如何運(yùn)用波特圖的力量來確保電路穩(wěn)定性

在1930年代，Hendrik Wade Bode創(chuàng)造了一種直觀的增益/相位方法，以電路的穩(wěn)定性為唯一目標(biāo)。這變成了現(xiàn)在所謂的波特圖，一種直觀地圖形顯示電路或放大器的增益、相位和反饋系統(tǒng)隨頻率的變化。

鑒于其有用性和重要性，讓我們花一些時(shí)間應(yīng)用波特穩(wěn)定性分析技術(shù)來研究開環(huán)放大器和電路反饋因子大小，單位為分貝（dB）和相位響應(yīng)（以度為單位）。本博客將探討這些概念，并建議當(dāng)您的主要目標(biāo)是頻率穩(wěn)定性時(shí)如何避免設(shè)計(jì)“鶯鶯”電路。

要練習(xí)此技術(shù)，您可以從在線Digi-Key 創(chuàng)新手冊中的資源下載波特圖的可打印版本。

單極波特圖

單極電路的配置允許直流V在直接轉(zhuǎn)到 V 的信號(hào) 外 ，而在較高的輸入頻率下，V外等于零分貝 （dB）。波特圖的構(gòu)造很簡單。y 軸單位是對數(shù)頻率，線性 x 軸是以分貝為單位的增益或以度為單位的相位。在設(shè)計(jì)波特圖時(shí)，您可以應(yīng)用大量公式，但讓我們切入快速求解方法。

波特圖的簡單之處在于，繪制圖形只需要一個(gè)直邊工具和一些規(guī)則的知識(shí)（圖 1）。

圖 1：說明幅度和相移的單極點(diǎn)波特圖使用直線來說明電路的頻率和相位響應(yīng)。（圖片來源：邦妮·貝克）

圖1中的兩個(gè)曲線表示單極點(diǎn)電阻/電容對的頻率與增益和相位的關(guān)系。頂部和底部圖的 x 軸頻率范圍為 1 赫茲 （Hz） 到 10 兆赫茲 （MHz）。頂部圖 y 軸范圍為 0 分貝 （dB） 到 100 dB，1 Hz 信號(hào)值等于 100 dB。該值與 100，000 x V 的增益因數(shù)一致 在 .藍(lán)色曲線是單極點(diǎn)在f處的增益響應(yīng)P或 100 Hz，其中 R 等于 159 千歐姆 （kΩ），C 等于 10 納法拉 （nF）。

當(dāng)頻率超過極點(diǎn)頻率（f P ），藍(lán)色曲線以 -20 dB/十倍頻程或 -6 dB/倍頻程速率下降。該衰減率是要記住的第一個(gè)波特圖經(jīng)驗(yàn)法則：電路中的每個(gè)極點(diǎn)都以-20 dB/十倍頻程的速率下降，從極點(diǎn)頻率開始。因此，如果兩個(gè)極點(diǎn)衰減 V外在相同的頻率范圍內(nèi)，衰減率為-40 dB/十倍頻程。

圖1底部圖表示該單極點(diǎn)電路的相位。在 1 Hz 時(shí)，R/C 網(wǎng)絡(luò)的相位為 0 度 （°）。在十年前 f P ，或在本例中為 10 Hz，單極相位開始以 -45°/十倍頻程下降，朝其 -90° 目標(biāo)方向下降。

有幾條規(guī)則適用于極點(diǎn)的相位響應(yīng)。極點(diǎn)電路的第二個(gè)波特圖經(jīng)驗(yàn)法則是相位在f處等于-45° P .第三和第四個(gè)波特圖規(guī)則描述了衰減和完成的相位點(diǎn)。單極相位在極點(diǎn)頻率前十年開始下降（f P ），最終在十年后安定下來。P在-90°。

單零波特圖

單零波特圖反映了單極波特圖的相反規(guī)則。R和C的位置以相同的值切換，以防止DC V在電壓，同時(shí)允許更高的頻率通過電容器（圖 2）。

圖 2：說明幅度和相移的單零波特圖。（圖片來源：邦妮·貝克）

當(dāng)頻率增加超過 f 時(shí) Z ，藍(lán)色曲線以 +20 dB/十倍頻程上升。圖2底部圖表示該單零電路的相位。在十年前 f Z ，單零相位開始以+45°/十倍頻程的速度上升，達(dá)到其+90°目標(biāo)。零回路相位在 f 時(shí)等于 +45° Z .

