物理學(xué)中的波概念

01 導(dǎo)論

地球與其它已知星球之最大區(qū)別在于地球的表面上存在大量的水。水是生命發(fā)生的前提，自然也是物理學(xué)發(fā)生的前提。水給物理學(xué)打上了深深的特征烙印，波(wave)、漲落(fluctuation)、鏡像(mirror image)、渦旋(vortex)等關(guān)鍵物理學(xué)概念都來自于水。水表面處的分子密度大于體內(nèi)，其表面張力在20 ℃時~72.75 mN/m，可以說水有一張彈性適中的皮，極易表現(xiàn)出水面的波動(圖1)。因此，水波也就成為了一個人類也許在有文明之前就爛熟于胸的概念。水波隨處可見，深入人心，也就深入了物理學(xué)！

在物理學(xué)中，取決于具體的語境，波被用來表示一種運(yùn)動的形式，也被當(dāng)作存在的形式，甚至有時不過只是一個空洞抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式。在機(jī)械波、電磁波(光波)、物質(zhì)波(量子力學(xué)波函數(shù))以及引力波這些概念中出現(xiàn)的波，以及在傅里葉分析和信號探測理論與實(shí)踐中也許是隱性地提及的波，可能多有可檢討的內(nèi)容。認(rèn)真分析一下這些波的含義，其所依托概念的來源，其所由來的原初約束與限制，以及其下所依賴的數(shù)學(xué)，也許可以為對相應(yīng)的物理學(xué)的深刻理解有些許的幫助。

2 機(jī)械振動與機(jī)械波

固體經(jīng)歷微小形變時，形變與應(yīng)力成正比，此即為胡克定律F = -kx ，泰勒展開保證了這個公式的普適性?？疾鞆椈缮弦毁|(zhì)量為m的振子的振動問題，引入ω2 = k/m ，則振子的運(yùn)動方程為

此方程解的形式為

這是一個單變量的三角函數(shù)。這即是說，振動在數(shù)學(xué)上被表示為位置關(guān)于時間的三角函數(shù)。與此同時，勻速圓周運(yùn)動可表示為參數(shù)方程

可見勻速轉(zhuǎn)動在任一方向上的投影是(2)式表述的簡單振動。這說明，振動和轉(zhuǎn)動實(shí)質(zhì)上有某種一致性。振動與轉(zhuǎn)動之間的轉(zhuǎn)換是工業(yè)文明的基礎(chǔ)。一個顯見的例子是，縫紉機(jī)上踏板的來回振動會轉(zhuǎn)化為傳動輪的轉(zhuǎn)動，傳動輪的轉(zhuǎn)動又轉(zhuǎn)化為縫紉針的上下振動?？p紉針按照(2)式的諧振動(harmonic oscillation)， 配合布料的勻速直線運(yùn)動，會留下周期性的針腳。

如果振動的物體有足夠的外延，比如一根弦，其上各點(diǎn)的振動之間則可能會是以某種方式耦合的。一根取向沿x 方向的弦的運(yùn)動方程，在小振幅近似下，為

其中ρ 是弦的質(zhì)量密度，T 是弦(因沿x 方向被緊繃引起)的張力， x ∈[0，L] ，L 是弦長。方程(4)可改寫為

方程(5)形式的關(guān)于時間—空間變量的二階微分方程是所謂的經(jīng)典波動方程。注意，空間變量可以多維的。對于一維情形，方程(5)的通解為

人們把其中形式如

的稱為行波解，其中的k，ω，滿足v = ω/k ，反映的是振動的長度周期和時間周期(一維情形下，k，ω就是兩個數(shù))。注意，弦上的每一點(diǎn)都在與弦垂直的平面內(nèi)某個方向上振動，所謂的波速v反映的是點(diǎn)振動之間的關(guān)聯(lián)。實(shí)際上，人們也愿意把k，ω看作是實(shí)在的物理量，ω是頻率，k 是波矢。波矢，表征波傳播的方向，但實(shí)際上它是個切空間里的概念。在三維空間中定義的形如ξ(x，t) = Aei(k ? x - ωt + θ) 的函數(shù)，被稱為平面波，意思是波前(wave front)為與方向x垂直的整個平面。平面波展開是常用的計算方法，其合理性和有效性基于傅里葉分析。

