切比雪夫?yàn)V波器的綜合設(shè)計(jì)

本節(jié)將詳細(xì)講解切比雪夫濾波器(ChebyshevI和ChebyshevII)的綜合設(shè)計(jì)，結(jié)合之前電路仿真的工作，現(xiàn)將Chebyshev型濾波器集成到了濾波器設(shè)計(jì)App中，提供一個(gè)試用版本，并提供GitHub開(kāi)源鏈接。

切比雪夫?yàn)V波器特點(diǎn)和用途

Chebyshev(切比雪夫)濾波器是Cauer于1930-1931年首先使用切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev polynomials)逼近來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)的濾波器，其特點(diǎn)是通帶內(nèi)具有等紋波特性，對(duì)比Butterworth濾波器其更具陡峭的截止特性，被廣泛用于實(shí)際工程應(yīng)用之中。

另外，實(shí)際上Butterworth濾波器是Chebyshev濾波器在紋波為0的一個(gè)特殊情況(文中有解釋)。

關(guān)于Chebyshev(Pafnuty Lvovich Chebyshev ,俄語(yǔ)原名: Пафну?тий Льво?вич Чебышёв, IPA: [p?f?nut??j ?l?vov??t? t??b???of], 英語(yǔ)曾用名: Tchebycheff, 法語(yǔ)：Tchebyshev，德語(yǔ)：Tschebyschow，中文名：切比雪夫，車比雪夫)本人的相關(guān)信息可以參考陳關(guān)榮｜切比雪夫，他帶起了俄羅斯現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。

切比雪夫多項(xiàng)式(Chebyshev polynomials)

首先我們要清楚Cauer當(dāng)年怎么想到使用切比雪夫多項(xiàng)式來(lái)進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)的，這里我們要明白一個(gè)概念--濾波器逼近(Filter Approximation)。通過(guò)電路分析章節(jié)可知，我們可以通過(guò)電路實(shí)現(xiàn)一個(gè)多項(xiàng)式，那么反過(guò)來(lái)，我們可以由一個(gè)多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn)一個(gè)電路，為了實(shí)現(xiàn)一個(gè)特定頻率響應(yīng)的濾波器，問(wèn)題轉(zhuǎn)換為找到一個(gè)合適的多項(xiàng)式來(lái)對(duì)濾波器進(jìn)行逼近。

以頻率響應(yīng)曲線為目標(biāo)的濾波器設(shè)計(jì)最關(guān)鍵的是對(duì)0附近進(jìn)行擬合，是不是有點(diǎn)懵，對(duì)吧，0有什么好擬合的，不就好了嘛，對(duì)于濾波器而言，我們希望在無(wú)窮頻率遠(yuǎn)處衰減為無(wú)窮(也可以從能量角度來(lái)理解，頻率無(wú)限遠(yuǎn)處能量必須為0)，要求當(dāng)?shù)臅r(shí)候，所以必須是一個(gè)以x為自變量的多項(xiàng)式。

最簡(jiǎn)單的我們可以用:來(lái)擬合，讓我們看看效果：

相信大家也看到了，這種擬合是不是隨著n的增大，函數(shù)值在[-1,1]范圍內(nèi)越接近于0。

我們還有更好的多項(xiàng)式(或函數(shù))來(lái)逼近0嗎？

有！那就是切比雪夫多項(xiàng)式(字母T就是切比雪夫音譯的首字母)：大家看到?jīng)]有，函數(shù)值被限制在cos函數(shù)的正負(fù)1以內(nèi)，這也是等紋波的底層原因。

做億點(diǎn)點(diǎn)變形，看看切比雪夫多項(xiàng)式原本的模樣：

當(dāng)時(shí)：

當(dāng)時(shí)：

當(dāng)時(shí)，使用三角函數(shù)的倍角公式得到：令即可得到切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式(可用歸納法證明):由遞推公式可以得到不同值下的切比雪夫多項(xiàng)式，來(lái)看看實(shí)際的函數(shù)值和0值得逼近效果：

