濾波器設計中的橢圓函數(shù)

是翻譯自IEEE上關于濾波器設計中所用到的橢圓函數(shù)知識，文章非常經(jīng)典，值得拜讀。限于譯者水平，文中有不少翻譯不恰當?shù)牡胤?，希望讀者提出寶貴意見，批評指正。英文原文見附錄。

摘要

本文簡要介紹了雅可比橢圓函數(shù)(Jacobian elliptic functions)和蘭登變換(Landen transformation)的基本性質(zhì)，將它們與三角函數(shù)和雙曲函數(shù)聯(lián)系起來，從而提供了一個評估橢圓函數(shù)的最準確方法。解釋了橢圓函數(shù)在創(chuàng)建等波紋低通濾波器中的應用，并通過示例說明了它們的數(shù)值計算方法。包括一個用于設計的Fortran程序，并給出了一個更快、更準確的替代Matlab的ellipap函數(shù)的方案。

I. 引言

自1930年代以來，人們就知道在通帶和阻帶中具有等紋波響應的低通濾波器的傳遞函數(shù)可以用雅可比橢圓函數(shù)(Jacobian elliptic function)來精確描述[1]。這種濾波器也被稱作卡爾濾波器(Cauer filter)、橢圓函數(shù)濾波器(elliptic-function filter)，有時干脆被稱為橢圓濾波器(elliptic filter)，最后一個名字不推薦使用，因為它暗示濾波器是蛋形的！它們過去被廣泛用于各種模擬濾波器，現(xiàn)在也經(jīng)常應用于IIR數(shù)字濾波器中。

遺憾的是，很少有工程師在他們的教育過程中接受過任何關于橢圓函數(shù)性質(zhì)的相關課程，并且人們認為他們的數(shù)值計算(如濾波器設計的那樣)既復雜又困難。這也促使了幾位作者設計出無需使用橢圓函數(shù)的設計此類濾波器的方法[2]-[5]。達林頓(Darlington)在文獻[6]、[7]中提供了一種巧妙的方法是將切比雪夫有理分數(shù)改為一系列的變換，最終得到了奇數(shù)階橢圓函數(shù)濾波器的傳遞函數(shù)。

本文章的目的是簡單描述雅可比橢圓函數(shù)的性質(zhì)，以及它們在應用于濾波器問題時與三角函數(shù)和雙曲函數(shù)的關系。在這里并沒有試圖給出該理論在數(shù)學上嚴格和形式化的結果，或者證明；目的只是傳達對這些函數(shù)的一般特性的理解。假定讀者接受了典型的工程本科教育，其中包括復變理論的課程。強烈推薦有興趣想要更詳細地研究該主題的讀者閱讀Neville 的經(jīng)典著作[8]，必須承認這是一本不太適合隨便參考的書。

對雅可比橢圓函數(shù)的討論引出了對蘭登變換的描述，從而引出了非常準確的計算這些函數(shù)的方法。在此背景下，我們展示了如何使用橢圓函數(shù)通過一對參數(shù)方程的方式來定義所需的濾波器響應，其與使用三角函數(shù)來定義切比雪夫濾波器的方式完全相同。最后，我們討論了如何通過蘭登變換計算傳遞函數(shù)零極點的細節(jié)。該論文包括一個用于執(zhí)行設計的Fortran程序和一個數(shù)值示例來說明這些步驟。本文還給出了一個更快、更準確的替代Matlab的ellipap函數(shù)的方法。

II. 周期函數(shù)

A. 單周期函數(shù)

在復數(shù)域下的所有函數(shù)中，橢圓函數(shù)的特點是其雙周期性質(zhì)。在這方面，它們類似于非常常見的單周期初等函數(shù)，但比它們復雜一些。具有周期為的單周期函數(shù)對于所有滿足關系，對于所有整數(shù)也滿足。

基本初等函數(shù)是單周期的，具有虛周期，并且這個虛周期由雙曲函數(shù)和共享，原因是它們只是與的線性組合。將指數(shù)函數(shù)中的替換為會將其轉(zhuǎn)換為具有實周期的單周期函數(shù)，它由三角函數(shù)和共享。

單周期函數(shù)變量的復平面根據(jù)周期性可以看作被分解為無限個寬度為且等于周期值的全等周期帶。對位于這些條帶中的任意點，在每個其他條帶中都會有一個全等點，這樣所有這些點的函數(shù)值都是相同的。和的周期帶寬度為并且無限長，并排平行于虛軸，而和的周期帶形狀與之相同，只是它們平行于實軸，如圖1所示。

圖1 (a) 和(b) 的周期帶

相比之下，函數(shù)和的周期分別為和，因此它們的周期帶的寬度為，而不是。如果，其中是三角或雙曲正弦或余弦，我們會發(fā)現(xiàn)一條寬度為的無限帶，以函數(shù)的零點為中心，即，周期帶的一半，將一一映射到整個-平面上，而如果是正切函數(shù)，則是整個周期帶映射到整個-平面。

B. 雙周期函數(shù)(橢圓函數(shù))

單周期函數(shù)的存在引出了一個問題，即，是否存在具有兩個或更多個不同周期的函數(shù)？不難證明：1)一個函數(shù)不能有三個或更多個周期，2)如果一個函數(shù)有兩個周期，周期的比不可能是實數(shù)；換句話說，周期必須指向復平面中的不同方向，而不是沿著同一條直線上。僅受此限制，我們可以構造一個單值雙周期函數(shù)，其中兩個周期分別是復數(shù)和，因此對于所有和所有整數(shù)和有。

雙周期讓-平面上的所有所構成的無限二維點陣相互關聯(lián)。在這些點周圍可以看到無限個周期平行四邊形陣列，每個平行四邊形的邊分別為和，這樣，對于任何值，網(wǎng)格在平行四邊形中會形成一組全等點。由于點陣可以同樣很好地被或描述，可以取如,和中的任意兩個，很明顯，周期不是很具代表性，這將改變相應周期平行四邊形的形狀，但不會改變面積。

在每個周期內(nèi)，平行四邊形必須至少具有一個奇點，要么就什么都沒有，因此根據(jù)劉維爾定理(Liouville’s theorem)它將是一個常數(shù)。此外，在周期平行四邊形邊界周圍的積分必須為零，因為由于周期性，平行四邊形對邊對積分的貢獻將抵消。因此，根據(jù)柯西留數(shù)定理(Cauchy residue theorem)，平行四邊形內(nèi)奇點處的留數(shù)之和也必須為零。由于具有零留數(shù)的簡單極點根本就不是極點，因此最簡單的橢圓函數(shù)要么有一個具有零留數(shù)的雙極點，要么有兩個具有相等且相反的留數(shù)的簡單極點。

