有源濾波器中的相位關(guān)系

在使用濾波器的應(yīng)用中，幅度響應(yīng)通常比相位響應(yīng)更受關(guān)注。但在某些應(yīng)用中，濾波器的相位響應(yīng)很重要。這方面的一個(gè)例子可能是過(guò)濾器是過(guò)程控制循環(huán)的元素。這里關(guān)注的是總相移，因?yàn)樗赡軙?huì)影響環(huán)路穩(wěn)定性。用于構(gòu)建濾波器的拓?fù)涫欠裨谀承╊l率下產(chǎn)生符號(hào)反轉(zhuǎn)可能很重要。

將活動(dòng)篩選器可視化為兩個(gè)級(jí)聯(lián)篩選器可能很有用。一個(gè)是理想濾波器，體現(xiàn)傳遞方程;另一個(gè)是用于構(gòu)建濾波器的放大器。如圖 1 所示。閉合負(fù)反饋環(huán)路中使用的放大器可以被視為具有一階響應(yīng)的簡(jiǎn)單低通濾波器。增益隨高于某個(gè)斷點(diǎn)的頻率而滾降。此外，如果放大器用于反相配置，則實(shí)際上在所有頻率下都會(huì)有額外的180°相移。

圖1.濾波為兩個(gè)傳遞函數(shù)的級(jí)聯(lián)。過(guò)濾器設(shè)計(jì)是一個(gè)兩步過(guò)程。

首先，選擇濾波器響應(yīng);然后，選擇電路拓?fù)鋪?lái)實(shí)現(xiàn)它。濾波器響應(yīng)是指衰減曲線的形狀。通常，這是經(jīng)典的反應(yīng)之一，例如巴特沃斯，貝塞爾或某種形式的切比雪夫。雖然通常選擇這些響應(yīng)曲線來(lái)影響幅度響應(yīng)，但它們也會(huì)影響相位響應(yīng)的形狀。為了在本討論中進(jìn)行比較，幅度響應(yīng)將被忽略，并認(rèn)為基本上是恒定的。

濾波器復(fù)雜性通常由濾波器“階數(shù)”定義，該階數(shù)與儲(chǔ)能元件（電感器和電容器）的數(shù)量有關(guān)。濾波器傳遞函數(shù)分母的階數(shù)定義了頻率增加時(shí)的衰減率。漸近濾波器滾降速率為 –6 n dB/倍頻程或 –20 n dB/十倍頻程，其中n 是極數(shù)。八度是頻率的加倍或減半;十年是頻率的十倍增加或減少。因此，一階（或單極）濾波器的滾降率為–6 dB/倍頻程或–20 dB/十倍頻程。同樣，二階（或2極）濾波器的滾降率為–12 dB/倍頻程或–40 dB/十倍頻程。高階濾波器通常由級(jí)聯(lián)的一階和二階模塊組成。當(dāng)然，可以用單個(gè)活動(dòng)級(jí)構(gòu)建三階甚至四階部分，但是對(duì)分量值的敏感性以及分量之間相互作用對(duì)頻率響應(yīng)的影響急劇增加，使得這些選擇的吸引力降低。

傳遞方程

首先，我們將看一下傳遞方程的相位響應(yīng)。對(duì)于相同階次的所有濾波器選項(xiàng)，傳遞函數(shù)的相移將是相同的。對(duì)于單極點(diǎn)低通情況，傳遞函數(shù)具有相移Φ，由下式給出

(1)

其中：
ω = 頻率（弧度每秒）
ω0= 中心頻率（弧度每秒）

以弧度每秒為單位的頻率等于以赫茲 （f） 為單位的頻率的 2π 倍，因?yàn)樵?2° 周期中有 360π 弧度。由于表達(dá)式是無(wú)量綱比率，因此可以使用 f 或 ω。

中心頻率也可以稱為截止頻率（單極點(diǎn)低通濾波器的幅度響應(yīng)下降3 dB—約30%）的頻率。就相位而言，中心頻率將處于相移為其極限值–50°的90%的點(diǎn)（在本例中）。圖2為半對(duì)數(shù)圖，計(jì)算了公式1從低于中心頻率二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻的范圍。中心頻率（=1）的相移為–45°。