這等紋波的逼近效果是不是非常棒呢，在[-1,1]區(qū)間內(nèi)，誤差絕對(duì)不會(huì)超過(guò)+/-1。

這里的簡(jiǎn)單多項(xiàng)式和切比雪夫多項(xiàng)式實(shí)際上就是濾波器的特征多項(xiàng)式(另，特征函數(shù)的嚴(yán)格定義是)。當(dāng)時(shí)，就是Butterworth濾波器的特征多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，就是切比雪夫?yàn)V波器的特征多項(xiàng)式。

寫(xiě)到這里實(shí)際上本合集最初的目標(biāo)基本要實(shí)現(xiàn)了--綜合得到直線衰減特性的濾波器。我們只需要綜合出逼近的特征多項(xiàng)式就可以完成濾波器的綜合，這里暫時(shí)不展開(kāi)，先挖個(gè)坑，后面續(xù)繼續(xù)聊。

匹配型切比雪夫低通濾波器的綜合

匹配型濾波器表示輸入輸出阻抗不為0且相等，這時(shí)濾波器兩端都與終端阻抗相互匹配，濾波器負(fù)載電阻可以獲得信號(hào)源最大功率。

匹配型奇數(shù)階切比雪夫低通濾波器的頻率傳遞函數(shù)為:其中是濾波器紋波大小(由于在通帶范圍內(nèi)是，所以我們可以控制就可控制紋波大小)，是切比雪夫多項(xiàng)式.

得到傳遞函數(shù)后首先通過(guò)解析開(kāi)拓計(jì)算出極點(diǎn)，選擇左半邊極點(diǎn)可以獲得，由特征函數(shù)解析開(kāi)拓，選擇合適的零點(diǎn)得到，然后由和得到歸一化阻抗，最后通過(guò)輾轉(zhuǎn)相除得到元器件值。

我們以3階切比雪夫?yàn)V波器為例說(shuō)明綜合過(guò)程，紋波，帶寬為，源阻抗為，負(fù)載阻抗為：

匹配型切比雪夫?yàn)V波器有現(xiàn)成的參數(shù)計(jì)算公式:詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程可以參考。

匹配型偶數(shù)階切比雪夫低通濾波器傳遞函數(shù)假設(shè)還用前式，不知道有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題，當(dāng)時(shí):所以對(duì)于偶數(shù)階切比雪夫?yàn)V波器，則得到：由于切比雪夫?yàn)V波器紋波不為0，所以有，這和匹配型的最初定義相互矛盾，所以在匹配狀態(tài)下我們不能使用和奇數(shù)階濾波器相同的傳遞函數(shù)表達(dá)式。

那么如何解決這一問(wèn)題的呢？

使用頻率變換的方法，對(duì)于一個(gè)4階的低通濾波器，我們可以這樣轉(zhuǎn)化達(dá)到目的：

將4階低通濾波器的形狀轉(zhuǎn)化為一個(gè)3階低通濾波器的形狀，我們找到4階低通濾波器的最接近0頻率的且衰減為0的一個(gè)點(diǎn)，我們想要的是當(dāng)輸入頻率時(shí)，給到函數(shù)的頻率，當(dāng)輸入頻率為時(shí)，給到函數(shù)的頻率，當(dāng)輸入頻率為無(wú)窮是，給到函數(shù)的頻率也為無(wú)窮，相當(dāng)于將4次濾波器的往0頻壓縮，如下動(dòng)圖所示效果(藍(lán)色線為原始切比雪夫函數(shù)的4階濾波器，紅色線顯示了通過(guò)頻率變換后的4階頻率響應(yīng)曲線，頻率變換后，其截止特性要比原本的差一點(diǎn)，但是總的來(lái)說(shuō)比低一階的要好)：

頻率變換公式如下:其中，可以滿足上述要求，所以最終得到偶數(shù)階匹配的切比雪夫低通濾波器傳遞函數(shù)為：下圖為4階切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)過(guò)程，紋波，帶寬為，源阻抗為，負(fù)載阻抗為:

偶數(shù)階切比雪夫?yàn)V波器綜合沒(méi)有現(xiàn)成的公式，只能使用這種輾轉(zhuǎn)相除的辦法去綜合實(shí)際器件，為了普適性，濾波器軟件中采用輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算器件系數(shù)。

由衰減確定濾波器階數(shù)

設(shè)濾波器綜合中通帶頻率為，其紋波為dB，截止頻率為，衰減為dB.示意圖如下：

所要求的通帶到阻帶的衰減是，可以通過(guò)計(jì)算得到衰減和階數(shù)關(guān)系為：當(dāng)比較大時(shí)相同條件下切比雪夫?yàn)V波器的衰減比巴特沃斯濾波器衰減大.

