傅里葉變換、拉普拉斯變換、Z變換剖析

為什么要讀書？

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時(shí)域、頻域、s域、z域

大學(xué)《信號(hào)與系統(tǒng)》講了四種域：時(shí)域、頻域、s域、z域。

本質(zhì)上，頻域、s域、z域，都是從時(shí)域變換到頻域。

時(shí)域：

連續(xù)信號(hào)：x(t）

離散信號(hào)：x[n]

頻域：

連續(xù)信號(hào)：X(jw)

離散信號(hào)：X(e^jw)

轉(zhuǎn)換關(guān)系

時(shí)域與頻域：傅里葉變換

時(shí)域與s域：拉普拉斯變化

時(shí)域與z域：z變換

頻域與s域：jw = s

頻域與z域：e^jw = z

為何傅里葉變換？

為什么時(shí)域要變化到頻域？

當(dāng)信號(hào)從時(shí)域變換到頻域后?？梢杂^察到很多時(shí)域看不到的現(xiàn)象。特別是很多在時(shí)域看似不可能的數(shù)學(xué)操作，在頻域反而so easy！

比如，紙上動(dòng)筆畫一個(gè)sin(x)函數(shù)波形，很簡(jiǎn)單！

那讓你畫一個(gè)sin(3x)+sin(5x)波形呢？無從動(dòng)筆？

那給你一個(gè)sin(3x)+sin(5x)波形，讓你畫一個(gè)sin(5x)波形呢？

在頻域，sin(3x)+sin(5x)就兩條豎線！剔除sin(5x)是不是很簡(jiǎn)單。

從一條曲線中，去除一些特性頻率成分，就是信號(hào)處理中的濾波。

頻譜只代表每一個(gè)正弦波的振幅，沒有相位信息。相位如何表示？

鑒于正弦波是周期的，我們用下圖紅色點(diǎn)來標(biāo)記離頻率軸最近的波峰：

為了看清楚，我們將紅色點(diǎn)往下平面投影成粉色點(diǎn)，粉色點(diǎn)與頻率軸的距離，這個(gè)距離占正弦波的周期的百分比，乘以360°就是相位。

為何要拉普拉斯變換？

為何要拉普拉斯變換？

傅里葉變化只能對(duì)能量有限的信號(hào)進(jìn)行變換(也就是可以收斂的信號(hào))，無法對(duì)能量無限的信號(hào)進(jìn)行變換(無法收斂)，因此，拉普拉斯應(yīng)運(yùn)而生，在原先的傅里葉變換公式中乘以一個(gè)衰減因子，使得無限能量的信號(hào)也能進(jìn)行時(shí)頻變換。

換而言之，傅里葉變換不能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而拉普拉斯變換轉(zhuǎn)成s域就能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

很多曲線，都可以用這些不同頻率，連續(xù)旋轉(zhuǎn)的圓，通過線性疊加得到，而傅里葉定律，就是對(duì)這個(gè)結(jié)論的數(shù)學(xué)描述，傅里葉定律說：只要一個(gè)函數(shù)滿足如狄利赫里條件，都能分解為復(fù)指數(shù)函數(shù)之和，哪怕是如拉格朗日提到的帶有棱角的方波函數(shù)。狄利赫里條件為：

傅里葉變換有一個(gè)很大局限性，那就是信號(hào)必須滿足狄利赫里條件才行，特別是那個(gè)絕對(duì)可積的條件，一下子就攔截掉了一大批函數(shù)。比如函數(shù)f(t)=t^2就無法進(jìn)行傅里葉變換。這點(diǎn)難度當(dāng)然拿不到聰明的數(shù)學(xué)家們，他們想到了一個(gè)絕佳的主意：把不滿足絕對(duì)的可積的函數(shù)乘以一個(gè)快速衰減的函數(shù)，這樣在趨于正無窮時(shí)原函數(shù)也衰減到零了，從而滿足絕對(duì)可積。