圖2.單極點(diǎn)低通濾波器關(guān)于中心頻率的相位響應(yīng)（同相響應(yīng)，左軸;反相響應(yīng)，右軸）。

同樣，單極點(diǎn)高通濾波器的相位響應(yīng)由下式給出：

(2)

圖3評(píng)估了公式2從低于中心頻率二十倍頻程到高于中心頻率二十倍頻程的系數(shù)。歸一化中心頻率（=1）的相移為+45°。

很明顯，高通和低通相位響應(yīng)相似，僅偏移了90°（π/2弧度）。

圖3.中心頻率為1的單極點(diǎn)高通濾波器的相位響應(yīng)（同相響應(yīng)，左軸;反相響應(yīng)，右軸）。

對(duì)于二階低通情況，傳遞函數(shù)具有相移，其近似公式為

其中α是濾波器的阻尼比。它將確定幅度響應(yīng)的峰值和相變的尖銳度。它是電路Q值的倒數(shù)，這也決定了幅度滾降或相移的陡峭程度。北海的α為1.414（Q為0.707），產(chǎn)生最大平坦的響應(yīng)。較低的α值將導(dǎo)致幅度響應(yīng)出現(xiàn)峰值。

圖4.中心頻率為2的1極點(diǎn)低通濾波器的相位響應(yīng)（同相響應(yīng)，左軸;反相響應(yīng)，右軸）。

圖4評(píng)估了該方程（使用α = 1.414），從低于中心頻率二十倍頻到高于中心頻率二十倍頻。這里的中心頻率（=1）顯示–90°的相移。2極點(diǎn)高通濾波器的相位響應(yīng)近似公式為：

在圖5中，計(jì)算了這個(gè)方程（再次使用α = 1.414），從低于中心頻率二十倍頻程到高于中心頻率（=1）二十倍頻程，顯示相移為–90°。

Figure 5. Phase response of a 2-pole, high-pass filter with a center frequency of 1 (in-phase response, left axis; inverted response, right axis).

Again, it is evident that the high-pass and low-pass phase responses are similar, just shifted by 180° (π radians).

In higher-order filters, the phase response of each additional section is cumulative, adding to the total. This will be discussed in greater detail later. In keeping with common practice, the displayed phase shift is limited to the range of ±180°. For example, –181° is really the same as +179°, 360° is the same as 0°, and so on.

First-Order Filter Sections

First-order sections can be built in a variety of ways. The most straightforward way is illustrated in Figure 6, simply using a passive R-C configuration. The center frequency of this filter is 1/(2πRC). It is commonly followed by a noninverting buffer amplifier to prevent loading by the circuit following the filter, which could alter the filter response. In addition, the buffer can provide some drive capability. The phase will vary with frequency as shown in Figure 2, with 45° phase shift at the center frequency, exactly as predicted by the transfer equation, since there are no extra components to modify the phase shift. That response will be referred to as the in-phase, first-order, low-pass response. The buffer will add no phase shift, as long as its bandwidth is significantly greater than that of the filter.

Figure 6. Passive, low-pass filter.

Remember that the frequency in these plots is normalized, i.e., the ratio to the center frequency. If, for example, the center frequency were 5 kHz, the plot would provide the phase response to frequencies from 50 Hz to 500 kHz.

An alternative structure is shown in Figure 7. This circuit, which adds resistance in parallel to continuously discharge an integrating capacitor, is basically a lossy integrator. The center frequency is again 1/(2πRC). Because the amplifier is used in the inverting mode, the inversion introduces an additional 180° of phase shift. The input-to-output phase variation with frequency, including the amplifier’s phase inversion, is shown in Figure 2 (right axis). This response will be referred to as the inverted, first-order, low-pass response.

Figure 7. Active, single-pole, low-pass filter using an op amp in the inverting mode.

The circuits shown above, which attenuate the high frequencies and pass the low frequencies, are low-pass filters. Similar circuits also exist to pass high frequencies. The passive configuration for a first-order, high-pass filter is shown in Figure 8; and its phase variation with normalized frequency is shown in Figure 3 (in-phase response).