非匹配型切比雪夫?yàn)V波器綜合

非匹配型切比雪夫?yàn)V波器的頻率傳遞函數(shù)為:其中是一個(gè)"增益因子"，這個(gè)增益因子的求解可以通過(guò)在時(shí)求解，當(dāng)時(shí)，濾波器為直通狀態(tài)，整個(gè)電路就是兩個(gè)電阻的分壓，計(jì)算有效衰減值得到：如則得到。

這里要注意的是濾波器設(shè)計(jì)中的傳遞函數(shù)計(jì)算使用的是有效衰減值，而不是插入損耗，兩者有明顯的區(qū)別。有效衰減計(jì)算的是負(fù)載所獲得的功率比上負(fù)載可能獲得的最大功率；而插入損耗是系統(tǒng)中接入網(wǎng)絡(luò)后的輸出電壓比不接入網(wǎng)絡(luò)輸出電壓比。

有效衰減定義：插入衰減定義兩者關(guān)系，如下：當(dāng)時(shí)，兩者衰減量一致，但是當(dāng)時(shí)，這兩者存在明顯差異，總是要大于，這種差異在衰減器設(shè)計(jì)中尤其會(huì)誤導(dǎo)設(shè)計(jì)人員，如, ，這時(shí)若使用不同的衰減來(lái)計(jì)算會(huì)得到不同的結(jié)果，大多數(shù)情況下設(shè)計(jì)軟件采用的是有效衰減，但是有效衰減有個(gè)致命缺陷是當(dāng)或時(shí)，定義會(huì)失效，其根本原因是有效衰減是以功率計(jì)算的，當(dāng)滿足上述條件時(shí)，負(fù)載獲得的功率為0，這會(huì)使得定義失去意義。

非匹配型切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)位置和匹配性的完全相同，唯一不同的是特征函數(shù)。

使用解析開(kāi)拓來(lái)進(jìn)行求解，其他過(guò)程相同，具體推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)附件資料。

切比雪夫?yàn)V波器的零極點(diǎn)分析

切比雪夫低通濾波器的極點(diǎn)在一個(gè)橢圓上，可以通過(guò)的公式(這里僅僅討論匹配型切比雪夫?yàn)V波器)進(jìn)行推導(dǎo):令公式的分母等于0，得到極點(diǎn)位置公式為：根據(jù)切比雪夫公式得到:還是使用歐拉公式：通過(guò)求解得到：

實(shí)部：虛部：其中:可見(jiàn)的極點(diǎn)落在一個(gè)橢圓上，我們?nèi)?fù)平面的左邊極點(diǎn)即可得到的通項(xiàng)公式。

不同通帶類型濾波器零極點(diǎn)圖如下：

設(shè)低通極點(diǎn)位置為則：

高通極點(diǎn)位置為:帶通極點(diǎn)位置為(表示):

帶阻極點(diǎn)位置為(表示):

不同濾波器通帶類型之間的轉(zhuǎn)換

只要有了低通原型，其他濾波器通帶類型之間的轉(zhuǎn)換同模擬無(wú)源濾波器設(shè)計(jì)(五)-Butterworth濾波器設(shè)計(jì)詳解。

逆切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)

逆切比雪夫(Inverse Chebyshev)濾波器也稱為Chebyshev II濾波器，其特點(diǎn)是有最平坦的通帶頻率響應(yīng)，阻帶具有等紋波特性。那么怎么從切比雪夫?yàn)V波器出發(fā)推導(dǎo)出切比雪夫?yàn)V波器呢？

請(qǐng)看如下變換關(guān)系：

首先考慮切比雪夫低通濾波器在通帶內(nèi)具有等紋波特性，阻帶隨著頻率升高幅度逐漸衰減到0，同之前分析高通濾波器那樣，使用替代即可得到高通濾波器特性，從圖形中可以看到，若我們用1減去這個(gè)高通濾波器，則可以得到逆切比雪夫?yàn)V波器，如下動(dòng)畫(huà)展示了此過(guò)程：