橢圓函數(shù)的復雜性或階數(shù)（order）由包含在周期平行四邊形內(nèi)的極點階數(shù)之和來衡量。我們看到?jīng)]有一階的橢圓函數(shù)，以及兩種不同的二階橢圓函數(shù)。很容易理解，如果是一個橢圓函數(shù)，那么也是，且具有相同的階數(shù)和周期。由此可知，二階橢圓函數(shù)在每個周期平行四邊形中具有一個雙零點或兩個單零點。

魏爾斯特拉斯(Weierstrass)首先描述了一個二階橢圓函數(shù)，每個平行四邊形有一個零留數(shù)的雙極點，并以他的名字命名。它的簡單性使其成為該學科理論的基本工具，也可以用作系統(tǒng)構造每個平行四邊形有兩個簡單極點的二階橢圓函數(shù)的"墊腳石"，魏爾斯特拉斯函數(shù)適當歸一化后就變?yōu)槲覀兯P注的雅可比函數(shù)。對于實際應用，雅可比函數(shù)比魏爾斯特拉斯函數(shù)更有用，而且雅可比函數(shù)的發(fā)現(xiàn)要早了幾十年，它們每個平行四邊形也有兩個簡單的零點以及兩個簡單的極點。

III. 雅可比函數(shù)

就像有六種不同的三角函數(shù)一樣，即正弦、余弦、正切和它們的倒數(shù)，雅可比橢圓函數(shù)有十二種。正如正弦和正切的周期分別為和，所以雅可比函數(shù)也有一組周期與另一組之間相差兩倍的周期，長期以來，標準的做法是用被稱為四分之一周期的量來描述周期，它對橢圓函數(shù)的作用與對三角函數(shù)和雙曲函數(shù)所起的作用相同。

雅可比函數(shù)應用到的實際問題的性質(zhì)通常要求一個四分之一周期是實數(shù)(用表示)，而另一個四分之一周期是虛數(shù)(用表示)，我們將把討論限制在這個特殊但非常重要的實例上。變量復平面第一象限的四個角分別在、、和的矩形稱為基本矩形(the fundamental rectangle)。這個矩形的四個角分別用字母表示，原點(起點, Start，譯注，也可以用相位為0的sin助記)的角是S，對角(Diagonally)的角是D，重合(Coincides，譯注，也可以用相位為的cos助記)于實軸的角是C，垂直(Normal)于實軸的角是N(本描述中的頭韻用作助記符！)，具體排列如圖2所示。

圖2 基本矩形

每個雅可比函數(shù)在這個矩形的一個角處都有一個零點，在另一個角處有一個極點。由于零點可以先放置在4個角中的任何一個，然后將極點放置在其余3個角中的任何一個，所以總共有種可能性；這就是上面所提到的12種不同的雅可比函數(shù)。每個函數(shù)都有一個由兩個字母構成的名稱，其巧妙地表明了他們的零極點組合模式，第一個字母表示包含零點的角，第二個字母表示包含極點的角。因此，如函數(shù)表示在S處具有零，在N處具有極點，以此類推。

然后，12個函數(shù)中的每一個的零極點模式都相當簡單地從基本矩形延伸到復平面的其余部分。每個函數(shù)的極點和零點都排列在相同的基本格點上，即所有整數(shù)和的，并且僅通過格點距原點的位移來彼此區(qū)分。該位移等于基本矩形角處特定函數(shù)的極點或零點的位移。例如，函數(shù)的極點在N，，因此極點集合在，而零點在S，其中，所以零集合位于。三個典型函數(shù)、、的零極點模式如圖3所示。

圖3 a) , b) , c) 的零極點模式

當然，在基本矩形的邊界周圍，從零點到每個雅可比函數(shù)的極點有兩條可能的路徑。一條包含矩形的邊位于正實軸上的路徑，函數(shù)將其映射到整個正實軸上，而另一條路徑將被映射到整個正或負虛軸上?；揪匦芜吔缟系暮瘮?shù)值總是在有極點或零點的角處由實數(shù)變?yōu)樘摂?shù)，反之亦然。這意味著每個雅可比函數(shù)都將基本矩形映射到第一象限或第四象限。

如果我們將變量的整個平面可視化為由與橢圓函數(shù)的基本矩形一致的矩形所覆蓋，并且矩形的角在處，如圖3所示，然后每個這樣的矩形將被映射到-平面的四個象限之一。其中四個矩形的任何其中心處函數(shù)值為零的塊將始終映射到整個-平面上。例如，函數(shù)在原點有一個零，圍繞這個零的四個矩形將映射到整個-平面上，如圖4所示。

圖4 對于，-平面中顯示的四個矩形映射到整個-平面上，每個矩形中的數(shù)字是其映射到的-平面中象限數(shù)字

如果需要，可以將三角函數(shù)的周期指定為函數(shù)的獨立參數(shù)，但對于定義和制表來說，將周期固定為或并讓用戶調(diào)整變量的比例來確定周期會更簡單。同理，雅可比函數(shù)可以將它們的實部和虛部四分之一周期作為兩個獨立的參數(shù)。但是函數(shù)的基本屬性只取決于基本矩形的形狀，而不是其絕對大小，標準做法是用一個參數(shù)來指定這個形狀，讓大小自動調(diào)整以滿足某些規(guī)范化的約束。

雅可比橢圓函數(shù)起源于計算橢圓弧長時使用的積分求逆，并由此衍生出它們的名稱含有橢圓二字。例如，函數(shù)完全由如下積分定義在這個積分中出現(xiàn)的參數(shù)被稱為模數(shù)(不要與表示復數(shù)大小的模長相混淆)，對于我們正在考慮的實際情況，它是滿足的實數(shù)。它通常通過模角確定為。與相關的另外一個量是補模。通常，一個正在待求的函數(shù)的模是已知的，并且不需要在每個函數(shù)出現(xiàn)時明確說明它，但如果必須明確，我們會寫成。

