連續(xù)周期信號的傅里葉分解

1 連續(xù)周期信號的傅里葉分解

信號的正交分解 -- 在區(qū)間上的任意能量有限信號f（t）可以用正交函數(shù)集合 中的函數(shù)的線性組合來近似表示：

式中：表示正交函數(shù)集中的函數(shù)，系數(shù)可以利用最小均方誤差準則求解：

常用的完備正交函數(shù)集：

三角函數(shù)集{}

復(fù)指數(shù)函數(shù)集{}

信號在這兩個函數(shù)集中分解得到的級數(shù)叫做傅里葉級數(shù)，周期信號進行傅里葉分解應(yīng)該滿足狄利克雷條件：

在一個周期內(nèi)滿足絕對可積

在一個周期內(nèi)有有限個極大值和極小值

在一個周期內(nèi)有有限個第一類間斷點

三角傅里葉級數(shù)設(shè)f（t）為一周期為T的周期信號，且滿足狄氏條件，則f（t）在區(qū)間可分解為：

式中：

T為信號周期，為基波頻率（看作整體一項）。

寫作余弦形式：

式中：

為偶函數(shù)，為奇函數(shù)。

指數(shù)傅里葉級數(shù)設(shè)f（t）為一周期為T的周期信號，且滿足狄氏條件，則f（t）在區(qū)間可分解為：

式中：

指數(shù)傅里葉級數(shù)中負頻率的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)處理的結(jié)果。

復(fù)振幅表示式中，表示n次諧波分量的復(fù)振幅。

2 連續(xù)非周期信號的傅里葉變換周期信號的頻譜具有離散性，非周期信號的頻譜變?yōu)檫B續(xù)譜。

非周期信號傅里葉變換存在的充分條件是信號滿足絕對可積，即：

正變換：

反變換：

與周期信號相比，中自變量連續(xù)取值，而離散取值，且滿足：

若信號不滿足絕對可積條件，其傅里葉變換就不存在，此時拉普拉斯變換適用，略。

3 周期序列的離散傅里葉級數(shù)（DFS）時域的周期造成頻域的離散，時域的離散造成頻域的周期延拓，因此周期序列的DFS也是離散的周期序列。

周期序列：

式中，r為任意整數(shù)，N為周期。DFS正變換：

DFS反變換：

式中，從DFS計算中可以看出，周期序列的DFS也是周期為N的離散序列，周期序列的DFS也具有無限個頻率，僅有N個不同幅值。

4 離散傅里葉變換（DFT）長度為N的序列x（n）可以看作：

式中，表示長度為N的單位矩形序列。叫做的主值序列。DFT正變換：

DFT反變換：

從DFT的計算中可以看出，DFT的結(jié)果對應(yīng)DFS一個周期的序列值。