通過(guò)這個(gè)變換我們得到了逆切比雪夫?yàn)V波器幅度公式:從中可以看到逆切比雪夫?yàn)V波器除了有極點(diǎn)還有零點(diǎn)。

逆切比雪夫?yàn)V波器零點(diǎn)位置為：極點(diǎn)位置為：逆切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)和切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)互為倒數(shù)。

在進(jìn)行逆切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)時(shí)也需要特別注意偶數(shù)階濾波器設(shè)計(jì)，也是需要和前述切比雪夫?yàn)V波器一樣進(jìn)行頻率變換的。原因可以這樣理解，由于未變換前逆切比雪夫?yàn)V波器在頻率為無(wú)窮大時(shí)不可能衰減不為0，所以需要進(jìn)行頻率變換讓頻率無(wú)窮大時(shí)濾波器衰減為0.

逆切比雪夫?yàn)V波器是從切比雪夫?yàn)V波器導(dǎo)出，原切比雪夫?yàn)V波器的3dB截止頻率點(diǎn)變?yōu)槟媲斜妊┓虻慕刂诡l率點(diǎn)，所以截止頻率位置也需要進(jìn)行頻率變換：逆切比雪夫?yàn)V波器的器件綜合過(guò)程中，由于存在零點(diǎn)，故再也不能使用全極點(diǎn)的輾轉(zhuǎn)相除的辦法求得器件參數(shù)值，只能通過(guò)零點(diǎn)移位技術(shù)(Zero-Shifting Technique)來(lái)求得器件參數(shù)，Matlab代碼中已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了這一過(guò)程。

如下圖所示為匹配型3階逆切比雪夫?yàn)V波器的綜合過(guò)程，衰減，紋波，帶寬為，源阻抗為，負(fù)載阻抗為：

如下圖所示為非匹配性3階逆切比雪夫?yàn)V波器的綜合過(guò)程，衰減，紋波，帶寬為，源阻抗為，負(fù)載阻抗為：

不同濾波器類型零極點(diǎn)對(duì)比

切比雪夫?yàn)V波器和巴特沃斯濾波器

切比雪夫?yàn)V波器和巴特沃斯濾波器無(wú)零點(diǎn)，屬于全極點(diǎn)濾波器。

切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)排布為一個(gè)橢圓，橢圓長(zhǎng)短半軸比越大紋波越大，這也是容易理解的，低頻的極點(diǎn)越靠近虛軸，那么極點(diǎn)所帶來(lái)的影響越大，紋波也越大。當(dāng)紋波Ap特別小時(shí)，可以看到極點(diǎn)非常接近一個(gè)圓，這時(shí)濾波器就呈現(xiàn)巴特沃斯濾波器特性，所以從這點(diǎn)看巴特沃斯濾波器只是切比雪夫?yàn)V波器的一種特殊情況(即Ap=0，但是如果你用切比雪夫?yàn)V波器軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，因?yàn)楫?dāng)紋波Ap=0dB時(shí)，截止頻率Fp=0Hz，這種情況下軟件會(huì)報(bào)錯(cuò))。

切比雪夫?yàn)V波器當(dāng)階數(shù)和-3dB截止頻率位置一定時(shí)，不同紋波的濾波器其極點(diǎn)的虛軸坐標(biāo)位置不變。利用這一點(diǎn)可以通過(guò)頻響曲線鼓包來(lái)推測(cè)濾波器階數(shù)，切比雪夫?yàn)V波器的紋波起伏是怎么來(lái)的呢，其中的衰減最小點(diǎn)是由極點(diǎn)帶來(lái)的，因?yàn)槊總€(gè)極點(diǎn)都會(huì)在對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)提供一個(gè)頻率鼓包，兩個(gè)頻率之間的位置上就有一個(gè)凹坑，頻響曲線上有多少個(gè)鼓包就有多少個(gè)對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)，如上圖中的曲線在頻率響應(yīng)曲線上帶來(lái)了4個(gè)鼓包，那么就有4個(gè)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)，由于在負(fù)頻率上有另外一半，減去0頻率上的多算的一個(gè)，濾波器階數(shù)即為4*2-1=7階。

