如何使用傅立葉分析各種非正弦波形中諧波分量的幅度及相位關(guān)系

所有的重復(fù)波形都可以由許多正弦波的組合組成。可以分析任何波形以確定分量數(shù)量。在本文中，學(xué)習(xí)如何使用傅立葉分析來(lái)確定各種周期性非正弦波形中諧波分量的幅度及其與基波分量的相位關(guān)系。

諧波是基頻的整數(shù)（整數(shù)）倍（第二、第三、第四等）的頻率。配電線路的基頻為 60 Hz，每秒從正到負(fù) 60 個(gè)周期變化。例如，60 Hz 配電線路上的二次諧波為 120 （60 × 2） Hz。二次諧波在同一時(shí)間段內(nèi)在基波的一個(gè)周期中完成兩個(gè)周期。

圖 1.諧波是基頻的整數(shù)倍（第二、第三、第四、第五等）的頻率。圖片由 Amna Ahmad 提供

傅里葉分析（由數(shù)學(xué)家 Jean Fourier 開發(fā)）是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，可分析波形以確定其諧波含量?？梢源_定每個(gè)諧波的幅度，以及它與基波的相位關(guān)系。此外，可以計(jì)算任何直流分量的電平。

方波

純方波，在地平面上下對(duì)稱 ［圖 2］，可以通過傅里葉分析顯示，由以下等式表示：

e=4Emπ［sinωt+sin3ωt3+sin5ωt5+ fracsin7ωt7+.。。］（1）e=4Emπ［sinωt+sin3ωt3+sin5ωt5+ fracsin7ωt7+.。。］（1）在哪里

e是時(shí)間 t 的瞬時(shí)值

4Emπ4Emπ 是波形的峰值

sinωt 是一個(gè)基本分量

sin3ωt3sin3ωt3 是三次諧波

sin5ωt5sin5ωt5 是五次諧波

s一世n7哦噸7sin7ωt7 是七次諧波

如方程所示，對(duì)稱方波可以由基波分量和奇次諧波組成，但沒有偶次諧波和直流分量。

圖 2.對(duì)稱方波的諧波分析表明它包含基波和奇次諧波。圖片由 Amna Ahmad 提供

注：傅里葉分析可應(yīng)用于所有重復(fù)波形以確定其諧波含量。

鋸齒波

圖 3 中鋸齒波的傅立葉方程為

和=2和米圓周率［s一世n哦噸?s一世n2哦噸2+s一世n3哦噸3?s一世n4哦噸4+s一世n5哦噸5.。。］（2）e=2Emπ［sinωt?sin2ωt2+sin3ωt3?sin4ωt4+sin5ωt5.。。］（2）在這種情況下，所有諧波都存在，同樣沒有直流分量。一般來(lái)說，當(dāng)波形在地平面上下對(duì)稱時(shí)，它沒有直流分量。

圖 3.對(duì)稱鋸齒波的諧波分析表明它由基波和所有諧波組成。圖片由 Amna Ahmad 提供

整流波

圖 4 中的全波整流正弦波可以表示為

和=4和米圓周率［12+C○s2哦噸3?C○s4哦噸15+C○s6哦噸35.。。］（3）e=4Emπ［12+cos2ωt3?cos4ωt15+cos6ωt35.。。］（3）

圖 4.全波整流正弦波包含直流分量和偶次諧波，其幅度隨著諧波次數(shù)的增加而減小。圖片由 Amna Ahmad 提供

等式 3 顯示波形具有直流分量 \（\frac{4E_{m}}{2\pi}\） 和偶次諧波 2ωt、4ωt、6ωt 等（圖 4）?？雌饋?lái)沒有基頻分量。但是，在這種情況下，基頻被取作整流前波形的輸入頻率 （f）?？梢哉f，整流波形的基頻實(shí)際上是 2f。例如，一個(gè) 60 Hz 的正弦波在經(jīng)過全波整流后，會(huì)產(chǎn)生一系列頻率為 120 Hz 的正弦半周期。4和米2圓周率4Em2π 和偶次諧波、2ωt、4ωt、6ωt 等（圖 4）。看起來(lái)沒有基頻分量。但是，在這種情況下，基頻被取作整流前波形的輸入頻率 （f）?？梢哉f，整流波形的基頻實(shí)際上是 2f。例如，一個(gè) 60 Hz 的正弦波在經(jīng)過全波整流后，會(huì)產(chǎn)生一系列頻率為 120 Hz 的正弦半周期。

