褶皺的新數(shù)學是如何形成的

2018年，在密歇根大學的一次演講開始幾分鐘后，Ian Tobasco拿起一張大紙，把它揉成一個看似混亂無序的球。他先把它拿起來讓觀眾看了看，又揉了幾下，然后攤開。

“我得到了大量的褶皺，現(xiàn)在問題來了，”他說，“是什么原因從一些更有序的圖案模型中選擇了這個圖案模型？”

“What selects this pattern from another, more orderly pattern?”

然后，他拿起第二張大紙——這張紙被提前折疊成著名的三浦織（由日本東京大學構造工學名譽教授三浦公亮所發(fā)明的折疊技術）平行四邊形折紙圖案，然后將其壓平。他說他在這兩張紙上用的力大致相同，但得到的結果卻大不相同。三浦織圖案被整齊地劃分成了一些幾何區(qū)域；而皺巴巴的球上，則是一團亂糟糟的鋸齒狀線。

“你會感覺到”，他指著皺巴巴的紙上零散排列的折痕說，“這個皺巴巴的球，只是三浦織的一個隨機無序版本。”然后他指了指整潔有序的三浦織。“但我們還沒有確定這是否屬實?！?/p>

建立上述的這種聯(lián)系需要建立彈性模型的通用數(shù)學法則。Tobasco多年來一直在研究這個問題，即研究描述薄的彈性材料（試圖通過恢復其原始形狀來響應變形的材料）的“方程式”。用力戳一個氣球時，氣球會形成放射狀皺紋的星爆圖案；當你移開你的手指，氣球會恢復原始形狀再次變得光滑。擠壓一個皺巴巴的紙球，當你松開它時它會膨脹（盡管它不會完全不皺）。工程師和物理學家已經(jīng)研究了這些模型在特定情況下呈現(xiàn)的結果，但對數(shù)學家來說，這些實際結果指向了一個更基本的問題：

In general, what selects one pattern rather than another？

2021年1月，Tobasco發(fā)表了一篇論文（https://link.springer.com/article/10.1007/s00205-020-01566-8），肯定地回答了這個問題——至少可以回答將光滑、彎曲、有彈性的片材壓成平面的情況（這些條件為解決這個問題提供了一種明確的方法），皺巴巴的球是三浦織的隨機無序版本。他的“方程式”預測了看似隨機的褶皺是如何包含具有重復、可識別的“有序”域。上個月他又與人合作了一篇論文，展示了一種新的、以嚴謹?shù)臄?shù)學為基礎的物理理論，該理論可以預測現(xiàn)實場景中的模型。

值得注意的是，Tobasco的工作表明，褶皺在許多方面可以被視為幾何問題的解?！斑@是一個美妙的數(shù)學分析，”德國波恩大學豪斯多夫數(shù)學中心的Stefan Müller 說。

它首次優(yōu)雅地闡述了這一普遍現(xiàn)象背后的數(shù)學規(guī)則——以及一種新的理解?！皵?shù)學在這里的作用并不是證明物理學家已經(jīng)做出的猜想”，紐約大學庫朗研究所的數(shù)學家、Tobasco的研究生院顧問Robert Kohn說，“而是對于以前我們沒有系統(tǒng)理解的地方，提供一個數(shù)學理論?！?/p>

Stretching Out

發(fā)展褶皺理論和彈性理論是一個古老的目標。1894年，在《自然》雜志的一篇文章中，數(shù)學家George Greenhill指出了理論學家（“我們要思考什么？”）以及他們可以弄清楚的有效應用（“我們要做什么？”）之間的區(qū)別。

在19世紀和20世紀，科學家們在“我們要做什么”方面取得了很大進展，研究了與正在變形的特定物體的褶皺有關的問題。早期的例子包括：為航海船只鍛造光滑、彎曲的金屬板的問題，以及試圖將山脈的形成與地殼的加熱聯(lián)系起來。

最近，數(shù)學家和物理學家更加努力地將理論研究、實際觀察與各種起皺情況、幾何形狀和材料聯(lián)系起來?！斑@已經(jīng)持續(xù)了大約10年，我們首先進行實驗，然后試圖找到可以理解它們的理論”，牛津大學的數(shù)學家Dominic Vella說?！爸钡阶罱?，我們才開始有了正確的認識。”