逆切比雪夫?yàn)V波器

與前面切比雪夫?yàn)V波器類似，逆切比雪夫?yàn)V波器的零極點(diǎn)動(dòng)畫(huà)如下：

圖中的藍(lán)色虛線是對(duì)應(yīng)的切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)位置，是一個(gè)橢圓曲線，綠色虛線是巴特沃斯極點(diǎn)位置是一個(gè)圓，而逆切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)位置如圖紅色虛線所示，位置為切比雪夫?yàn)V波器極點(diǎn)關(guān)于圓的特殊對(duì)稱點(diǎn)，若以逆切比雪夫極點(diǎn)為起點(diǎn)過(guò)零點(diǎn)畫(huà)一條直線，那么這條直線必經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)切比雪夫?yàn)V波器的一個(gè)極點(diǎn)，并且兩個(gè)極點(diǎn)到圓的距離呈現(xiàn)反比關(guān)系。

另外逆切比雪夫?yàn)V波器在阻帶衰減非常大時(shí)，這時(shí)零點(diǎn)位置比較遠(yuǎn)，極點(diǎn)接近一個(gè)圓，這也反映了逆切比雪夫?yàn)V波器在通帶有最大平坦度這一特性。下圖所示的就是三種濾波器的零極點(diǎn)圖，只是這三個(gè)極點(diǎn)幾乎要重合為同一個(gè)圓了。

各位看官，到這里不知道大家有沒(méi)有考慮過(guò)若在上述情況下將極點(diǎn)位置由一個(gè)圓變?yōu)闄E圓會(huì)怎么樣？是不是這樣我們既可以在通帶等紋波又可以阻帶等紋波？對(duì)了，這也是我們下一回將要講到的橢圓函數(shù)濾波器設(shè)計(jì)。

切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)軟件

基于Matlab的appdesign工具開(kāi)發(fā)了一套切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)軟件，主要特點(diǎn)是：

支持切比雪夫?yàn)V波器(Chebyshev I)、逆切比雪夫?yàn)V波器(Chebyshev II, Inverse Chebyshev)、巴特沃斯濾波器(Butterworth)設(shè)計(jì)

支持4種不同濾波器通帶類型(LPF,HPF,BPF,BRF)設(shè)計(jì)

T型和PI型結(jié)構(gòu)濾波器隨意切換

可以設(shè)置阻帶衰減決定濾波器階數(shù)

可以設(shè)置通帶衰減來(lái)綜合濾波器

可以隨意配置負(fù)載和終端阻抗，并支持一端接載(源端電阻短路，源端電流源，終端開(kāi)路，終端短路)設(shè)計(jì)

可以幅頻響應(yīng)分析、零極點(diǎn)分析、瞬態(tài)分析

可以顯示理想頻率響應(yīng)、零極點(diǎn)和實(shí)際仿真的的頻率響應(yīng)、零極點(diǎn)

可以支持實(shí)際標(biāo)準(zhǔn)器件逼近設(shè)計(jì)

切比雪夫LPF設(shè)計(jì)舉例

設(shè)計(jì)一款-3dB截止頻率為1GHz，7階低通Chebyshev濾波器，輸入輸出阻抗為50歐姆，設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

最終設(shè)計(jì)參數(shù)如下：

零極點(diǎn)仿真結(jié)果：

逆切比雪夫BPF設(shè)計(jì)舉例

設(shè)計(jì)3階帶通逆切比雪夫?yàn)V波器(Chebyshev II)，中心頻率為1GHz，帶寬為500MHz，電流輸入，輸出阻抗為600歐姆，并且選擇E24系列器件進(jìn)行綜合，最后進(jìn)行瞬態(tài)仿真，設(shè)計(jì)過(guò)程如下：

最終設(shè)計(jì)參數(shù)如下(可以看到使用實(shí)際的E24系列電感和電容設(shè)計(jì)帶通濾波器頻率響應(yīng)和理論值偏差很大，這部分功能還有優(yōu)化空間)：

瞬態(tài)仿真結(jié)果：

程序的Matalb源碼已經(jīng)上傳GitHub中(https://github.com/etools361/MatlabChebyshevFilterDesignApp.git)，有興趣的同學(xué)可以下載試用體驗(yàn)，當(dāng)然也歡迎技術(shù)交流。

審核編輯：湯梓紅