詳解：“史密斯圓圖”是怎么“掰彎”的？

不管多么經(jīng)典的射頻教程，為什么都做成黑白的呢？讓想理解史密斯原圖的同學(xué)一臉懵逼。

這是什么東東？

今天解答三個(gè)問(wèn)題：

1、是什么？

2、為什么？

3、干什么？

1、是什么？

該圖表是由菲利普·史密斯(Phillip Smith)于1939年發(fā)明的，當(dāng)時(shí)他在美國(guó)的RCA公司工作。史密斯曾說(shuō)過(guò)，“在我能夠使用計(jì)算尺的時(shí)候，我對(duì)以圖表方式來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)上的關(guān)聯(lián)很有興趣”。

史密斯圖表的基本在于以下的算式。

當(dāng)中的Γ代表其線路的反射系數(shù)(reflection coefficient)

即S參數(shù)（S-parameter）里的S11，ZL是歸一負(fù)載值，即ZL / Z0。當(dāng)中，ZL是線路本身的負(fù)載值，Z0是傳輸線的特征阻抗（本征阻抗）值，通常會(huì)使用50Ω。

簡(jiǎn)單的說(shuō)：就是類(lèi)似于數(shù)學(xué)用表一樣，通過(guò)查找，知道反射系數(shù)的數(shù)值。

2、為什么？

我們現(xiàn)在也不知道，史密斯先生是怎么想到“史密斯圓圖”表示方法的靈感，是怎么來(lái)的。

很多同學(xué)看史密斯原圖，屎記硬背，不得要領(lǐng)，其實(shí)沒(méi)有揣摩，史密斯老先生的創(chuàng)作意圖。

我個(gè)人揣測(cè)：是不是受到黎曼幾何的啟發(fā)，把一個(gè)平面的坐標(biāo)系，給“掰彎”了。

我在表述這個(gè)“掰彎”的過(guò)程，你就理解，這個(gè)圖的含義了。（坐標(biāo)系可以掰彎、人盡量不要“彎”；如果已經(jīng)彎了，本人表示祝福）

現(xiàn)在，我就掰彎給你看。

世界地圖，其實(shí)是一個(gè)用平面表示球體的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程是一個(gè)“掰直”。

史密斯原圖，巧妙之處，在于用一個(gè)圓形表示一個(gè)無(wú)窮大的平面。

2.1、首先，我們先理解“無(wú)窮大”的平面。

首先的首先，我們復(fù)習(xí)一下理想的電阻、電容、電感的阻抗。

在具有電阻、電感和電容的電路里，對(duì)電路中的電流所起的阻礙作用叫做阻抗。阻抗常用Z表示，是一個(gè)復(fù)數(shù)，實(shí)際稱(chēng)為電阻，虛稱(chēng)為電抗，其中電容在電路中對(duì)交流電所起的阻礙作用稱(chēng)為容抗 ,電感在電路中對(duì)交流電所起的阻礙作用稱(chēng)為感抗，電容和電感在電路中對(duì)交流電引起的阻礙作用總稱(chēng)為電抗。阻抗的單位是歐姆。

R，電阻：在同一電路中，通過(guò)某一導(dǎo)體的電流跟這段導(dǎo)體兩端的電壓成正比，跟這段導(dǎo)體的電阻成反比,這就是歐姆定律。

標(biāo)準(zhǔn)式：。（理想的電阻就是 實(shí)數(shù)，不涉及復(fù)數(shù)的概念）。

如果引入數(shù)學(xué)中復(fù)數(shù)的概念，就可以將電阻、電感、電容用相同的形式復(fù)阻抗來(lái)表示。既：電阻仍然是實(shí)數(shù)R（復(fù)阻抗的實(shí)部），電容、電感用虛數(shù)表示，分別為：

Z= R+i( ωL–1/（ωC）)

說(shuō)明：負(fù)載是電阻、電感的感抗、電容的容抗三種類(lèi)型的復(fù)物，復(fù)合后統(tǒng)稱(chēng)“阻抗”，寫(xiě)成數(shù)學(xué)公式即是：阻抗Z= R+i(ωL–1/（ωC）)。其中R為電阻，ωL為感抗，1/（ωC）為容抗。

（1）如果(ωL–1/ωC) > 0，稱(chēng)為“感性負(fù)載”；

（2）反之，如果(ωL–1/ωC) < 0稱(chēng)為“容性負(fù)載”。

我們仔細(xì)看阻抗公式，它不再是一個(gè)實(shí)數(shù)。它因?yàn)殡娙?、電感的存在，它變成了一個(gè)復(fù)數(shù)。

電路中如果只有電阻，只影響幅度變化。

我們通過(guò)上圖，我們知道，正弦波的幅度發(fā)生了變化，同時(shí)，相位也發(fā)生了變化，同時(shí)頻率特性也會(huì)變化。所以我們?cè)谟?jì)算的過(guò)程中，即需要考慮實(shí)部，也需要考慮虛部。