Ian Tobasco提出了一種理論，該理論以數(shù)學方式描述了曲面被壓平時出現(xiàn)的各種褶皺。

他們已經(jīng)取得了一些令人興奮的結果。2015年，麻省理工學院的機械工程師Pedro Reis描述了在癟硅球上形成的幾何圖案的物理規(guī)律。他的工作將這些褶皺和彈性材料內(nèi)外層的厚度聯(lián)系了起來。Reis還指出，褶皺可能會為設計新機械行為提供機會，而不是被視為缺點。然后在2017年，Vella帶頭領導分析了薄彈性薄膜在壓力下的起皺不穩(wěn)定性，并描述了褶皺數(shù)量是如何根據(jù)初始戳的深度和其他具體細節(jié)的變化規(guī)律。

但這些發(fā)展仍然只解決了部分問題。為了更一般地理解褶皺是如何形成的，我們需要一種不同的方法。而Tobasco則是進一步推動該領域前進的人。

Following Curiosity

Tobasco年輕的時候，他認為自己會進入航空航天工程。他2011年畢業(yè)于密歇根大學，獲得了該領域的學士學位，但那時他已經(jīng)開始深入思考數(shù)學推理和物理系統(tǒng)。他獲得了數(shù)學博士學位，所以他開玩笑地責怪現(xiàn)在雪城大學的物理學家Joey Paulsen讓他走上了研究褶皺的道路。

在Paulsen職業(yè)生涯的早期，當他研究不尋常材料的性質(zhì)時，他學會了使用一種稱為旋涂的技術，制造并分析超薄聚合物薄膜。首先，他制造了一種特殊的液體材料，其中含有微量溶解的聚合物；然后他將材料放在旋轉(zhuǎn)板上。大部分液體會蒸發(fā)，而聚合物在凝固之前會擴散成均勻的厚度。Paulsen在雪城大學擁有自己的實驗室后，他學會了如何利用旋涂技術來制造彎曲的薄膜——比如超薄的龜殼。

有一天，他將其中一些彎曲的薄膜放在靜止的水面上，并拍攝了它們是如何沉降在水面上的?！斑@純粹是出于好奇”，他說。這些照片在2017年與Paulsen的一次非正式會議上引起了Tobasco的注意。

“這些現(xiàn)象表明你可以得到這些隨機無序的褶皺圖案——當你把這個實驗做上兩次時，你會得到兩種不同的圖案，”Tobasco說，他現(xiàn)在是芝加哥伊利諾伊大學的助理教授?！拔蚁肟纯次沂欠窨梢詮膹椥灾刑岢鲆恍┙Y合外殼形狀的可推導方法來預測那些圖案，而且模型不會因殼而異?！?

Wrinkling patterns are configurations with the least possible energy. 起皺圖案是能量最少的“方案”。也就是說，隨著薄膜沉積在平坦的表面上，它會變形，直到找到需要最少能量來維持“褶皺”的一種排列，無論這個“褶皺”是否無序”，你可以通過圖案顯現(xiàn)時存儲的能量來組織圖案，”Tobasco說。

在該指導原則的指引下，他總結了薄膜的一些特征，這些特征被證明是選擇其圖案模式的因素，包括一種稱為高斯曲率（Gaussian curvature）的形狀度量。具有正高斯曲率的表面會遠離自身彎曲，就像球的外部一樣。相反，負彎曲的表面是馬鞍形的，就像一片薯片：如果你朝一個方向走，你會往上走，但如果你朝另一個方向走，你就會往下走。

Tobasco發(fā)現(xiàn)正高斯曲率區(qū)域產(chǎn)生一種有序和無序區(qū)域的排列，而負曲率區(qū)域產(chǎn)生其他類型。“具體的幾何形狀并不那么重要”，Vella說?！耙驗檫@真的只取決于高斯曲率的符號。”