(5)式的波動方程和類似(7)式中的表示波的函數(shù)，都被當(dāng)作經(jīng)典物理中談?wù)摬ǖ幕A(chǔ)，甚至成了波的化身，但其實(shí)它們遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足以反映機(jī)械波的復(fù)雜性。比如，1834 年英國人John Scott Russell發(fā)現(xiàn)水渠中行駛的船頭總有一個高高的浪頭。此現(xiàn)象涉及的淺水波概念被稱為孤立波。此情景中，水面的運(yùn)動滿足KdV 方程

其解的形式為

此解與(7)式中的解有相同的本質(zhì)，是x - vt 形式的變量的三角函數(shù)(雙曲函數(shù)是虛變量的三角函數(shù))。這反映的是人們數(shù)學(xué)水平的局限，而非自然現(xiàn)象必然嚴(yán)格如此。

3 光的波動說

光充滿宇宙。牛頓認(rèn)為光是由顆粒(corpuscle)組成的，筆者猜測這可能是來自同雨絲的類比。光線與雨絲一起從夏日的烏云處一起落下，都給人以ray(射線)的印象。雨絲里有一個個的小雨滴，那光線也可能是由分立的顆粒組成的，只是顆粒個頭太小不易分辨而已。荷蘭的惠更斯比較水波的形象和燭光搖曳的影子，認(rèn)為光應(yīng)該是水波那樣的波，此為光的波動說。光之波動說的確立有兩個關(guān)鍵證據(jù)。1801 年英國人托馬斯·楊參照水波干涉所做的光雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，得到了如同波浪高低起伏的明暗相間條紋(圖2)。1815 年法國人菲涅爾從惠更斯原理，即波前上的每一點(diǎn)都可以作為次級波源，出發(fā)，對楊的實(shí)驗(yàn)結(jié)果給出了計算上的證實(shí)。菲涅爾的計算還預(yù)言，在光路上的圓形小物體，其所造成的陰影中心是亮的。該預(yù)言于1817年被實(shí)驗(yàn)觀察證實(shí)。

對雙縫干涉實(shí)驗(yàn)的所謂計算解釋，其關(guān)鍵詞就是三角函數(shù)之和。對函數(shù)eikx - ωt + eik(x + Δx) - ωt 求模平方，可得周期函數(shù)2 + 2cos kΔx ，干涉條紋的明暗相間就是用這個函數(shù)解釋的。當(dāng)然了，對這個公式不可過于當(dāng)真，即便計入狹縫的衍射效應(yīng)所得到的強(qiáng)度分布公式也不能嚴(yán)格擬合實(shí)驗(yàn)得到的強(qiáng)度分布，而所謂的干涉花樣強(qiáng)度分布的實(shí)驗(yàn)測量，本身就是個有趣的、困難的話題。

不管怎樣，光的波動說建立起來了?；诓ǖ母拍?，或者說基于三角函數(shù)表示的振蕩及一些其它信念，許多光的現(xiàn)象可以被解釋得相當(dāng)令人滿意。此時的光是一種波，是某種物質(zhì)的振動(vibration)。

4 麥克斯韋方程組與電磁波

在1861—1862 年間，英國人麥克斯韋在總結(jié)前人電磁學(xué)研究的基礎(chǔ)上，得到了一組方程

其中第四個方程中的?D/?t 項被稱為位移電流，是麥克斯韋添加上去的。1865 年，麥克斯韋得到了關(guān)于電磁場的波動方程

其中的波速c = (μ0ε0)-1/2 具有和當(dāng)時測得的光速大抵相近的值。這自然導(dǎo)致兩個具有重要物理意義的問題：

1)電磁場可以是波?