這種定義雅可比函數(shù)的方式不僅會使四分之一周期的比率固定為單個參數(shù)，而且它們的絕對大小也固定，從而實現(xiàn)了所有十二個函數(shù)非常簡單的歸一化。特別是，在原點處具有零或極點的六個函數(shù)(、、、、、)是奇函數(shù)，如果為零點則導數(shù)為1，如果極點則留數(shù)為1. 其余六個函數(shù)(、、、、、)是偶函數(shù)，并且在原點處為1。這種歸一化的另一個結果是，如果表示, , , 中的任意三個，則雅可比函數(shù)滿足公式。、、這三個函數(shù)是雅可比在1827年通過反轉(zhuǎn)橢圓積分獲得的原始函數(shù)，其他九個函數(shù)是1882年由Glaisher引入的，作為前三個函數(shù)的倒數(shù)和商。

如果在(1)中，我們令并注意到，我們得到四分之一周期的一個以模數(shù)的積分表達式，即如果在(2)中將替換為，則所得積分給出而不是。當時，(1)中的積分簡化為函數(shù)的積分，我們得到。由，我們從(2)中看到當時。類似地，當時，(1)中的積分簡化為函數(shù)的積分，我們得到。在這種情況下，當時，(1)中的積分發(fā)散，因此從(2)我們看到當時。通過在(2)中將替換為，我們可以推導出當(并且)和時當(并且)。

三角函數(shù)和雙曲正弦和余弦的平方滿足簡單的線性關系，即從這些可以找到所有剩余的其他三角函數(shù)和雙曲函數(shù)。雅可比函數(shù)具有與這些完全相似的性質(zhì)。它們位于共極點的三個函數(shù)、、中的任意兩個之間。三個經(jīng)典函數(shù)形成這樣一個極點在的集合，并且滿足使用上面給出的性質(zhì)，可以推導出其他三組共極點函數(shù)之間的關系。

最后，我們考慮將雅可比函數(shù)的參數(shù)從更改為的效果，有時稱為雅可比虛變換。這種變換相當于將-平面繞原點旋轉(zhuǎn)，當應用于三角函數(shù)或雙曲函數(shù)時，會將一類函數(shù)的周期帶旋轉(zhuǎn)到另一類函數(shù)的周期帶中。例如，我們得到如下眾所周知的結果對于雅可比函數(shù)的基本矩形，這個圍繞原點的旋轉(zhuǎn)等同于平面圍繞通過原點的線的旋轉(zhuǎn)。然后很明顯，在基本矩形中，實數(shù)和虛數(shù)的四分之一周期和相互交換，對于和也是如此。除了位置互換外，四分之一周期的大小并沒有變化。

基本矩形的這種旋轉(zhuǎn)在其兩個角處帶有極點和零點。因此，在旋轉(zhuǎn)后標記為S或D的拐角處的極點或零點仍將位于這些相同的標記拐角處，但標記為C的拐角處的極點或零點將出現(xiàn)在標記為N的拐角處，反之亦然。因此，在任何如此變換的雅可比函數(shù)的名稱中，我們必須將更改為并將更改為，然后將模數(shù)從更改為。對于三個經(jīng)典函數(shù)，我們得到以下結果：其余九個函數(shù)的結果可以通過這三個函數(shù)的商和倒數(shù)得到。六個奇函數(shù)將包含因子，與函數(shù)一樣，而六個偶函數(shù)將還是保持實數(shù)值，與和函數(shù)一樣。

盡管我們一開始注意到雙周期是所有橢圓函數(shù)的顯著特征，但詳細了解十二個雅可比函數(shù)中的每一個都具有哪些周期對我們目前所討論的內(nèi)容用處不大，讀者可能已經(jīng)推斷出，我們稍后將繼續(xù)深入討論周期是和的和函數(shù)。

IV. 蘭登變換

如果模數(shù)趨于零，則比率將趨于無窮大，雅可比函數(shù)及其周期矩形將分別退化為三角函數(shù)及其周期帶。相反，如果趨于1，將趨于零，雅可比函數(shù)及其周期矩形將退化為雙曲函數(shù)及其周期帶。在三角函數(shù)極限, , 和，而在雙曲函數(shù)極限, ，，。帶撇號參數(shù)和不帶撇號參數(shù)之間完全對稱。

這表明橢圓函數(shù)占據(jù)了從一端的三角函數(shù)到另一端的雙曲函數(shù)的連續(xù)路徑，和作為沿其位置的對稱度量。在路徑的中心，基本矩形是一個正方形，和。蘭登變換是一種通過修改或以使每一步中的比率加倍或減半，并沿此路徑在任一方向上以離散步驟移動的方法。這種變換前后的函數(shù)值的變化在代數(shù)上可以非常簡單地實現(xiàn)。

四或五次連續(xù)變換通常足以滿足設計要求，這樣在濾波器設計中出現(xiàn)的任何實際值移動到橢圓函數(shù)在數(shù)值上達到與極限的三角函數(shù)或雙曲函數(shù)無法區(qū)分的點。三角函數(shù)或雙曲函數(shù)是可以被計算出來的，然后通過計算中間橢圓函數(shù)，并通過連接它們的代數(shù)關系，最終找到所需的橢圓函數(shù)。在濾波器設計中，即使從雙曲函數(shù)端可能需要稍微少一些變換步驟，但從三角函數(shù)端執(zhí)行這個計算會更簡單，這是因為開始計算所需的三角函數(shù)比雙曲函數(shù)更容易找到?？紤]函數(shù)其中，我們將作為變量上的比例因子，以便使基本矩形沿-平面中實軸的邊歸一化而與值無關。公式第一項在處有極點，而第二項在分母中的函數(shù)的零點處有極點。所有這些極點上關于變量的留數(shù)值為。第二項分子中的因子是必需的，因為分母中函數(shù)零點對具有的導數(shù)。因此，整個函數(shù)在處有極點，留數(shù)為。這些正是其模數(shù)被選擇為使其四分之一周期比率的一半的函數(shù)的極點。

給出函數(shù)，其中選擇模數(shù)使得四分之一周期和滿足。使用這個結果，我們看到的極點位于。當時，和都等于1，因此需要一個因子來滿足以下恒等式：具有模數(shù)的函數(shù)是比具有模數(shù)的函數(shù)更遠離三角函數(shù)末端路徑的一個蘭登變換，并且(8)是上面提到的代數(shù)關系。由四分之一周期因子對實現(xiàn)的歸一化以及由變換引起的形狀變化導致模數(shù)的基本矩形恰好占據(jù)模數(shù)矩形的下半部分。

與(8)相同的結果也適用于函數(shù)。和函數(shù)的極點和零點都沿著平行于虛軸的線交錯排列，即平行于三角函數(shù)的周期帶，這使得它們適合從三角函數(shù)端跟蹤路徑。接下來，為了補充(8)中的關系，我們需要知道如何從計算。

