在重力作用下兩個(gè)固定點(diǎn)之間懸掛的小鏈條是什么形狀

在重力作用下，兩個(gè)固定點(diǎn)之間懸掛的小鏈條是什么形狀？這就是經(jīng)典的懸鏈線問題，在我們生活中也非常常見，比如兩根電線桿之間的電纜。

牛頓力學(xué)

解決這個(gè)問題的常規(guī)方法是進(jìn)行受力分析。如上圖所示，線的每一點(diǎn)都處于靜力平衡狀態(tài)，并且假設(shè)線的單位長(zhǎng)度質(zhì)量為λ，所以mg=λgdx。用曲線y(x)來表示線的形狀，由力的平衡我們可以得到以下方程：

解上面這個(gè)微分方程，我們可以得到y(tǒng)=(λg/2T)x2。當(dāng)然，這是以線的最低點(diǎn)為原點(diǎn)，所以幾個(gè)積分常數(shù)為零。所以，線的形狀是一條拋物線。

事實(shí)上，在上面的分析中有隱藏的近似值。首先，從x到x+dx之間的線的長(zhǎng)度實(shí)際是ds，而不是dx。其次，上述分析假設(shè)線的張力沒有變化，對(duì)于幾乎接近水平的線來說是一個(gè)很好的近似。

但實(shí)際上，線的張力隨著繩子的高度增加。接下來，我們就實(shí)際情況進(jìn)行分析。

如上圖所示，線的底部張力為T?，在距離底部s處的張力為T，并且與水平方向夾角為θ。那么水平方向力的平衡方程為：Tcosθ=T?，豎直方向力的平衡為：Tsinθ=λgs，于是就有tanθ=λgs/T?=s/a，其中a=T?/λgs為一常數(shù)，與具體情況有關(guān)。

現(xiàn)在，我們已經(jīng)有了懸鏈線的方程，只不過是用θ和s表示，但我們想要的是用水平位置x和豎直位置y表示。我們已經(jīng)有了斜率dy/dx=tanθ=s/a，并且還有無窮小量之間的關(guān)系：dx2+dy2=ds2。把這兩個(gè)方程放在一起，就可以得到：

重新排列一下就可以得到：

我們令s=asinhξ，則ds=acoshξdξ，代入上式就可以得到dξ=dx/a，兩邊積分就得到ξ=x/a+b，其中b是積分常數(shù)。因此，s=asinh(x/a+b)。在上面我們得到dy/dx=s/a，所以ady=sdx=asinh(x/a+b)dx，最后積分得到懸鏈線方程y=acosh(x/a+b)+c，其中c是積分常數(shù)。兩個(gè)常數(shù)b和c可以根據(jù)坐標(biāo)軸的選取進(jìn)行確定。

拉格朗日力學(xué)

在以前的文章中，我們用最小作用量原理推導(dǎo)了廣義相對(duì)論中的測(cè)地線方程、量子場(chǎng)論中的基本方程，今天我們繼續(xù)用它來求懸鏈線方程。首先，懸鏈線處于靜止?fàn)顟B(tài)沒有動(dòng)能，所以我們要求的就是勢(shì)能的最小值。

審核編輯：劉清