2)電磁波的波速等于光速？如果是，這意味著光是電磁波？

記住，對于此時的麥克斯韋，方程(11)描述的電磁波依然是個機(jī)械的概念。

1887 年，德國人赫茲用圖3 所示的裝置在電路旁邊的用一根導(dǎo)線連著的兩個鋅球之間引起了電火花，這說明電磁場從線路中溢出來了。這個實(shí)驗(yàn)被看作是第一次產(chǎn)生了電磁波，不過也許同樣重要的是，它第一次讓人們注意到了光電效應(yīng)。既然實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生了電磁波，且速度就是光速，且還存在大量的光—電和電—光效應(yīng)，認(rèn)為光是電磁波就是水到渠成的了。

圖3 赫茲產(chǎn)生電磁波所用電路的示意圖

所謂的用電路產(chǎn)生電磁波，電磁波是由電子經(jīng)加速后向外輻射的。向空間輻射不同花樣的電磁波，要求設(shè)計不同樣式的發(fā)射天線；當(dāng)然出于接收電磁波和探測電磁波源的考慮，人們也設(shè)計了各色各樣的接收天線。確立電磁波的來源，從來都不是一個簡單的問題。

尋找光，現(xiàn)在是電磁波了，之振動實(shí)體或曰介質(zhì)的過程是物理學(xué)史上的重大敘事。Michelson—Morley 實(shí)驗(yàn)的無結(jié)果表明，沒有地球?qū)庖蕴南鄬\(yùn)動。此實(shí)驗(yàn)被當(dāng)作否定光以太存在的證據(jù)。今天的觀點(diǎn)是，電磁波是場，它本身就是存在，它憑借自身向遠(yuǎn)處傳播。

5 光的粒子說、物質(zhì)波與量子力學(xué)波函數(shù)

1900 年，普朗克從熵概念出發(fā)成功擬合了黑體輻射的實(shí)驗(yàn)曲線，其后順著玻爾茲曼的統(tǒng)計物理思路也得到了該擬合曲線。后一條思路用到了一個重要的前提，即頻率為ν的光，其基本能量單位是hν。這是1877 年玻爾茲曼假設(shè)的再現(xiàn)。1905 年，愛因斯坦往前更進(jìn)了一步，他假設(shè)如果頻率為ν的光之能量是被固體按照hν一份一份地吸收的，則光電效應(yīng)的系列實(shí)驗(yàn)結(jié)果就能得到完滿的解釋。此外，康普頓研究了電子對X-射線的散射，確立了光的能量量子還對應(yīng)明確的動量h/λ。到此，原先比照水波概念的光波，有理由被當(dāng)作粒子(particle)了。注意，此時光是粒子(particle)的觀念同牛頓的光微粒說還是有些區(qū)別的：比如，它有明確的頻率或者波長的概念，其能量和動量則分別是固定的hν和h/λ。常數(shù)h 被稱為普朗克常數(shù)。

光是波還是粒子的觀念激發(fā)了法國人德布羅意的靈感：如果光既是(水)波又是粒子，那么作為粒子的電子是否也是波，或者說也會表現(xiàn)出波的行為？1924 年，德布羅意提出了物質(zhì)波的概念：電子這樣的粒子也是波，相應(yīng)的波長和頻率由粒子的能量E和動量p給出

1927 年美國人Davidsson 和Germer 用電子束照射到鎳晶體上，獲得了如同X-射線晶體衍射那樣的花樣，算是首次驗(yàn)證了電子的波動性。

德布羅意的物質(zhì)波概念隨著他的博士論文被送到了德國和瑞士。據(jù)說愛因斯坦對物質(zhì)波的概念非常欣賞。勞厄認(rèn)為關(guān)于物質(zhì)波總該有個波動方程，薛定諤接受了為物質(zhì)波構(gòu)造方程的挑戰(zhàn)并在1926 年分四部分發(fā)表了題為《作為本征值問題的量子力學(xué)》的論文，提出了量子力學(xué)的波動方程

其中，算符H是系統(tǒng)的哈密頓量，而函數(shù)ψ(x，t)是粒子的波函數(shù)。波函數(shù)是關(guān)于時空的復(fù)函數(shù)，其模平方為粒子在空間某處出現(xiàn)的幾率密度——如果這波函數(shù)可以歸一的話。

