講解RC電路的零狀態(tài)響應

【動態(tài)電路】的零狀態(tài)響應就是電路在零初始狀態(tài)下(動態(tài)元件初始儲能為零)，由外施激勵源引起的響應，與零輸入響應不同的是，零狀態(tài)響應內(nèi)部儲能在初始狀態(tài)是零，就是儲能元件初始儲能為零，區(qū)分好這個后，就可以方便記住了，這期介紹RC電路的零狀態(tài)響應，同樣需要點一階線性微分方程的基礎!

關鍵詞：RC電路;零狀態(tài)響應;

01電路結構

如圖1-1所示，是RC電路的結構：

圖1-1 RC電路零狀態(tài)響應電路結構

圖1-1中，開關S閉合前，電容C沒有充電，其電容電壓為0，得已知條件為：

02分析思路

開關S閉合后，電容儲存得能量將通過電阻以熱能得形式釋放出來，以開關動作為(t=0)，那么開關閉合后，根據(jù)KVL可得：

其中電阻電壓和電容電流為：

式(1.4)與上期那個一階電路的零輸入響應——RC電路中電流計算沒有負號的原因是，圖1-1電路電容電壓為上正下負，電流i流進電容，給電容充電，上期電路相反，電流流出電容，電容充當電源。

將式(1.3)和式(1.4)代入式(1.2)可得電路的微分方程為：

式(1.6)是一階線性非齊次方程，方程的解由非齊次方程的特解和對應齊次方程的通解兩個分量組成，這個在“重拾數(shù)學基礎”中進行講解了，忘記了可以再返回去看看!

其求解公式為：

式(1.6)中等式右邊第一項是非齊次方程的特解，第二項是齊次方程的通解。特解可以通過初始條件(1.1)代入式(1.5)可以求得非齊次方程的特解為：

而齊次方程可根據(jù)上期“一階電路的零輸入響應——RC電路”的通解為：

將式(1.8)中系數(shù)P換成時間常數(shù)為：

式(1.9)時間常數(shù)為RC，因此式(1.8)變?yōu)椋?/p>

因此式(1.6)可根據(jù)式(1.8)和式(1.7)求得為：

同時將式(1.1)的初始條件代入式(1.11)即可求得系數(shù)A為：

將式(1.12)代入式(1.11)因此式(1.11)可為：

將電容電壓進行求導即可求得電容電流i為：

電路中電壓、電流的波形如圖1-2所示：

圖1-2 電路電壓、電流波形

圖1-2說明，電容電壓以指數(shù)形式趨近于它的最終恒定值Us，到達該值后，電壓和電流不再變化，電容相當于開路，電流為零，此時電路達到穩(wěn)定狀態(tài)。RC電路接通直流電壓源的過程也即是電源通過電阻對電容進行充電的過程。