利用C語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)高斯列主元消去法解線性方程組

這篇文章主要是用C語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)高斯列主元消去法求解多元一次方程。

高斯列主元消去法

由于涉及到的數(shù)學(xué)公式太麻煩了，所以從網(wǎng)上找了一張圖片，介紹高斯消去法的，如下圖:

Gauss列主元素法

示例

假如現(xiàn)在有一個(gè)三元一次方程組，如下圖：

三元一次方程組

求解多元一次方程組可以分成三個(gè)步驟:

首先根據(jù)方程組構(gòu)建增廣矩陣

其次對(duì)增廣矩陣經(jīng)過(guò)行列式的初等變化變成上三角矩陣

最后從后往前回代求解。

構(gòu)造增廣矩陣

系數(shù)矩陣就是將方程組的系數(shù)組成矩陣。

而增廣矩陣就是在系數(shù)矩陣的右邊添上一列，這一列是線性方程組的等號(hào)右邊的值。

下圖即為行列式的增廣矩陣：

增廣矩陣

組上三角矩陣

這里說(shuō)的組上三角矩陣是指經(jīng)過(guò)若干步初等變換，將矩陣左上角和右下角連線組成的對(duì)角線左下方的元素全部清零。

這個(gè)步驟主要涉及到主元以及初等變換兩個(gè)概念。

主元指在消去過(guò)程中起主導(dǎo)作用的元素，主元通常選擇絕對(duì)值最大的元素，用它做除法能夠減小舍入誤差的擴(kuò)散，使得數(shù)值解比較可靠。

以下為行列式的初等變換：

換行變換:交換兩行(列)

倍法變換:將行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k

消法變換:把行列式的某一行(列)的所有元素乘以一個(gè)數(shù)k并加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素上

而下面的圖則是經(jīng)過(guò)若干步初等變化組成的上三角矩陣:

迭代求解

在組成上三角矩陣之后，就可以從下往上依次回代求出方程的解了

C代碼

#include
#include

#defineMAX_MATRIX10

/**
*@briefSwapRow進(jìn)行行交換
*@paramm待計(jì)算的矩陣
*row待交行的行
*max_row待交換的另一行
*n矩陣行數(shù)
*/
staticvoidSwapRow(doublem[][MAX_MATRIX],introw,intmax_row,intn){
doubleswap;
for(intk=row;k<=?n;?k++)?{
????swap?=?m[row][k];
????m[row][k]?=?m[max_row][k];
????m[max_row][k]?=?swap;
??}
}

/**
?*?@brief?組上三角矩陣
?*?@param?m?待計(jì)算的矩陣
?*????????n?矩陣行數(shù)
?*/
static?void?SelectColE(double?m[][MAX_MATRIX],?int?n)?{
??int?max_row_e?=?0;??//主元所在行
??double?ratio?=?0;???//消元因數(shù)
??for?(int?j?=?0;?j?fabs(m[max_row_e][j])){
max_row_e=i;
}
}
if(max_row_e!=j){
SwapRow(m,j,max_row_e,n);//與最大主元所在行交換
}
//消元
for(inti=j+1;i=0;i--){
for(intj=i+1;j

	上述程序運(yùn)行完成之后，終端輸出：2.000000,3.000000,1.000000

	審核編輯：郭婷