我們可以在一個(gè)復(fù)平面里面，以實(shí)部為x軸、以虛部為y軸，表示任意一個(gè)復(fù)數(shù)。我們的阻抗，不管多少電阻、電容、電感串聯(lián)、并聯(lián)，之后，都可以表示在一個(gè)復(fù)平面里面。

在 RLC 串聯(lián)電路中，交流電源電壓 U = 220 V，頻率 f = 50 Hz，R = 30 Ω，L =445 mH，C =32 mF。

在上圖中，我們看到通過(guò)幾個(gè)矢量的疊加，最終阻抗在復(fù)平面中，落在了藍(lán)色的圓點(diǎn)位置。

所以，任意一個(gè)阻抗的計(jì)算結(jié)果，我們都可以放在這個(gè)復(fù)平面的對(duì)應(yīng)位置。

各種阻抗的情況，組成了這個(gè)無(wú)窮大的平面。

2.2、反射公式

信號(hào)沿傳輸線向前傳播時(shí)，每時(shí)每刻都會(huì)感受到一個(gè)瞬態(tài)阻抗，這個(gè)阻抗可能是傳輸線本身的，也可能是中途或末端其他元件的。對(duì)于信號(hào)來(lái)說(shuō)，它不會(huì)區(qū)分到底是什么，信號(hào)所感受到的只有阻抗。如果信號(hào)感受到的阻抗是恒定的，那么他就會(huì)正常向前傳播，只要感受到的阻抗發(fā)生變化，不論是什么引起的（可能是中途遇到的電阻，電容，電感，過(guò)孔，PCB轉(zhuǎn)角，接插件），信號(hào)都會(huì)發(fā)生反射。

錢(qián)塘江大潮，就是河道的寬度變化引起了反射，這跟電路中阻抗不連續(xù)，導(dǎo)致信號(hào)反射，可以類(lèi)比。反射聚集的能量疊加在一起，引起的過(guò)沖。也許這個(gè)比喻不恰當(dāng)，但是挺形象。

那么有多少被反射回傳輸線的起點(diǎn)？衡量信號(hào)反射量的重要指標(biāo)是反射系數(shù)，表示反射電壓和原傳輸信號(hào)電壓的比值。

反射系數(shù)定義為：

其中：Z0為變化前的阻抗，ZIN為變化后的阻抗。假設(shè)PCB線條的特性阻抗為50歐姆，傳輸過(guò)程中遇到一個(gè)100歐姆的貼片電阻，暫時(shí)不考慮寄生電容電感的影響，把電阻看成理想的純電阻，那么反射系數(shù)為：

信號(hào)有1/3被反射回源端。

如果傳輸信號(hào)的電壓是3.3V電壓，反射電壓就是1.1V。純電阻性負(fù)載的反射是研究反射現(xiàn)象的基礎(chǔ)，阻性負(fù)載的變化無(wú)非是以下四種情況：阻抗增加有限值、減小有限值、開(kāi)路（阻抗變?yōu)闊o(wú)窮大）、短路（阻抗突然變?yōu)?）。

初始電壓，是源電壓Vs（2V）經(jīng)過(guò)Zs（25歐姆）和傳輸線阻抗（50歐姆）分壓。

Vinitial=1.33V

后續(xù)的反射率按照反射系數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算

源端的反射率，是根據(jù)源端阻抗（25歐姆）和傳輸線阻抗（50歐姆）根據(jù)反射系數(shù)公式計(jì)算為-0.33；

終端的反射率，是根據(jù)終端阻抗（無(wú)窮大）和傳輸線阻抗（50歐姆）根據(jù)反射系數(shù)公式計(jì)算為1；

我們按照每次反射的幅度和延時(shí)，在最初的脈沖波形上進(jìn)行疊加就得到了這個(gè)波形，這也就是為什么，阻抗不匹配造成信號(hào)完整性不好的原因。

那么我們做一個(gè)重要的假設(shè)！

為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固化一個(gè)經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的參數(shù)。這里Z0(特性阻抗)通常為常數(shù)并且是實(shí)數(shù)，是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值，如50Ω、75Ω、100Ω和600Ω。

假設(shè)Z0一定，為50歐姆。（為什么是50歐姆，此處暫時(shí)不表；當(dāng)然也可以做其他假設(shè)，便于理解，我們先定死為50Ω）。

那么，根據(jù)反射公式，我們得到一個(gè)重要的結(jié)論：

每一個(gè)Zin對(duì)應(yīng)唯一的 “Γ”，反射系數(shù)。

我們把對(duì)應(yīng)關(guān)系描繪到剛剛我們說(shuō)的“復(fù)平面”。

于是我們可以定義歸一化的負(fù)載阻抗：


據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫(xiě)為：

好了，我們?cè)趶?fù)平面里面，忘記Zin，只記得z（小寫(xiě)）和反射系數(shù)“?！薄?/strong>