Figure 8. Passive, high-pass filter.

The plot in Figure 3 (left axis) will be referred to as the in phase, first-order, high-pass response. The active configuration of the high-pass filter is shown in Figure 9. The phase variation with frequency is shown in Figure 3 (right axis). This will be referred to as the inverted, first-order, high-pass response.

Figure 9. Active, single-pole, high-pass filter.

Second-Order Sections

A variety of circuit topologies exists for building second-order sections. To be discussed here are the Sallen-Key, the multiple-feedback, the state-variable, and its close cousin, the biquad. They are the most common and are relevant here. More complete information on the various topologies is given in the References.

Sallen-Key, Low-Pass Filter

廣泛使用的Sallen-Key配置，也稱為壓控電壓源（VCVS），于1955年由麻省理工學(xué)院林肯實(shí)驗(yàn)室的R. P. Sallen和E. L. Key首次推出（見(jiàn)參考文獻(xiàn)3）。圖10是二階低通濾波器的示意圖。這種配置受歡迎的一個(gè)原因是，其性能基本上與運(yùn)算放大器的性能無(wú)關(guān)，因?yàn)榉糯笃髦饕米骶彌_器。由于跟隨器連接的運(yùn)算放大器不用于基本Sallen-Key電路中的電壓增益，因此其增益帶寬要求并不重要。這意味著，對(duì)于給定的運(yùn)算放大器帶寬，與涉及可變反饋環(huán)路中的放大器動(dòng)態(tài)的其他拓?fù)湎啾龋梢允褂迷摴潭ǎ▎挝唬┰鲆嬖O(shè)計(jì)更高頻率的濾波器。信號(hào)相位通過(guò)濾波器保持（同相配置）。Q = 0.707（或阻尼比，α = 1/Q為1.414—巴特沃茲響應(yīng)）的Sallen-Key低通濾波器的相移與頻率的關(guān)系圖如圖4（左軸）所示。為了簡(jiǎn)化比較，這將是此處要考慮的二階部分的標(biāo)準(zhǔn)性能。

圖 10.2極點(diǎn)，薩倫鍵，低通濾波器。

薩倫鍵高通濾波器

為了將Sallen-Key低通轉(zhuǎn)換為高通配置，頻率確定網(wǎng)絡(luò)中的電容和電阻互換，如圖11所示，同樣使用單位增益緩沖器。相移與頻率的關(guān)系如圖5（左軸）所示。這是同相、二階、高通響應(yīng)。

圖 11.2極，薩倫鍵，高通濾波器。

Sallen-Key濾波器中的放大器增益可以通過(guò)將反饋路徑中的阻性衰減器連接到運(yùn)算放大器的反相輸入來(lái)提高。但是，改變?cè)鲆鏁?huì)影響頻率確定網(wǎng)絡(luò)的方程，并且必須重新計(jì)算分量值。此外，放大器的動(dòng)態(tài)特性更可能需要仔細(xì)檢查，因?yàn)樗鼈儠?huì)向環(huán)路引入增益。

多反饋 （MFB） 低通濾波器

多反饋濾波器是一種單放大器配置，基于運(yùn)算放大器作為反饋環(huán)路內(nèi)的積分器（反相配置）（見(jiàn)圖12）。因此，傳遞函數(shù)對(duì)運(yùn)算放大器參數(shù)的依賴性大于Sallen-Key實(shí)現(xiàn)。由于運(yùn)算放大器在高頻下的開(kāi)環(huán)增益有限，因此很難產(chǎn)生高Q值、高頻部分。指導(dǎo)原則是，運(yùn)算放大器的開(kāi)環(huán)增益應(yīng)至少比諧振（或截止）頻率下的幅度響應(yīng)高20 dB（即×10），包括濾波器Q引起的峰值。Q引起的峰值將具有A幅度的幅度0:

(5)