粒子是波或者會表現(xiàn)出波動行為的想法，結(jié)果導(dǎo)致了量子力學(xué)以及波函數(shù)的概念。根據(jù)量子力學(xué)，粒子的所有物理信息都被包含在描述其狀態(tài)的波函數(shù)中了。考察如下的一維諧振子的波函數(shù)

雖然仍可見類似eiωt 那樣的因子，但卻沒有ei(kx - ωt)這樣的因子了。這一點(diǎn)也不妨礙我們把(14)式中的函數(shù)稱為波函數(shù)。量子力學(xué)帶來了物理學(xué)的革命，也徹底改變了人類社會，至于其波函數(shù)中不(必然)含有ei(kx - ωt) 這樣的描述波動的因子，那有什么關(guān)系。波函數(shù)到底是什么， 重要嗎？嗯……，不重要嗎？

與對應(yīng)(7)式那樣的經(jīng)典平面波表示ψ ∝ ei(kx - ωt)相比，量子力學(xué)平面波函數(shù)

ψ ∝ ei(p??x?- Et)/?具有更多的內(nèi)容，其中t 是作為參數(shù)的時間，E是體系的能量，對應(yīng)哈密頓算符H；而x?是位置算符， p?是動量算符，兩者還要滿足量子化條件[x?，p?]=i? ；? = h/2π ，h是普朗克常數(shù)，是量子力學(xué)的標(biāo)簽。

量子力學(xué)帶來更多的認(rèn)識?？疾煲痪S自由粒子，其哈密頓量為

相應(yīng)的定態(tài)薛定諤方程為

滿足波函數(shù)要求的形式解為cos(nx)， sin(nx)，x ∈(x0，x0 + 2π)。根據(jù)量子力學(xué)(的數(shù)學(xué))，此處的哈密頓量是一個自伴隨算符，其所有本征函數(shù)構(gòu)成了一個完備正交基，即是說對于任何定義在(0，2π)上的函數(shù)f(x)，有

這分明是傅里葉級數(shù)展開。

6 傅里葉分析

傅里葉級數(shù)是法國人傅里葉在研究傳熱問題時得到的。(17)式形式的展開威力巨大，連鋸齒狀的或者平臺狀的嚴(yán)重非光滑函數(shù)都可以根據(jù)(17)式展開成光滑的三角函數(shù)的級數(shù)——這個不可思議的特點(diǎn)最是它令人難以接受的地方。進(jìn)一步地，對于時間的函數(shù)s(t)，一般有傅里葉變換

注意，此處與時間共軛的頻率變量也是連續(xù)的。

有了傅里葉分析，一般的時空變量的函數(shù)f (x，t) 都能表示為sin(kx - ωt) 形式的函數(shù)對k，ω的求和或者積分。一條毫無變化的水平線經(jīng)過傅里葉分析，如果只看其有限的傅里葉展開項，也成了波了，如果波指的是sin(kx - ωt) 形式的三角函數(shù)的話。在分析實(shí)踐中， 某個時空函數(shù)f (x，t) 在固定點(diǎn)上表現(xiàn)為時間序列f (x0，t)，它可以按照(18)式被分析為是由具有某頻率譜的波疊加而成的。探測到一個時間序列，將之解釋為對波的探測，除了會作傅里葉分析的功夫，還要有其它的輔助性信念。

傅里葉分析容易讓人想起托勒密的epicycleon-deferent 理論，漢譯本輪—均輪理論。圓周運(yùn)動上疊加圓周運(yùn)動是很容易得到各種可能不是很光滑的圖形的，包括棱角分明的三角形——這是數(shù)學(xué)的威力。

7 相對論與引力波

在牛頓力學(xué)中，在引力質(zhì)量Mg的引力場中運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)(慣性質(zhì)量為mi，引力質(zhì)量為mg)，其運(yùn)動方程為

在伽利略變換t ? t′ ， r ? r′= r - vt + r0 下，此方程形式不變。與此同時，電磁學(xué)的波動方程(11)則是在洛倫茲變換

下保持形式不變；或者說，變換(20)保持(光的)時空距離函數(shù)

