詳解矢量的正交分解

矢量的正交分解

1.矢量正交

兩矢量V1與V2正交，夾角為90°

兩正交矢量的內(nèi)積為零

2.正交矢量集:

由兩兩正交的矢量組成的矢量集合

非正交矢量的近似表示及誤差

4.矢量正交分解：任意N維矢量可由N維正交坐標(biāo)系表示

推廣到n維空間:n維空間的任一矢量V，可以精確地表示為n個(gè)正交矢量的線性組合， 即

思路：

將矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間：在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。

信號(hào)的正交分解

1.信號(hào)正交

【定義】

說明：實(shí)函數(shù)正交

2.正交函數(shù)集：

說明：如果 Ki=1，稱為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)集。

3.完備正交函數(shù)集：

例：兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T )(T=2π/Ω)上的完備正交函數(shù)集

信號(hào)的正交分解

如何選擇各系數(shù)Cj，使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小？

通常使誤差的方均值(稱為均方誤差)最小。

為使上式最?。ㄏ禂?shù)Cj變化時(shí)），有

展開被積函數(shù)，并求導(dǎo)，只有兩項(xiàng)不為0，寫為：

代入，得最小均方誤差

在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取的項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。 當(dāng)n→∞時(shí)（完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。

結(jié)論：

任意信號(hào)f(t)可以表示為無窮多個(gè)正交函數(shù)之和 ：

上式稱為信號(hào)的正交展開式，也稱為廣義傅里葉級(jí)數(shù)

帕斯瓦爾定理

帕斯瓦爾方程：

物理意義：在區(qū)間(t1,t2)， 信號(hào)f(t)所含有的能量恒等于此信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各正交分量能量之和，即能量守恒定理, 也稱帕斯瓦爾定理。

數(shù)學(xué)本質(zhì)：矢量空間信號(hào)正交變換的范數(shù)不變性。