數(shù)學(xué)描述是：

先上圖，我們下文講零極點(diǎn)穩(wěn)定性問題。

零點(diǎn)、極點(diǎn)分析

1、零點(diǎn)

零點(diǎn)：使系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)為0的s的值，其中s為復(fù)數(shù)。比如：

s=-1是零點(diǎn)。

2、極點(diǎn)

極點(diǎn)：使系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)分母為0的s的值，其中s為復(fù)數(shù)。比如：

s=-2、s=-3是極點(diǎn)。

為何Z變換？

我們知道，傅里葉變換公示如下：

在函數(shù)收斂情況下，才可傅里葉變換，不收斂則乘以一個(gè)衰減函數(shù)形成拉普拉斯變換。

同樣的，離散周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)為：

進(jìn)一步化簡(jiǎn)：

令：

則DFT的表達(dá)式變?yōu)椋哼@就是Z變換!!!

精采絕倫嗎？繼續(xù)high

由連續(xù)函數(shù)*衰減函數(shù)的傅里葉變換，即拉普拉斯變換，我們假定了：

由離散函數(shù)*衰減函數(shù)的傅里葉變換，即Z變換，我們假定了：

也就是說，z域和s域有如下關(guān)系：

我們知道在s域上，虛軸上不同的點(diǎn)對(duì)應(yīng)不同的頻率，而z域上單位圓與s域虛軸對(duì)應(yīng)，可見，z域單位圓上不同的點(diǎn)，代表了不同的頻率。

對(duì)于z域的傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)，也有和s域零極點(diǎn)類似的結(jié)論：

規(guī)律1：如果在單位圓上有零點(diǎn)，則在零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的頻率上幅值響應(yīng)為零；

規(guī)律2：對(duì)于不在單位圓上的零點(diǎn)，在單位圓上離零點(diǎn)最近的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率上幅值響應(yīng)最小。

規(guī)律3：對(duì)于在單位圓內(nèi)部的極點(diǎn)，在單位圓上離極點(diǎn)最近的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率上幅值響應(yīng)最大。

規(guī)律4：如果極點(diǎn)和零點(diǎn)重合，對(duì)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)沒有影響。

零、極點(diǎn)影響頻率響應(yīng)

例子1：

對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)，在z=0有一個(gè)極點(diǎn)，在z=1時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)。零、極點(diǎn)分布如下：

其中o表示零點(diǎn)，x表示極點(diǎn)。從z=1也就是單位圓上角度為零(也是頻率為零)的點(diǎn)開始，此處z=1有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)規(guī)律1，顯然在頻率為零時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)為零。

順著單位圓沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，我們離零點(diǎn)越來越遠(yuǎn)，零點(diǎn)的影響也越來越小，因此幅值響應(yīng)會(huì)逐漸增大。當(dāng)我們到達(dá)z=-1 ,也就是頻率為1/2fs時(shí)，此時(shí)離零點(diǎn)最遠(yuǎn)，因此響應(yīng)會(huì)達(dá)到一個(gè)最大值，當(dāng)頻率繼續(xù)增大時(shí)，由于離零點(diǎn)又開始接近了，幅值響應(yīng)又開始變小。

極點(diǎn)正好位于圓心位置，也就是說所有頻率段離極點(diǎn)的距離都一樣，因此可以認(rèn)為都沒影響。

用freqz函數(shù)將系統(tǒng)的頻響畫出來，如下圖，這個(gè)系統(tǒng)本質(zhì)上是一個(gè)高通濾波器。

這個(gè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到時(shí)域：

是不是很驚喜，這本質(zhì)就是一個(gè)差分，低頻信號(hào)被過濾，高頻信號(hào)通過。

這一個(gè)差分，對(duì)應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的微分。我們知道微分對(duì)應(yīng)的是傳遞函數(shù)是s，穩(wěn)態(tài)時(shí)為s=jw，這顯然是一個(gè)高通濾波器。

審核編輯 ：李倩