為了總結(jié)圖1中的值，極點(diǎn)位置為f P ，以及f之后的增益幅度P具有 -20 dB/十倍頻程斜率。該相位的斜率為-45°/十倍頻程，通過f P ，相位在 0.1x f 處開始衰減P并在 10 x f 時(shí)穩(wěn)定至 -90° P .為了總結(jié)圖 2 中的值，零位置為 f Z ，以及f之后的增益幅度Z具有 +20 dB/十倍頻程斜率。該相位具有 +45°/十倍頻程斜率，通過 f Z ，相位在 0.1 x f 處開始衰減Z并在 10 x f 時(shí)穩(wěn)定至 +90° Z .

放大器開環(huán)波特圖

標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)算放大器（op-amp）產(chǎn)品的頻率操作可以在從亞赫茲到零dB截止頻率的傳遞函數(shù)中具有多個(gè)極點(diǎn)和零點(diǎn)。放大器博德圖沒有魔力；只需遵循規(guī)則（圖3）。

圖3：運(yùn)算放大器的可能波德圖，顯示了幅度和相移。（圖片來源：Bonnie Baker）

圖3所示為具有兩個(gè)極點(diǎn)（f1和 f 2 ） 在傳遞函數(shù)中。使用兩個(gè)極點(diǎn)時(shí)，增益每次下降-20 dB/十倍頻程，相位總共下降到-180度。

在這一點(diǎn)上，我們在如何構(gòu)建波特圖方面有一個(gè)良好的開端，但讓我們繼續(xù)走向現(xiàn)實(shí)世界，其中有一個(gè)反饋系統(tǒng)。

閉環(huán)放大器系統(tǒng)穩(wěn)定性

如果您花一些時(shí)間查看運(yùn)算放大器電路，您總會(huì)發(fā)現(xiàn)反饋網(wǎng)絡(luò)徘徊。經(jīng)典運(yùn)算放大器反饋網(wǎng)絡(luò)具有增益正激元件（A 老 （jω））和反饋元件（β（JΩ））。

圖 4：具有前饋元件 （AOL（jω）） 和反饋元件 （β（jω）） 的經(jīng)典運(yùn)算放大器反饋網(wǎng)絡(luò)。（圖片來源：邦妮·貝克）

在圖4中，運(yùn)算放大器的開環(huán)增益（A 老 ）比較大，反饋因子比較小。此配置將輸出發(fā)送回反相端子，從而產(chǎn)生負(fù)反饋條件，在該條件下，該反饋使輸出處于控制之下。我們將使用β或1/β的倒數(shù)來確定運(yùn)算放大器電路的穩(wěn)定性。

計(jì)算 1/β 的最簡單方法是放置一個(gè)源，稱為 V 穩(wěn)定性 ，在運(yùn)算放大器的同相輸入上。這種計(jì)算策略將為確定電路的穩(wěn)定性提供極好的途徑（圖 5）。

圖 5：同相運(yùn)算放大器電路 a.）和反相運(yùn)算放大器電路 b.）兩者都有一個(gè)虛構(gòu)的 V穩(wěn)定性同相輸入端的電壓源，可精確計(jì)算電路的1/β系數(shù)或噪聲增益。（圖片來源：邦妮·貝克）

如果檢查圖5中的電路，會(huì)注意到從同相端子到輸出的反饋電路是相同的。V的位置穩(wěn)定性電壓源可以精確計(jì)算電路的1/β系數(shù)或噪聲增益。

1/β穩(wěn)定性分析使用 V 穩(wěn)定性 .如果假設(shè)運(yùn)算放大器開環(huán)增益為無窮大，則兩個(gè)電路的傳遞函數(shù)等于：

等式 1

等式2

等式3

當(dāng)公式3的頻率分量jω等于零時(shí)：

等式 4

當(dāng)jω在公式3中接近無窮大時(shí)：

等式5

1/β 零 （f Z ） 和極點(diǎn) （f P ） 是：

等式 6

公式7

符合上述規(guī)則的1/β穩(wěn)定性分析曲線的Bode圖如圖6所示。

圖6：圖5 a）和b）的1/β頻率響應(yīng)相同。零點(diǎn)出現(xiàn)在較低頻率，極點(diǎn)出現(xiàn)在較高頻率。（圖片來源：Bonnie Baker）