這可以通過在以模數(shù)的基本矩形的D角處來評估公式(8)兩側的等式，即在點處。從上面的注解可以看出，模數(shù)矩形的D角僅是模數(shù)矩形中從C角到D角的邊的一半。函數(shù)在其D角處的值等于其模數(shù)，而從C到D中間的值等于模數(shù)的平方根。使用這些信息，我們發(fā)現(xiàn)(8)在這個值下減少到。

為了以更適合以計算的形式來組織符號，我們用和分別表示橢圓函數(shù)的模數(shù)和四分之一周期，這些橢圓函數(shù)是個連續(xù)向三角函數(shù)端的蘭登變換，其中是一個整數(shù)，對應于所求函數(shù)。在這種表示法中，上面的結果變?yōu)?span>將(9)求逆得到關于的一個二次方程，其兩個根互為倒數(shù)。因為要小于1，我們必須在這里選擇較小的那個值，它可以寫成數(shù)值計算穩(wěn)定的形式(10)中的遞推生成一個模數(shù)序列，隨著的增加迅速趨于零，當模數(shù)小于時終止，其中是小數(shù)位數(shù)。請注意，模數(shù)大小的減小不是通過減法來實現(xiàn)的，而是通過除法和平方來實現(xiàn)的，這可能會對數(shù)值精度產(chǎn)生除了通常的舍入影響外的不利影響，整個序列將保持完整的位數(shù)字精度。

雖然只有十二個雅可比函數(shù)中的兩個，即和，可以從三角函數(shù)端回溯，其他十一個函數(shù)中的任何一個都可以通過使用從(4)導出的關系從而可以從這兩個中的任何一個求解。幸運的是，濾波器問題主要使用或，它們只需要依據(jù)對應函數(shù)的倒數(shù)來求解。另外函數(shù)是函數(shù)移動了四分之一周期，即。在新表示法中，和函數(shù)都滿足(8)的重寫版本，即與(8)中一樣，所有橢圓函數(shù)的參數(shù)都表示為適當四分之一周期的某個分數(shù)，這里用a表示。這對于濾波器應用來說特別方便，因為幾乎所有需要的橢圓函數(shù)都有這樣的參數(shù)自然地顯示為四分之一周期的固定分數(shù)。因此當路徑接近三角函數(shù)的末端時，這個參數(shù)的極限值是，式(11)中的遞歸從開始。的與之類似的過程將從開始。

如果我們將橢圓函數(shù)轉(zhuǎn)換為路徑末端是雙曲函數(shù)，那么用于跟蹤橢圓函數(shù)的是，而不是。我們再次將整數(shù)下標附加到模數(shù)和四分之一周期以指示在向雙曲函數(shù)末端進行次蘭登變換后獲得的值。不應與前面描述的下標混淆，因為我們不會同時使用兩條路徑。

與從三角函數(shù)端開始的路徑一樣，從雙曲函數(shù)端只能尋得兩個雅可比函數(shù)。這些是和函數(shù)，它們的極點和零點沿著平行于實軸的線交錯排列，即平行于雙曲函數(shù)的周期帶。或公式的推導，對應于(8)，幾乎遵循相同的套路，但有一點不同，現(xiàn)在，用于模數(shù)的-平面中的基本矩形必須占據(jù)用于模數(shù)的矩形的左半部分(而不是下半部分)。這需要選擇，使得，并在左側的變量上用一個因子代替。與的相鄰值相關的公式與(10)中的相同，并且是這與增加的方式與前述完全相同，就像(10)中的一樣，序列以相同的方式終止。

與函數(shù)的(11)對應的是函數(shù)的遞歸方式函數(shù)的遞歸與之前唯一不同點只是在方括號內(nèi)的兩主項之間的符號。

在三角函數(shù)的末端具有極限值，因此起始三角函數(shù)具有簡單的參數(shù)。但是，在雙曲函數(shù)的末端，趨于無窮大，只有具有唯一的極限值。因此，起始雙曲函數(shù)的參數(shù)是乘以這個極限值。如果我們采用次變換來達到與雙曲函數(shù)的數(shù)值相等，我們必須首先使用例如以下近似值來計算，該近似值源自函數(shù)[8]的理論，當非常小時，有然后，(13)中遞歸的起始雙曲函數(shù)是我們通過展示尋找函數(shù)值的步驟來說明這些計算方法，首先從三角函數(shù)端開始，然后從雙曲函數(shù)端開始。整個過程都使用了相當于14位小數(shù)的雙精度計算。表I顯示了從三角函數(shù)端計算所涉及的量。為了簡化顯示，只給出了所用14位數(shù)字中的前十位。五次變換足以將模數(shù)減小到小于，并且在表中與這個最小模數(shù)相鄰的是，它是起始的三角函數(shù)。在通過(11)跟蹤到之后，我們得到相應的函數(shù)值。其倒數(shù)是。

表II顯示了從雙曲函數(shù)端的類似計算。這里還需要五次遞歸來將補模降低到以下。在這個階段，我們使用(14)找到實際四分之一周期然后除以得到。其值的三分之一作為函數(shù)的參數(shù)代入，得到的值放入與最小的補模相鄰的位置上。然后使用(13)將函數(shù)遞歸到，并通過(4)找到想要的函數(shù)，重新寫作為. 這給出了與之前從三角函數(shù)端計算的函數(shù)相同的值，到14位小數(shù)精度。

V. 橢圓函數(shù)濾波器

在電子濾波器發(fā)明之后的前半個世紀里，設計師使用了一種似乎是描述其行為的最自然的方式，即輸入/輸出傳遞函數(shù)。但是，隨著使用輸出/輸入傳遞函數(shù)的系統(tǒng)理論的發(fā)展，濾波器設計者被說服(委婉地說)采用相同的慣例，例如，我們現(xiàn)在將純無源濾波器的響應繪制為增益，以分貝(dB)為單位，所有縱坐標均為負值！我們無意在此爭論這兩種選擇的優(yōu)點，而只是指出在本文中我們使用輸入/輸出傳遞函數(shù)來描述行為(譯注，本文使用了傳統(tǒng)的插入損耗，全部是正值，和我們平?？吹降臑V波器頻響曲線上下顛倒)。

我們希望討論的低通濾波器，在通帶中損耗具有等紋波響應，在阻帶中具有等最小值響應，這可以看作是通帶中的損耗是等紋波并且在阻帶中單調(diào)遞增的切比雪夫濾波器的推廣。為了使前者的描述更容易理解，我們先分析切比雪夫濾波器，然后由簡入繁的逐步推廣到橢圓函數(shù)濾波器。