取決于被彎折的方式，一個物體可以有正的或是負的高斯曲率。 而當物體被壓平時，高斯曲率可以決定出現(xiàn)的褶皺形狀



左為正高斯曲率，右為負高斯曲率



壓平物體后褶皺的形狀

他們曾懷疑高斯曲率對起皺的重要性，但Vella表示，令他驚訝的是，褶皺區(qū)域竟然非常嚴重地依賴于符號。更重要的是，Tobasco的理論不僅僅適用于Paulsen的形式，也適用于更廣泛的彈性材料?！斑@是一個很好的幾何結構，可以顯示褶皺出現(xiàn)的位置”，Vella說?！暗斫馑膩碓凑娴暮苌羁?，有點令人驚訝?！?/p>

Paulsen同意也這一點。

“What Ian’s theory very beautifully does is to give you the whole pattern, all at once.”

Real-Life Wrinkles

2018年初，Tobasco的理論已經(jīng)基本完善了——但即使這一理論在紙上有效，他仍不能確定它在現(xiàn)實世界中是否準確。Tobasco聯(lián)系了Paulsen，詢問他是否有興趣合作?！坝行〇|西馬上就奏效了”，Paulsen，“Ian的一些預測，放在實驗圖片之上，我們立即可以看到它們?nèi)绱说奈呛??！?

在當年的工業(yè)和應用數(shù)學學會材料科學數(shù)學方面的會議上，Tobasco被介紹給賓夕法尼亞大學的物理學家Eleni Katifori，他正在探索受限殼中的褶皺圖形問題并建立一個結果數(shù)據(jù)庫。這是一個偶然的機會?！拔覀兛梢钥吹絀an的工作在模擬中可以解釋的現(xiàn)象，”她說。這種匹配是不可思議的。在他們的第一次討論中，Tobasco的理論、Paulsen的實驗圖像和Katifori的模擬就描述了相同的現(xiàn)象?！凹词乖谠缙陔A段當我們沒有任何具體的東西時，我們也可以看到這種聯(lián)系。”

這種早期令人興奮的實驗結果很快引起了懷疑。這似乎好得令人難以置信?！八且晃粩?shù)學家，他把所有這些東西都變成了無維度的，”Paulsen說，他指的是Tobasco關于曲率如何可以擴展到二維平面材料之外的想法?！拔覀冋娴脑诳赐粋€系統(tǒng)嗎？結果表明如此，但結果應當是如此嗎？”

在接下來的兩年里，三位研究人員對細節(jié)進行了討論，表明Tobasco的理論確實——準確地——預測了Paulsen在他的實驗中看到的褶皺排列，以及Katifori在她的計算機模型中發(fā)現(xiàn)的褶皺的排列。8月25日，他們在Nature Physics上發(fā)表了一篇論文，展示了這三種方法是如何匯聚在相同的、直接的褶皺幾何排列上的。

值得注意的是，他們發(fā)現(xiàn)這些圖案屬于整齊的等腰三角形家族，這些三角形劃分了有序和無序的領域。此外，結果不僅僅局限于在數(shù)學上抽象為薄到不能再薄的材料，并且同時也解決了厚度在不同數(shù)量級下的問題。

他們的工作還為擴展該理論及其應用提供了機會。Katifori 說，作為一名物理學家，她有興趣利用這些預測來設計新材料?！拔蚁肓私馊绾卧O計表面，以便它們可以自動組織將起皺的圖案，使其成為你想要的東西?！?

另一個尚待解決的問題是該理論如何普遍地適用于不同類型的曲面?！斑@一理論的實踐主要集中在 [高斯曲率] 為正或負的情況，但在很多情況下，曲面有些區(qū)域是正的，有些是負的，”Vella 說。Paulsen同意這是一個令人興奮的可能性，Tobasco說他正在這個領域積極工作，并考慮其他形狀的貝殼——比如那些有孔的貝殼。

但Paulsen表示，即使就目前而言，這個理論也是美麗而令人驚訝的?！叭绻医o你一個殼和一個邊界形狀，以及Ian理論預測的這套簡單規(guī)則，那么你可以拿一個指南針和尺子，基本上畫出上面的褶皺”，他說，“你大可不必這樣做，但這是可以做到的并且是非常令人震驚的?！?

審核編輯：劉清