圖6描述了運(yùn)算放大器電路的1/β或噪聲增益的頻率和相位響應(yīng)。該圖以圖形形式總結(jié)了方程4至7。方程4和5定義了DC增益和￥增益，包括在內(nèi)。等式6和7包括電路的零點(diǎn)和極點(diǎn)。圖3和圖6中的信息提供了通過定義系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以及極點(diǎn)和零點(diǎn)的位置來建立運(yùn)算放大器電路穩(wěn)定性的第一步。最后一步是將圖3和圖6疊加到一個(gè)圖中。

系統(tǒng)穩(wěn)定性測定

開環(huán)和閉環(huán)增益的交集或閉合率定義了電路的相移。通常，閉合率小于或等于30dB表示電路穩(wěn)定。大于30 dB的閉合率正在向不穩(wěn)定電路狀態(tài)移動(dòng)（圖7）。

圖 7：運(yùn)算放大器的 AOL 增益和相位響應(yīng)與 1/β 增益和相位響應(yīng)疊加。（圖片來源：邦妮·貝克）

在圖7中，AOL和1/β增益曲線之間的閉合速率等于40 dB。40 dB閉合速率表示相移大于135°，表示電路不穩(wěn)定。在這種配置下，180°的閉合速率會(huì)產(chǎn)生一個(gè)振蕩的電路。

上述問題有很多解決方案。電阻或電容值可以通過移動(dòng)極點(diǎn)和零點(diǎn)頻率來改變。另一種選擇是選擇不同的運(yùn)算放大器（圖 8）。

在不改變零點(diǎn)和極點(diǎn)頻率的情況下，使用帶寬高于圖7運(yùn)算放大器的運(yùn)算放大器”）圖 8：使用帶寬高于圖 7 中運(yùn)算放大器的運(yùn)算放大器，而不改變零點(diǎn)和極點(diǎn)頻率。（圖片來源：邦妮·貝克）

在圖8中，運(yùn)算放大器帶寬高出約二十倍頻程，而無需改變1/β網(wǎng)絡(luò)。綠色虛線反映實(shí)際計(jì)算，并提供更真實(shí)的波特圖。放大器帶寬的增加將閉合速率從40 dB更改為20 dB。由此產(chǎn)生的相移現(xiàn)在為~105°，表明電路穩(wěn)定。

圖 8 中的綠色虛線超越了波特圖的標(biāo)尺和鉛筆創(chuàng)建，包括了現(xiàn)實(shí)世界的響應(yīng)。

測量電路增益和相位

測量放大器電路的增益和相位需要一個(gè)提供輸入信號(hào)的函數(shù)發(fā)生器以及一個(gè)網(wǎng)絡(luò)分析儀（圖 9）。代表是泰博爾電子 LS3081B3 GHz RF模擬掃描函數(shù)發(fā)生器。

圖5反相放大器電路的增益和相位測量配置”）圖 9：圖 5 b）的增益和相位測量配置s反相放大器電路。（圖片來源：邦妮·貝克）

在圖9中，函數(shù)發(fā)生器輸入信號(hào)的應(yīng)用發(fā)生在端口1至V處穩(wěn)定性節(jié)點(diǎn)。信號(hào)通過放大電路傳播到電路的輸出（V 外 ），其中網(wǎng)絡(luò)分析儀捕獲端口 2 處的信號(hào)，并將其與函數(shù)發(fā)生器的端口 1 信號(hào)進(jìn)行比較。

結(jié)論

在設(shè)計(jì)穩(wěn)定的運(yùn)算放大器電路時(shí)，波特圖是添加到套件中的非常有用的工具。當(dāng)您開始查看多極點(diǎn)和多零點(diǎn)電路時(shí)，波特圖背后的功耗變得顯而易見，其中放大器開環(huán)增益和反饋網(wǎng)絡(luò)之間的閉合速率快速定義了電路的穩(wěn)定性。

雖然本博客可以通過展示在方格紙上簡單使用直邊來估計(jì)一階極點(diǎn)和零點(diǎn)電路的增益與相位來幫助掌握波特圖的使用，但最好的學(xué)習(xí)方法是練習(xí)。同樣，您可以從在線 Digi-Key 創(chuàng)新手冊中的資源下載波特圖的可打印版本。

審核編輯 黃昊宇