我們由三個復變量、和所構成的參數(shù)方程來定義歸一化的切比雪夫濾波器其中是峰峰值幅度的等紋波通帶損耗且。當然，可以聯(lián)立(16a)和(16b)消掉參數(shù)并最終得到一個包含切比雪夫多項式的方程，但以這種形式進行分析更加困難。在這里使用代替單個參數(shù)變量，以便能夠在稍后作為雅可比四分之一周期出現(xiàn)因子。整數(shù)定義為多項式的階數(shù)，并滿足(16a)中余弦的周期帶寬度是(16b)中余弦周期帶寬度的，因此前者周期帶的倍恰好和后者并排重合。

為了找到濾波器的自然頻率，即的零點，我們令(16a)為零并求解以獲得的相應值。然后將這些代入(16b)以獲得和的所需值，令(16a)為零，得到要使成為復數(shù)，那么必須是位于-平面中映射到余弦平面的虛軸上的那些線上。這些是平行于-平面中虛軸的線，實軸值為。因此，如果，有或對于這些的值因此從(18)我們可以讓對右側取負值會使有與(21)完全相同的一組零點。從這些我們必須提取位于-平面左半部分的那些以獲得的零點，對于求解(21)給出令我們得到自然頻率的表達式為由于是一個多項式，它在處有一個階極點。

要將切比雪夫濾波器推廣到橢圓函數(shù)濾波器，只需將(16)中出現(xiàn)的余弦函數(shù)更改為與它們等價的橢圓函數(shù)。但是我們發(fā)現(xiàn)有兩個不同的橢圓函數(shù)和，當時，它們的極限都是退化為同一余弦函數(shù)，讓我們的應用變得清晰的唯一正確選擇是考慮通過式(16b)映射到正實軸的-平面的路徑。實軸映射到通帶，而虛軸映射到阻帶。-平面中的原點是將等波紋通帶與單調(diào)遞增阻帶分隔點(譯注，即所謂的3dB截止頻率點)。切比雪夫濾波器本身沒有明確的過渡帶，與阻帶不同，盡管它必須滿足的指標中通常包括有一個。

另一方面，橢圓函數(shù)濾波器在等波紋通帶和等最小阻帶之間確實有一個顯式過渡帶，這需要在-平面上映射到具有對應于通帶、過渡帶和阻帶的三個不同段的正實軸上，只有函數(shù)可以做到這一點。圍繞基本矩形的路徑，從C處的零點到D處的極點，映射到函數(shù)的正實軸，穿過矩形的三個邊，然后可以將它們設置為對應于三個所需的帶。

我們首先定義濾波器方程，然后再解釋它們之間的關系，他們是其中和是與(25b)中的與模數(shù)相關的四分之一周期，而和類似與(25a)中的模數(shù)相關。如前所述，整數(shù)定義為有理函數(shù)的階數(shù)(degree)，通帶紋波由(17)給出。

(25b)的-平面中基本矩形的邊界到-軸的映射如圖5(a)所示，它表示值與矩陣角的關系，角的三條邊分別對應于通帶、過渡帶和阻帶。對于切比雪夫濾波器和橢圓函數(shù)濾波器，由于在變量中包含了四分之一因子或，歸一化的通帶映射到相同的范圍。阻帶的邊緣在，這定義了模數(shù)。

另一個橢圓函數(shù)的模是通過滿足(25c)中所規(guī)定的四分之一周期條件的需要而隱式選擇的。這種情況導致的基本矩形的形狀和大小(在變量中)必須滿足個這樣的矩形可以精確地并排重合于。圖5(b)顯示了對于的情況，的零極點模式和函數(shù)值如何疊加在的基本矩形上。

圖5 在條件下, (a) 和 (b) 在-平面上的映射

正是通過選擇來滿足(25c)，以及由此產(chǎn)生的兩個基本矩形的簡單幾何關系，使得成為的有理函數(shù)，正如是中的多項式一樣。請注意，當趨于零時，也趨于零，然后(25a)和(25b)分別退化為(16a)和(16b)。這將使橢圓函數(shù)濾波器在極限條件下轉(zhuǎn)化為切比雪夫濾波器。事實上，橢圓函數(shù)濾波器的過渡帶，而不是它的阻帶，在這個極限下變成了切比雪夫濾波器的阻帶。

要找到的自然頻率，我們使用與切比雪夫濾波器相同的方法，令(25a)為零，得到為了使是虛數(shù)，必須位于-平面中映射到函數(shù)為虛軸的那些線上。這些是平行于-平面中虛軸的線，它們穿過的極點和零點，并且在實軸上的值為，因此或這正是切比雪夫濾波器在(19)中所找到的值?？墒褂?6)直接推廣(20)，得到所以由(26)我們可以取這和式(21)對應。

下面我們通過一系列蘭登變換將(25)中的橢圓函數(shù)及其參數(shù)變換到蘭登鏈的三角函數(shù)末端。我們首先使用(10)生成模量的降序序列，并在橢圓函數(shù)與三角函數(shù)在數(shù)值上無法區(qū)分時以終止。然后我們創(chuàng)建對應的序列。然而，我們沒有顯示地給出，只有它與(25c)隱含的與的關系。當后者在次蘭登變換后可以看到，和將在處相等，因此(25c)簡化為正如我們可以使用(14)在雙曲函數(shù)端從計算，所以當非常小時我們可以使用(14)的補從三角函數(shù)端的中找到。在一些簡單初等代數(shù)計算后后，得到根據(jù)的這個值，我們可以使用遞歸式(9)將序列后向構造到，得到對于較大的值，(31) 可能會生成一個小于浮點運算下限(非零)的，因此無法通過(32)計算的蘭登鏈。如果發(fā)生這種情況，可以從計算，甚至可能是。這為提供了比更短的蘭登鏈，并反映了與相比減小了的大小。在這些非常小的值下，可以安全地用統(tǒng)一替換為，然后(32)簡化為，將其代入(31)得到和一旦我們有了，我們可以使用(25a)中函數(shù)在阻帶損耗最小處的值等于的事實，通過公式求得損耗為計算出模數(shù)和的兩個序列后，剩下的任務就是找到的零點和極點。我們首先考慮復零點的稍微復雜的情況。蘭登變換被描述為通過(11)中的遞歸從實數(shù)極限三角函數(shù)值中獲得實數(shù)橢圓函數(shù)的值。但這些都是解析函數(shù)，因此遞歸也適用于這些函數(shù)的復數(shù)也就不足為奇了。我們只需要為正確的切比雪夫濾波器找到的復數(shù)值，如(24)所示，并通過(11)將函數(shù)的倒數(shù)從模數(shù)轉(zhuǎn)換回模數(shù)。這些變換的最終結果的倒數(shù)便給出了想要的自然頻率。