其中H是電路的增益。

圖 12.2 極點(diǎn)、多反饋 （MFB）、低通濾波器。

多反饋濾波器反轉(zhuǎn)信號(hào)的相位。這相當(dāng)于將濾波器本身的相移增加了180°。相位與頻率的變化如圖4（右軸）所示。這將被稱為反相、二階、低通響應(yīng)。有趣的是，在多重反饋情況下，實(shí)現(xiàn)給定響應(yīng)的最高值和最低值分量之間的差異高于Sallen-Key實(shí)現(xiàn)。

多反饋 （MFB） 高通濾波器

關(guān)于多重反饋、低通情況的評(píng)論也適用于高通情況。多反饋、高通濾波器的原理圖如圖13所示，其理想相移與頻率的關(guān)系如圖5所示（右軸）。這被稱為反相、二階、高通響應(yīng)。

圖 13.2極點(diǎn)、多反饋（MFB）、高通濾波器。

這種類(lèi)型的濾波器可能更難在高頻下穩(wěn)定實(shí)現(xiàn)，因?yàn)樗谖⒎制?，與所有微分器電路一樣，該微分器電路在較高頻率下保持更大的閉環(huán)增益，并且傾向于放大噪聲。

狀態(tài)變量

狀態(tài)變量實(shí)現(xiàn)如圖 14 所示。這種配置提供了最靈活、最精確的實(shí)現(xiàn)，但代價(jià)是犧牲了更多的電路元件，包括三個(gè)運(yùn)算放大器。所有三個(gè)主要參數(shù)（增益、Q和ω0）可獨(dú)立調(diào)整;同時(shí)提供低通、高通和帶通輸出。濾波器的增益也是獨(dú)立可變的。

由于狀態(tài)變量濾波器的所有參數(shù)都可以獨(dú)立調(diào)整，因此可以最大限度地減少分量擴(kuò)散。此外，由于溫度和組件公差引起的不匹配被最小化。積分器部分使用的運(yùn)算放大器對(duì)運(yùn)算放大器增益帶寬的限制與多反饋部分所述相同。

圖 14.2極點(diǎn)，狀態(tài)變量濾波器。

低通部分的相移與頻率的關(guān)系將是反二階響應(yīng)（見(jiàn)圖4，右軸），高通部分將具有反相的高通響應(yīng)（見(jiàn)圖5，右軸）。

雙二次（雙二）

狀態(tài)變量濾波器的近親是雙二階濾波器（參見(jiàn)圖 15）。該電路的名稱最初由J. Tow于1968年使用（見(jiàn)參考文獻(xiàn)6），后來(lái)由L. C. Thomas于1971年使用（見(jiàn)參考文獻(xiàn)5），其依據(jù)是傳遞函數(shù)是兩個(gè)二次項(xiàng)的比率。該電路是狀態(tài)可變電路的略有不同的形式。在此配置中，單獨(dú)的高通輸出不可用。但是，有兩個(gè)低通輸出，一個(gè)同相（LOWPASS1），一個(gè)異相（LOWPASS2）。

圖 15.標(biāo)準(zhǔn)雙二極，2極部分。

通過(guò)增加第四個(gè)放大器部分，可以實(shí)現(xiàn)高通、陷波（低通、標(biāo)準(zhǔn)和高通）和全通濾波器。具有高通部分的雙二階圖如圖16所示。

圖 16.2極點(diǎn)雙二階濾波器（帶高通部分）。

LOWPASS1部分的相移與頻率的關(guān)系將是同相、二階、低通響應(yīng)（見(jiàn)圖4，左軸）。LOWPASS2 部分將具有倒置的二階響應(yīng)（參見(jiàn)圖 4，右軸）。HIGHPASS部分具有反轉(zhuǎn)的相移（見(jiàn)圖5，右軸）。

結(jié)論

我們已經(jīng)看到，用于構(gòu)建濾波器的拓?fù)鋵?duì)其實(shí)際相位響應(yīng)產(chǎn)生影響。這可能是用于確定所用拓?fù)涞囊蛩刂弧１?比較了本文討論的各種低通濾波器拓?fù)涞南嘁品秶?/p>

表 1.低通濾波器拓?fù)湎嘁品秶?/strong>