(shuō)，在高頻電場(chǎng)作用下絕緣材料會(huì)產(chǎn)生位移電流，且位移電流方向與電場(chǎng)方向不正交，消耗了功率，引起了損耗。因此，在高頻，材料的相對(duì)介電常數(shù)為復(fù)數(shù)：

其中的虛部代表了材料在高頻的損耗。把復(fù)數(shù)畫在復(fù)數(shù)坐標(biāo)軸上，可以看到該復(fù)數(shù)的相位的正切值為：

在工程上，常用這個(gè)值表征材料的損耗，稱為損耗角正切。在PCB行業(yè)，習(xí)慣上把稱為Dk（Dielectric Constant），而把損耗角正切稱為Df（Dissipation Factor，耗散因子）。

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介電常數(shù)有啥特性？ 前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)了，介電常數(shù)主要與材料本身的分子結(jié)構(gòu)和排列方式有關(guān)，所以是材料本身固有的屬性，一般不會(huì)改變。對(duì)于混合材料就比較復(fù)雜了。比如如果材料放置了一段時(shí)間后吸水，會(huì)引起介電常數(shù)的變化。大多數(shù)材料的介電常數(shù)跟方向無(wú)關(guān)，我們稱為各向同性材料。也有些材料不同，比如一些編織材料，平行于編織面和垂直于編織面的介電常數(shù)是不一樣的，稱為各向異性材料。還有一類特殊的材料也是各向異性的，比如鐵電體和向量型液晶。材料的介電常數(shù)是頻率的函數(shù)，也就是說(shuō)不同頻率上的介電常數(shù)是不同的。

復(fù)介電常數(shù)隨頻率的變化 此外，材料的介電常數(shù)也是隨溫度變化。下表給出了一些材料在10 GHz，室溫下的相對(duì)介電常數(shù)：

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介電常數(shù)會(huì)影響啥？ 既然叫介“電”常數(shù)，那么它一定會(huì)對(duì)電信號(hào)產(chǎn)生影響。影響之一：電容介電常數(shù)其實(shí)還有另一個(gè)名字-電容率。從名字就可以看出，材料的介電常數(shù)會(huì)影響電容的電容量。高中物理我們學(xué)習(xí)過(guò)平行板電容器：兩塊平行的金屬板，中間夾以電介質(zhì)薄層。平行板電容器的電容量（忽略邊緣效應(yīng)）： 式中為平行金屬板相對(duì)的面積，為平行金屬板的距離，也就是電介質(zhì)材料的厚度。
理想的電容是沒(méi)有損耗的，但是由于電介質(zhì)材料存在損耗（復(fù)介電常數(shù)的虛部），因此實(shí)際的電容的等效電路為一個(gè)理想電容和一個(gè)電阻并聯(lián)，而電容的損耗用耗散因子D來(lái)描述：

影響二：電磁波的傳播速度小伙伴們都知道，電磁波是以光速傳播的。我們常說(shuō)光速是299792458，或者簡(jiǎn)化為。但咱們要注意，這個(gè)光速是電磁波在真空中傳播的光速。當(dāng)電磁波在電介質(zhì)材料中傳播時(shí)，速度會(huì)變慢，而變慢多少是由介電常數(shù)決定的： 式中是真空中的光速。我們知道光速等于電磁波的頻率乘以電磁波的波長(zhǎng)。當(dāng)電磁波在電介質(zhì)材料中傳播時(shí)，電磁波的頻率不會(huì)變化，而波長(zhǎng)會(huì)變短。電磁波在電介質(zhì)材料中傳播時(shí)，能量會(huì)逐漸降低，這種衰減就是由于復(fù)介電常數(shù)的虛部引起的。
影響三：微波傳輸線的特征阻抗微波傳輸線是微波技術(shù)中的概念，用于傳輸微波信號(hào)。微波傳輸線最重要的指標(biāo)就是其特征阻抗，而各種微波傳輸線的特征阻抗都與其中填充的電介質(zhì)的介電常數(shù)有關(guān)。以常見(jiàn)的同軸傳輸線為例：

同軸傳輸線截面 同軸傳輸線有外導(dǎo)體、內(nèi)導(dǎo)體和之間填充的電介質(zhì)材料組成，他的特征阻抗為： 介電常數(shù)的測(cè)量實(shí)際上就是利用了其對(duì)電信號(hào)的影響來(lái)進(jìn)行的，這一部分內(nèi)容請(qǐng)參考之前的文章《你與漫威英雄的差距可不止一面振金的盾牌，還有......》和《麻瓜的隱形斗篷怎么做？還得先從材料電磁特性測(cè)試開(kāi)始》

關(guān)于介電常數(shù)的那些事，我們今天就聊到這里，小伙伴們還有哪些疑問(wèn)呢？歡迎給我們留言。 參考書目：《電介質(zhì)物理學(xué)》（第二版） 殷之文主編 科學(xué)出版社《電磁學(xué)》趙凱華 陳熙謀 高等教育出版社

審核編輯 ：李倩