切比雪夫濾波器由兩個參數(shù)定義，階數(shù)和控制通帶波紋大小的量。顯然，正確的切比雪夫濾波器的階數(shù)將與所需橢圓濾波器的階數(shù)相同，但兩個濾波器的通帶紋波幅度表明彼此之間略有不同。原因在于(29)，它表明橢圓函數(shù)濾波器的值本身等于一個橢圓函數(shù)，當系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為三角函數(shù)鏈的末端。我們必須考慮在這個過程中如何修改的給定值。

我們首先寫出(29)的倒數(shù)，并在的給定值上附加一個下標零，以準備生成一系列值，就像我們對和所做的那樣：在完整的蘭登變換鏈中，模為的橢圓函數(shù)在處歸結為三角函數(shù)，在處歸結為雙曲函數(shù)。但是對于模為的橢圓函數(shù)，情況正好相反；當時，它們將簡化為雙曲函數(shù)，因為那時。因此，當我們將(25)的主要橢圓函數(shù)轉(zhuǎn)換為末端為三角函數(shù)蘭登鏈時，我們必須意識到出現(xiàn)在(35)中的函數(shù)，其模為，實際上將是雙曲函數(shù)的終點。

從雙曲函數(shù)端跟蹤函數(shù)的遞歸在(13)中給出，但不同的是這里的模是，而不是，所以這兩個量所起的作用是互換的。因此，從到跟蹤它的(代替它所代表的橢圓函數(shù))的遞歸將是但是我們從開始，想要，而不是相反，所以我們必須求(36)的逆，得到其中在大多數(shù)情況下，從到的值變化非常小，并且(37)中的遞歸經(jīng)常被省略。切比雪夫濾波器中的通帶紋波大小簡單地等于橢圓函數(shù)濾波器的指標值，然后最終得到的紋波大小比設計的要小一些。紋波的精確幅度通常不是很關鍵。

下一步是使用(24)找到切比雪夫濾波器的自然頻率，的值從(37)中找到。函數(shù)在(11)中的遞歸涉及倒數(shù)的值，如(25b)中所定義，并且必須修改為倒數(shù)的遞歸。這只需要改變最后一項的符號。因此，如果是典型復自然頻率的倒數(shù)，從作為切比雪夫濾波器的倒數(shù)，我們得到遞歸的倒數(shù)是橢圓函數(shù)濾波器的相應自然頻率或零。

的極點，即無限損耗的頻率，位于軸上，值由下式給出其中表示的整數(shù)部分。我們使用(11)計算的值，起始三角函數(shù)值為，然后除以模數(shù)。當為奇數(shù)時，在無窮遠處會有的一個極點。

圖6給出了用于執(zhí)行上述所有計算的Fortran程序（譯注，圖略）。所有浮點變量，無論是實數(shù)還是復數(shù)，都是雙精度的，并且已被選擇以盡可能地反映文本中使用的變量。Matlab 信號處理工具箱中提供了一種非常流行的、用于設計橢圓函數(shù)濾波器的商用程序，其函數(shù)名為“ellipap”。上述設計方案以階數(shù)、通帶波紋和橢圓模量作為起始參數(shù)，而Matlab程序使用、和阻帶最小損耗。用(17)和(35)可以很容易地從和計算，但是在濾波器設計開始之前，我們必須得到定義了主橢圓函數(shù)的模數(shù)。

Matlab程序首先通過算術-幾何平均值AGM從中找到兩個四分之一周期和。然后使用優(yōu)化程序找到，使其四分之一周期和滿足(25c)。另一個優(yōu)化程序步驟用于找到滿足(29)的。參數(shù)和模數(shù)的、和函數(shù)是通過經(jīng)典算術-幾何平均方法計算的，的極點幾乎可以直接從這些中找到(39)。

最后，通過的加法定理得到的復零點，其中如式(27)；達林頓在他的方程(65)中對此進行了描述[1]。這兩個優(yōu)化步驟相當耗時，并且按照預先設定，將Matlab計算的極點和零點的精度限制為四位或五位。

我們所描述的設計方案，使用帶有作為給定參數(shù)的蘭登變換，只需進行微小的更改即可接受來代替. 就像在 Matlab 程序中一樣從和計算，然后形成的蘭登鏈，終止于剛好高于浮點算術下限的值。通過(31)從中找到，的蘭登鏈使用(32)反向計算到，其中替換。因此，和的蘭登鏈與以開頭的版本一樣可用，而設計的其余部分保持不變。

這種方法以作為起始設計參數(shù)，是在 Matlab 中編程的。該程序(M 文件，ellipap1.m，在圖 7 中給出)(譯注，圖改代碼如下，盡管這是20多年前的代碼，和現(xiàn)在最新Matlab代碼ellipap2比還有約6倍的優(yōu)勢！Matlab代碼中是找不到ellipap1的，貌似是對這篇文章致敬)是“ellipap”的直接替代品，但不需要其他子程序，其運行時間比“ellipap”短約80倍，并給出零極點的全精度浮點運算。

