常見全波電磁仿真方法介紹與比較

一

后摩爾時代我們所遇到的瓶頸 后摩爾時代，IC技術(shù)瓶頸主要有如圖 1-1所示的四點(diǎn)。其中，IC瓶頸之一、之二和之四均取決于高效準(zhǔn)確的電磁設(shè)計(jì)。

圖1-1 后摩爾時代IC技術(shù)瓶頸 傳統(tǒng)的基于準(zhǔn)靜態(tài)的寄生參數(shù)提取算法，由于無法處理趨膚效應(yīng)，無法捕捉互連線的頻變效應(yīng)，無法捕捉電場-磁場耦合效應(yīng)（如圖 1-2），所以其仿真精度不夠，需要使用全波電磁仿真方法。

圖1-2 準(zhǔn)靜態(tài)電磁計(jì)算的不足

二

常見全波電磁仿真方法介紹與比較

全波電磁仿真方法很多，圖 2-1做了一個歸類。在眾多方法中，有限元（Finite Element Method, FEM）和矩量法（Method of Moment, MoM）是最有代表性的兩種方法。FEM基于麥克斯韋方程的微分形式，該方法使用體剖分進(jìn)行空間的全域離散，所以會產(chǎn)生較多的剖分單元。而MoM方法基于麥克斯韋方程的積分形式，可以使用面剖分或體剖分進(jìn)行目標(biāo)物體的離散，其生成的剖分個數(shù)遠(yuǎn)小于FEM。

圖 2-2給出了體和面剖分基本單位形狀。

圖 2-1 電磁仿真方法

圖 2-2 剖分基本單元形狀

圖 2-3給出了不同算法的應(yīng)用場景。傳統(tǒng)的MoM和FEM方法由于計(jì)算效率問題，都只適用于較小規(guī)模的電磁問題。雖然MoM生成的未知數(shù)個數(shù)會遠(yuǎn)小于FEM，但是，MoM生成的矩陣是一個稠密矩陣，其直接求解的計(jì)算復(fù)雜度為O(N3)，即使使用迭代求解，每一次迭代其計(jì)算復(fù)雜度依然高達(dá)O(N2)。所以，一般可以采用基于MoM的快速算法減小計(jì)算復(fù)雜度，加速求解過程，并擴(kuò)大求解規(guī)模。如果問題進(jìn)一步擴(kuò)大，則只能使用一些近似算法，如物理光學(xué)（Physical Optics, PO）或幾何光學(xué)（Geometric Optics, GO）進(jìn)行近似計(jì)算，這些方法主要用于超大電尺寸的物體散射問題。

進(jìn)一步把問題聚焦于芯片的電磁仿真領(lǐng)域，雖然FEM、MoM及時域有限差分法(Finite Difference Time Domain, FDTD)等計(jì)算電磁方法都能用于芯片仿真。但是相對于基于微分方程的FEM和FDTD，目前專用的芯片電磁仿真軟件基本都基于積分方程MoM法，比如Cadence和Keysight的芯片版圖專用電磁仿真工具。雖然一些通用的電磁仿真軟件（比如基于FEM的通用仿真軟件）也能用于芯片電磁仿真，但是通用電磁仿真軟件與芯片設(shè)計(jì)軟件沒有很好的交互，且基于FEM的軟件需要施加邊界條件，增加了使用的復(fù)雜度。更重要的，對于介質(zhì)金屬層層堆疊的芯片結(jié)構(gòu)，F(xiàn)EM、FDTD等基于偏微分方程的數(shù)值算法需要對多層介質(zhì)環(huán)境進(jìn)行剖分，導(dǎo)致求解未知數(shù)巨大；而MoM可以把介質(zhì)效應(yīng)放到平面分層格林函數(shù)(Layered Medium Green’s Function)中，這樣只需要對金屬層進(jìn)行表面網(wǎng)格剖分，相比FEM、FDTD等算法，MoM可以大大減少了求解未知數(shù)。

