最小二乘法的擬合基準平面主要分為哪幾個步驟

平面度的測量及管控是我們產(chǎn)品最常見的一個規(guī)格，平常我們只是用設(shè)備測出產(chǎn)品平面度的數(shù)據(jù)，對其測試原理也是一知半解，當(dāng)客戶對我們測試的數(shù)據(jù)產(chǎn)生質(zhì)疑的時候，我們?nèi)舨荒芎侠斫忉專瑒t很難有效說服客戶；得不到客戶的信任，則我們的工作也很難進行下去。

平時，我們總簡單認為，平面度的測試就是用鏡頭到產(chǎn)品的最高點減去最低點即可，事實上，這樣的計算方法是錯誤的計算方法！平面度的本質(zhì)是關(guān)心被測平面上各被測點之間的相互差異，并不關(guān)心各被測點和其他特征之間的差異。如果用高度差算，這個高度差會把上表面與下底面的平行誤差也引進來了，而這個平行誤差原本和上表面的平面度誤差無關(guān)。多余引入的平行誤差會使我們的數(shù)據(jù)大于產(chǎn)品的實際表現(xiàn)，及測出的結(jié)果偏高。

今天我們詳細介紹下3次元設(shè)備是如何利用點位去擬合基準平面從而得出產(chǎn)品的平面度數(shù)值的，其主要用到的數(shù)學(xué)原理就是最小二乘法，期間會有一些線性代數(shù)的矩陣加減乘除，矩陣的轉(zhuǎn)置等。不過我們可以直接用Excel表格來計算，將會簡單許多。

最小二乘法的擬合基準平面主要分為如下幾個步驟，我們將通過一個案例來逐步講解：

1. 擬合出最小二乘平面；

2. 找到最小二乘平面兩側(cè)的最遠采集點到該最小二乘平面的距離H1,H2（如下圖）；

3. 通過計算出來的最遠點的距離H1和H2相加，即平面度的實測值；因為我們計算出的點到平面的距離有方向性，所以直接采用最大的距離減去最小的距離就是平面度的結(jié)果了。

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擬合最小二乘平面

我們首先在產(chǎn)品下表面上采了9個點，點坐標如下圖：

平面方程的公式為：z=ax+by+c 平面方中，a,b,c是平面方程的參數(shù)，只要知道a,b,c，我們就知道最小二乘法擬合出來的基準平面了。同樣的方法，把D1，D2...D9的x,y,z坐標值分別代入平面方程，可以得到下面的超定方程組:

接下來的思路是如何把它轉(zhuǎn)化成矩陣方程,如下：

則平面方程z=ax+by+c就可以寫成矩陣方程Ax=b 顯然A是已知的系數(shù)矩陣（代入坐標值就已知），x包含3個未知數(shù)a,b,c， b也是一個數(shù)據(jù)已知的矩陣（所有的已知z）。我們就可以套公式啦。

我們將原始的數(shù)據(jù)整理成A和b, 然后利用Excel的函數(shù)：

x=MMULT(MMULT(MINVERSE(MMULT(TRANSPOSE(A),A)),TRANSPOSE(A)),b)可以直接求出a,b,c。

Excel的具體數(shù)據(jù)如下：



根據(jù)上表的計算，可以得到基準A的方程是：

z=0.02x+0.04y+(-828.213)

為了方便后邊直接套用公式，需要將上面這個基準平面的方程直接轉(zhuǎn)化標準平面方程：Ax+By+Cz+D=0, 轉(zhuǎn)化后為：

0.02x+0.04y+(-z)+(-828.213)=0

顯然，標準平面方程，我們可以得出: A=0.02, B=0.04,C=-1, D=-828.213, 這四個標準平面方程的參數(shù)在算距離的時候，馬上要用到的。

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找到點到最小二乘平面的距離

然后再求被測要素上每一個點到該基準面的距離，就可以算出輪廓度。這里需要利用點到面的距離公式（A,B,C,D四個參數(shù)剛好可以在這里用上）：



將被測要素每點的坐標代入上面點到面的公式，用點的實際坐標代該公式中的x0,y0,z0。計算出每點到基準面的距離，最后可以計算出輪廓度（按照ISO標準）。最后的計算結(jié)果參考下面的表格結(jié)果：

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計算平面度

最后只要計算出被側(cè)面上每個點到基準面的距離，用最遠距離減去最近距離就是平行度了。結(jié)果如下圖：

我們3次元實測結(jié)果如下圖：

理論計算值與實測值結(jié)果一致，可見我們的理論計算是正確的。

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結(jié)束語

本文主要講述了在已知被測平面上幾個點P的具體坐標的前提下，如何用Excel計算該面的平面度誤差的操作原理和方法。

本文分為三個部分進行講解，

1.計算平面度的基本原理，首先將已知點擬合成一個平面，再計算每個點到該平面的距離，距離的總寬度即表示平面度。

2.如何利用Excel的函數(shù)Linest()擬合出最小二乘平面以及具體的參數(shù)設(shè)置。

3.用Excel具體的計算過程和實現(xiàn)辦法。

審核編輯：劉清