% ELLIPAP1 Elliptic analog lowpass filter prototype. % [Z, P, K] = ELLIPAP1(N, Rp, Rs) returns the zeros, poles, and gain % of an N-th order normalized prototype elliptic analog lowpass % filter with Rp decibels of ripple in the passband and a % stopband Rs decibels down. % % This program is a faster and more accurate replacement for % the standard Matlab program ELLIPAP. % % Authors: H. J. Orchard and A. N. Willson, Jr., 9-25-95 % Copyright (c) 1995 % % Reference: % [1] H. J. Orchard and A. N. Willson, Jr., "Elliptic Functions % for Filter Design," IEEE Transactions on Circuits and % Systems-I: Fundamental Theory and Applications, April 1997. function [z, p, k] = ellipap1(n, rp, rs) % special case; for n == 1, reduces to Chebyshev type 1 if n == 1 z = []; p = -sqrt(1/(10^(rp/10)-1)); k = -p; return end dbn = log(10)/20; no = rem(n,2); n3 = (n-no)/2; apn = dbn*rp; asn = dbn*rs; e(1) = sqrt(2*exp(apn)*sinh(apn)); g(1) = e(1)/sqrt(exp(2*asn) - 1); v = g(1); m2 = 1; while v>1e-150 v = (v/(1 + sqrt(1 - v^2)))^2; m2 = m2 + 1; g(m2) = v; end for index = 0:10 m1 = m2 + index; ek(m1) = 4*(g(m2)/4)^((2^index)/n); if(ek(m1)<1e-14), break, end end for en = m1:-1:2 ek(en-1) = 2*sqrt(ek(en))/(1+ek(en)); end % compute poles and zeros for en = 2:m2 a = (1+g(en))*e(en-1)/2; e(en) = a + sqrt(a^2 + g(en)); end u2 = log((1 + sqrt(1 + e(m2)^2))/e(m2))/n; z = []; p = []; for index = 1:n3 u1 = (2*index - 1)*pi/(2*n); c = -1i/cos(-u1+1i*u2); d = 1/cos(u1); for en = m1:-1:2 c = (c - ek(en)/c)/(1 + ek(en)); d = (d + ek(en)/d)/(1 + ek(en)); end af(index) = 1/c; df(index) = d/ek(1); p = [conj(af(index));af(index);p]; z = [-df(index)*1i;df(index)*1i;z]; end if no == 1 a = 1/sinh(u2); for en = m1:-1:2 a = (a - ek(en)/a)/(1 + ek(en)); end p = [p; -1/a]; end % gain k = real(prod(-p)/prod(-z)); if ~rem(n,2) k = k/sqrt(1 + epsilon^2); end end

是否使用或作為起始參數(shù)取決于個人喜好。階數(shù)必須是整數(shù)的事實意味著滿足指標的的最小值通常會提供一些性能余量，這些余量應該留在、和中。如何最好地做到這一點需要一些工程判斷，并且無論采用何種參數(shù)選擇策略，設計者都需要多次運行程序才能在設計中實現(xiàn)該余量的最佳選擇。

VI. 數(shù)值示例

我們以一個典型的7階濾波器作為我們的數(shù)值實例，通帶紋波為0.1 dB，歸一化的阻帶邊緣頻率為。這給出了模，這與我們在第IV節(jié)中蘭登變換的說明中所使用的值相同。表III首先給出了的值，通過使用(10)找到和表I中一樣的值。

通過式(31)我們可以由找到，其中。然后使用(32)計算的值，從開始，并在表III的列旁邊給出。是從規(guī)定的通帶波紋中找到的，以dB為單位，通過求解(14)得到，其公式為當較小時，(40)中的減法會導致一些精度損失?？梢酝ㄟ^以下技巧避免這種情況。我們通過乘以將從其以分貝(decibel, dB)為單位的給定值改為以奈培(neper)為單位的等效值，現(xiàn)在用表示這個量，更準確的表達式是，然后有在這里(40)中的減法發(fā)生在雙曲正弦內(nèi)部，并且的大多數(shù)子例程將返回完全準確的函數(shù)值，而不管的大小。使用的值，現(xiàn)在可以使用(37)計算表III中列。從該列可以看出，已經(jīng)達到了限制值。這種行為對于大多數(shù)濾波器來說是相當?shù)湫偷?。只有當條件變?yōu)樾枰鄬^大的值(例如，低階和小阻帶損耗)時，我們才會發(fā)現(xiàn)的變化更大。一旦我們有了橢圓函數(shù)濾波器的和的值，就可以找到(34)所給出的最小阻帶損耗，這里是55.43 dB。

下一個主要步驟是計算橢圓函數(shù)濾波器的復自然頻率。我們首先使用的極限值和(22)–(24)中的公式找到七階切比雪夫濾波器的自然頻率。表IV給出了-平面上半部分的值，然后使用式(38)和表III中的，將這些復零點的倒數(shù)一次一個地追溯到模數(shù)為0.8的橢圓函數(shù)。表V中僅顯示了一個零點的倒數(shù)(表IV中時的倒數(shù))的所有這些中間步驟顯示為復。此列中的倒數(shù)是表VI中標記為列中顯示的所需橢圓函數(shù)濾波器的-平面上半復零點的條目。其他零點(包括一個實數(shù)零點)的計算以完全相同的方式進行。

最后，(39)中給出的極點的實值是通過使用(11)將轉(zhuǎn)換為，然后除以0.8來計算的。時的極點計算中間步驟如表V右側所示。它以開始并以結束。這個量除以0.8就是表VI中的。以同樣的方式可以找到其他極點。

讀者可能有興趣將上述計算中的步驟與Gazsi在他的示例4中給出的步驟[7]進行比較。這也適用于7階濾波器，其中dB和。他論文的最終目標是IIR數(shù)字濾波器，但他必須首先在域中設計模擬濾波器。他的計算是針對達林頓描述的設計方法[6]，該方法是基于切比雪夫有理分數(shù)的遞歸。頻率被歸一化為通帶和阻帶邊緣頻率的幾何平均值，而不僅僅是通帶邊緣，這從理論的角度來看很好，但在實際中是個麻煩。這在一定程度上解釋了Gazsi變量和的出現(xiàn)，而不是使用和。

乍一看，達林頓遞歸似乎只不過是另一種形式的蘭登變換。但是進一步研究表明，這是一種更通用的方法，專門用于橢圓函數(shù)的情況，并且它的一些公式(但不是全部)與蘭登變換的公式略有不同。然而，該方法的更大通用性并未用于允許橢圓函數(shù)濾波器的任何推廣。達林頓指出他的方案僅限于奇數(shù)階濾波器，盡管它可以很容易地擴展到偶數(shù)階的情況[9]。所涉及的精度和編程量與此處描述的橢圓函數(shù)的經(jīng)典方法大致相同。后者對任何正整數(shù)階都同樣適用。

VII. 替代計算方法

盡管前面的部分已經(jīng)可以根據(jù)蘭登變換描述了所有需要的計算，但如果沒有提及用函數(shù)的替代方法，這篇教程論文將是不完整的，事實證明，該方法已引起了幾位作者的注意。函數(shù)是整函數(shù)(integral functions)，即，其孤立奇點(singularities)在無窮遠處的解析函數(shù)。多項式是整函數(shù)的最簡單示例，具有有限數(shù)量的零點。函數(shù)是一個稍復雜的例子，它有無窮多個零，沿實軸均勻分布。函數(shù)更復雜一點，因為它們有一個雙周期的零陣列，其值覆蓋了整個復平面。對于所有整數(shù)和，這些零點在處，正如在第III節(jié)中描述的雅可比函數(shù)的極點和零點一樣。