圖 2-3 幾種算法的應(yīng)用范圍

圖 2-4 H-矩陣算法(綠色表示滿足H-Matrix 稀疏化存儲的矩陣單元)

然而對于大規(guī)模芯片問題，即使使用平面分層格林函數(shù)，MoM 生成的稠密矩陣方程的求解依然非常慢。隨著多種快速低秩分解方法的提出，快速直接求解（Fast DirectSolver）方法在電磁計(jì)算領(lǐng)域得到了很大發(fā)展。利用相互分離的基函數(shù)組之間的低秩特性，直接求解方法將系統(tǒng)矩陣分割壓縮成多層稀疏化表示形式。多層自適應(yīng)交叉近似(Adaptive Cross Approximation Algorithm, ACA)矩陣分解算法、H 矩陣法（如圖 2-4 示）和多層UV 方法等都是基于矩陣壓縮的算法，但是直接對矩陣進(jìn)行操作，壓縮程度跟矩陣狀態(tài)相關(guān)。另外，雖然直接法近些年發(fā)展很快，但是直接法的計(jì)算規(guī)模尚遠(yuǎn)不足以比擬快速迭代算法，且面向復(fù)雜工程需求，仍有很多亟待解決的挑戰(zhàn)。

圖 2-5 基于FFT的算法

使用快速迭代求解，是解決MoM稠密矩陣方程求解的另一種有效路徑。比如基于快速傅里葉變換（FFT）的方法，如圖 2-5所示。但是，對于面積分方程求解，為了實(shí)現(xiàn)FFT算法，該方法需要增加許多補(bǔ)零，導(dǎo)致效率降低。三

法動科技的高效電磁仿真技術(shù)

圖 3-1 20世紀(jì)最偉大的十大算法

快速多極子（Fast Multipole Method, FMM)作為20世紀(jì)最偉大的十大算法（如圖 3-1所示）之一被用于包含電磁計(jì)算在內(nèi)的多種應(yīng)用中。該方法而后進(jìn)一步被拓展成更高效的多層快速多極子(Multi-level Fast Multipole Algorithm, MLFMA)，它將整個場分為近場區(qū)和遠(yuǎn)場區(qū)重新組合加速矩陣-向量乘法，并將迭代方法的計(jì)算復(fù)雜度降低為O(NlogN)，極大地提高了仿真效率，擴(kuò)大了仿真規(guī)模（如圖 3-2所示）。

圖 3-2 從矩量法發(fā)展到多層快速多極子算法計(jì)算復(fù)雜度的變化

法動科技作為射頻EDA行業(yè)的領(lǐng)先者，自主開發(fā)了一種新的MLFMA用于芯片的電磁仿真，該方法可以同時適用于平面分層格林函數(shù)這類復(fù)雜的核函數(shù)。即使使用平面分層格林函數(shù)來減少未知數(shù)的情況下，依然可以得到O(NlogN)的計(jì)算復(fù)雜度，極大地提升芯片電磁仿真的效率。

法動科技： 成立于2017年。作為擁有硅谷及斯坦福創(chuàng)新基因的國際一流團(tuán)隊(duì)，我們專業(yè)提供射頻微波電子設(shè)計(jì)自動化（EDA）軟件，憑借自主研發(fā)的大容量、快速三維全波電磁仿真引擎和基于人工智能技術(shù)的高效系統(tǒng)級仿真引擎，能夠在射頻微波芯片、封裝、高速PCB等領(lǐng)域?yàn)橛脩籼峁┛焖贉?zhǔn)確的電磁仿真、建模及優(yōu)化設(shè)計(jì)方案。 同時，我們可以為包括移動通信、物聯(lián)網(wǎng)、5G、雷達(dá)、衛(wèi)星通信系統(tǒng)和高速數(shù)字設(shè)計(jì)在內(nèi)的產(chǎn)品提供高水平設(shè)計(jì)開發(fā)服務(wù)。

審核編輯 ：李倩