不變。此為狹義相對論。顯然，經(jīng)典電磁學(xué)和引力的方程遵從不同的變換規(guī)律，這表明物理學(xué)內(nèi)部尚不協(xié)調(diào)。愛因斯坦決定把狹義相對論也應(yīng)用于引力問題，為此要把狹義相對論加以推廣(generalized)。廣義相對論建立在兩個等價原理上。所謂的引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量等價，是說方程(19a)可以約化為

這里方程的左邊是一個運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)的加速度，右邊則是該質(zhì)點(diǎn)遭遇的引力場。加上所謂的引力與加速度之間的等價(意思是說19(b)可以移項)，而加速度可以從運(yùn)動軌跡的曲率中得到，因此關(guān)于引力的描述就轉(zhuǎn)化成了關(guān)于彎曲時空中路徑之曲率的表述。

愛因斯坦根據(jù)以上考慮，從弱靜引力場出發(fā)，于1915年構(gòu)造出了他的引力場方程

其中g(shù)μv 是時空的度規(guī)， Rμv 是由gμv 得到的Ricci張量，T 是動量—能量張量。方程(22)于1916 年正式發(fā)表，目前只有Schwarzschild 解和Kerr 解這兩個嚴(yán)格解，這可能是因?yàn)榉匠?22)要滿足微分同胚協(xié)變性，是高度非線性的緣故。與高度非線性的方程(22)相比，經(jīng)典波動方程和量子力學(xué)的薛定諤方程，甚至狄拉克方程，可都是線性的，那里得到的波，或者說(虛)變量x - vt 的三角函數(shù)，作為方程的解，還是容易的。

對方程(22)作弱場近似，即考察遠(yuǎn)離大質(zhì)量分布的幾乎平坦的區(qū)域，將其度規(guī)gμv寫成gμv=ημv+hμv 的形式，其中ημv=(1，1，1；－1)是平直時空(閔可夫斯基時空)的度規(guī)，得到近似方程

附加的規(guī)范條件為h0μ=0；hμμ = 0 ( 橫波， 跡為零)。顯然，(23)和方程(11)具有完全相同的形式，描述的是速度為c 的橫波。此即為引力波方程，此波振蕩的主體是張量hμv=gμv－ημv?；蛟S如同量子力學(xué)波函數(shù)ψ，hμv也是一個需要詮釋但未被正確詮釋的量。注意，所謂的引力波具有光速的說法，幾乎不具有任何特別的物理意義。愛因斯坦在構(gòu)造廣義相對論時，本來就是在推廣狹義相對論，要求彎曲時空的局部滿足洛倫茲變換，因此這個參數(shù)c 是從一開始被加進(jìn)去的。如果真有什么獨(dú)立的、無心插柳式的實(shí)驗(yàn)，能得到與光速誤差在一兩個數(shù)量級內(nèi)的時空度規(guī)振蕩的相速度或群速度，那才真是對廣義相對論的強(qiáng)力支持。

8 結(jié)語

本文檢討了自經(jīng)典力學(xué)的機(jī)械波到廣義相對論的引力波的諸多波概念。一個事實(shí)是，在各種不同語境中出現(xiàn)的波概念，其關(guān)切的物理量所涉及的物理現(xiàn)實(shí)與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，后者還包括具體方程的形式和波的函數(shù)表達(dá)，還是有許多或細(xì)微或深刻的區(qū)別的。在物理學(xué)中，波既被當(dāng)作運(yùn)動的形式，也被當(dāng)作存在自身的形式，其實(shí)本質(zhì)上也不過是一個在我們有限的數(shù)學(xué)知識內(nèi)容易掌握的工具形式。在真實(shí)的物理世界中，一根金屬絲除了會象三角函數(shù)那樣來回伸縮，它還會永久變形甚至斷裂；水面上除了有貝塞爾函數(shù)那樣的圈狀波紋以及用雙曲函數(shù)描述的孤立波，也有能打翻大船的湍流；電磁場除了會優(yōu)雅地振蕩著飛越真空，它還真能擊穿空氣產(chǎn)生閃電……。物理的現(xiàn)實(shí)，不局限于形式簡單的數(shù)學(xué)解。

波的概念，是物理學(xué)入門處第一根被具象化了的虛擬支柱，而已。

審核編輯：湯梓紅