諧波幅度

檢查方波、鋸齒波和整流正弦波的方程表明，在所有情況下，諧波分量的幅度都隨著諧波頻率的增加而減小。因此，高次諧波的重要性似乎越來(lái)越低。就這些分量對(duì)波形的 rms 值和負(fù)載消耗的功率的貢獻(xiàn)而言，這當(dāng)然是正確的。然而，為了良好地再現(xiàn)波形，必須存在許多高次諧波。例如，在方波的情況下，可能需要高達(dá) 11 次諧波（或更高）的所有分量。對(duì)于脈沖波形，可能必須存在高達(dá)百分之一的諧波才能產(chǎn)生良好的輸出波形。

方波示例

具有 2 V 峰峰值幅度的方波在地平面上下對(duì)稱。計(jì)算直到七次諧波的每個(gè)分量的幅度。

解決方案。

根據(jù)等式（1），

和=4和米圓周率［s一世n哦噸+s一世n3哦噸3+s一世n5哦噸5+s一世n7哦噸7+.。。］e=4Emπ［sinωt+sin3ωt3+sin5ωt5+sin7ωt7+.。。］E m = 1 V（峰值）

4和米圓周率=4×1圓周率=1.27在4Emπ=4×1π=1.27V基本\（E_{m1}=\frac{4E_{m}}{\pi}=1.27V\）和米1=4和米圓周率=1.27在Em1=4Emπ=1.27V三次諧波\（E_{m3}=\frac{4E_{m}}{3\pi}=0.42V\）和米3=4和米3圓周率=0.42在Em3=4Em3π=0.42V五次諧波\（E_{m5}=\frac{4E_{m}}{5\pi}=0.52V\）和米5=4和米5圓周率=0.52在Em5=4Em5π=0.52V七次諧波\（E_{m7}=\frac{4E_{m}}{7\pi}=0.18V\）和米7=4和米7圓周率=0.18在Em7=4Em7π=0.18V請(qǐng)注意，計(jì)算出的諧波電壓分量都是峰值。每個(gè)都必須乘以 0.707 以確定 rms 值。

整流正弦波示例

全波整流正弦波的峰值幅度為 30 V，（預(yù)整流）頻率為 60 Hz。計(jì)算直流分量和直到六次諧波的諧波分量的 rms 值。此外，確定諧波頻率。

解決方案。

根據(jù)等式（3），

和=4和米圓周率［12+C○s2哦噸3?C○s4哦噸15+C○s6哦噸35.。。］e=4Emπ［12+cos2ωt3?cos4ωt15+cos6ωt35.。。］4和米圓周率=4×30圓周率=38.2在4Emπ=4×30π=38.2V直流分量\（E_{dc}=\frac{4E_{m}}{\pi\times2}=19.1V\）和dC=4和米圓周率×2=19.1在Edc=4Emπ×2=19.1V基本\（E_{m1}=0\）和米1=0Em1=0二次諧波 \（E_{m2}=\frac{4E_{m}}{3\pi}=12.7V\） \（E_{2}=0.707\times E_{m2}=9V\） \（f_{2 }=2f_{1}=2\times60=120 Hz\）和米2=4和米3圓周率=12.7在Em2=4Em3π=12.7V

和2=0.707×和米2=9在E2=0.707×Em2=9V

F2=2F1=2×60=120H和f2=2f1=2×60=120Hz四次諧波 \（E_{m4}=\frac{4E_{m}}{15\pi}=2.5V\） \（E_{4}=0.707\times E_{m4}=1.8V\） \（f_{ 4}=4f_{1}=4\times60=240Hz\）和米4=4和米15圓周率=2.5在Em4=4Em15π=2.5V

和4=0.707×和米4=1.8在E4=0.707×Em4=1.8V

F4=4F1=4×60=240H和f4=4f1=4×60=240Hz六次諧波 \（E_{m6}=\frac{4E_{m}}{35\pi}=1.1V\） \（E_{6}=0.707\times E_{m6}=0.78V\） \（f_{ 6}=6f_{1}=6\times60=360Hz\）和米6=4和米35圓周率=1.1在Em6=4Em35π=1.1V

和6=0.707×和米6=0.78在E6=0.707×Em6=0.78V

F6=6F1=6×60=360H和f6=6f1=6×60=360Hz

結(jié)論

通過諧波分析，周期性非正弦波形可以顯示為由純正弦波的組合組成，有時(shí)還帶有直流分量。一個(gè)主要成分是與被分析的周期波具有相同頻率的大幅度正弦波，它是基波。其他分量是正弦波，其頻率恰好是基頻的倍數(shù)。這些波，表示為諧波，根據(jù)它們的頻率與基波頻率的比率進(jìn)行編號(hào)。