與之前一樣，參數(shù)可以采用與基本矩形的角S、C、N和D相對應的四個值中的任何一個，這會引導我們按照Neville在[8]中表示的四個不同的函數(shù)那樣得到、、和。函數(shù)在原點處為零，并且那里的導數(shù)為1。其他三個函數(shù)在基本矩形的其他三個角之一處都有一個零點，由其下標指定，并且在原點處具有一個常數(shù)值1。文獻中出現(xiàn)了θ函數(shù)的各種歸一化，但劉維爾給出的上述似乎是最合乎邏輯的。然后，如果和表示、、、中的任意兩個，則雅可比函數(shù)。

即使函數(shù)具有雙周期的零點模式，它們作為整函數(shù)也不能是雙周期的。然而，它們可以是單周期的，并且在經(jīng)典形式中，它們沿著實軸排列。這允許它們由傅里葉級數(shù)表示，奇函數(shù)使用傅里葉正弦級數(shù)表示，以及其他三個偶函數(shù)使用傅里葉余弦級數(shù)表示，這些正弦或余弦的系數(shù)僅僅是的整數(shù)冪，如下所示它將函數(shù)稍微間接地關聯(lián)到橢圓函數(shù)的模上。對于實數(shù)且，也有實數(shù)且。對于濾波器設計中的大多數(shù)實際值，例如，小于0.23。的冪，即第項的系數(shù)，是或，這于小值相結合，導致函數(shù)的傅里葉級數(shù)極快地收斂。

我們通過給出其中一個函數(shù)的級數(shù)來說明函數(shù)的典型形式，即其中。如果我們將橢圓函數(shù)變量設置為，如在第三節(jié)的(11)所示，傅立葉級數(shù)的基本參數(shù)變?yōu)?span>。這展示了與從三角函數(shù)端的蘭登變換中出現(xiàn)的四分之一周期的固定分數(shù)相同的值。

濾波器指標通常規(guī)定模數(shù)，而不是，因此后者必須首先從中求解，可以通過下式得到這大約需要與計算值的蘭登鏈一樣多的計算量。

此后，找到由給出的的極點，如(39)所示，無論使用蘭登變換還是函數(shù)，都需要付出相同的努力，因為這些量都是實數(shù)。正是由于在復自然頻率的計算，蘭登變換顯示出其優(yōu)越性，使用(38)，對于自然頻率的倒數(shù)具有復值，它可以像跟蹤極點的實數(shù)值一樣容易地用復數(shù)算法從切比雪夫濾波器跟蹤到橢圓函數(shù)濾波器。在函數(shù)方法中，還沒有發(fā)現(xiàn)可以直接計算復自然頻率的相應可能性。取而代之的是，必須生成許多實橢圓函數(shù)，包括一個實數(shù)自然頻率的特殊情況(或偶數(shù)階情況的等效)，并通過使用函數(shù)的加法定理找到復自然頻率，類似于達林頓(Darlington)在[1]中給出的一樣。

對函數(shù)方法的細節(jié)第一個主要參考可以在1957年由達林頓在貝爾實驗室的同事格羅斯曼(Grossman)在[10]中的一篇論文中找到。這項工作僅描述了奇數(shù)階濾波器的情況，這在當時被認為是模擬濾波器所必需的。在Antoniou的一本書[11]中，它已經(jīng)被推廣到涵蓋所有整數(shù)階，這是數(shù)字濾波器的要求，它提供了一個很好的、易于理解的計算步驟。

Amstutz的另一篇論文[12]討論了LC梯形濾波器的完整設計，其中包括關于橢圓函數(shù)及其計算的部分。在這里，作者對雅可比函數(shù)進行縮放以給出一個函數(shù)，其定義為這使得有一個恒定的虛四分之一周期和一個實四分之一周期，他們分別代替的和。該修改在處理濾波器逼近問題方面具有一些優(yōu)勢，盡管其復雜性是否值得處理非標準橢圓函數(shù)是讓人懷疑的。

通過使用的無限乘積，可以計算損耗的極點和復自然頻率的所有實橢圓函數(shù)，這相當于在虛軸方向上布置周期的函數(shù)，如[13]中所示。如上所述，然后通過加法定理找到復自然頻率。蘭登變換被簡單地提及，但不清楚它是與的無限乘積一起使用還是代替之。

使用當今的計算機，通過蘭登變換或任何這些替代方法計算極點和零點所花費的時間幾乎可以忽略不計，并且兩者都可以在浮點尾數(shù)的最后一位小數(shù)位提供幾個單位的精度。在過去的50年中，其中一位作者嘗試了幾乎所有計算橢圓函數(shù)的方法，在對函數(shù)[13]產(chǎn)生了最初的熱情之后，最終還是決定采用蘭登變換。因此，編寫這些函數(shù)的當前描述是為了自然地引導通過蘭登變換對其進行評估，然后將它們用于創(chuàng)建等波紋傳遞函數(shù)。目的是提供對雅可比函數(shù)原理的一些理解，而不是“菜譜”式的計算方法。

VIII. 結論

十二個雅可比橢圓函數(shù)被認為是最簡單的雙周期函數(shù)，其參數(shù)稱為模數(shù)，用于控制其周期行為。在實際應用中，模數(shù)是實數(shù)，介于0和1之間。當它為0時，橢圓函數(shù)退化為六個單周期三角函數(shù)之一，而當它為1時，它們退化為六個單周期雙曲函數(shù)之一。雅可比橢圓函數(shù)的許多性質(zhì)是這些基本函數(shù)之間眾所周知的關系的簡單推廣。

對于模數(shù)的任何值，雅可比橢圓函數(shù)被可視化為位于一條路徑的某個位置，該路徑一端為三角函數(shù)而另一端為雙曲函數(shù)。蘭登變換允許人們沿著這條路徑以離散的步驟移動，并且在這樣的步驟前后，與函數(shù)值及其模數(shù)關聯(lián)起來的公式非常簡單。將具有典型模量的橢圓函數(shù)轉(zhuǎn)換到在數(shù)值上與三角函數(shù)無法區(qū)分的點，只需四到五個步驟，然后可以通過將這個三角函數(shù)的值沿這條路徑逐步轉(zhuǎn)換回模數(shù)具有所需值的位置來計算橢圓函數(shù)。編制這些計算的程序既簡單又準確。這些計算的工具已經(jīng)被數(shù)學家改進了150多年，并且目前已知沒有更簡單或更好的方法來計算此類濾波器設計中所需的函數(shù)。