誤差放大器的大小信號(hào)環(huán)路

本文的目的

Buck系列文章在第3篇中介紹了基于Buck變換器的大小信號(hào)模型，著重突出了PWM調(diào)制器(后文標(biāo)為FM)和主功率級(jí)開關(guān)電路(Power Stage)大信號(hào)的非線性和傳統(tǒng)小信號(hào)建模的局限性。

要構(gòu)成完整的閉環(huán)控制，還要串接入輸出電壓的反饋網(wǎng)絡(luò)(傳感器)，和環(huán)路頻率校正的補(bǔ)償器(調(diào)節(jié)器/控制器)。 在模擬控制中，運(yùn)放和外圍RC元件共同組成 誤差放大器 ( EA , Error Amplifier)，恰起到 補(bǔ)償器 ( 傳函為Gc , Compensator)的作用。

下圖是理想運(yùn)放反相放大器和差分放大器的基本單元。 當(dāng)R被更復(fù)雜的RC網(wǎng)絡(luò)替代時(shí)，利用阻抗Z的復(fù)頻域表達(dá)式，即可得到期望頻率特性的補(bǔ)償器Gc。

(圖片來源: TI, Analog Engineer’s Circuit Cookbook: Amplifiers)

盡管理想EA得到的補(bǔ)償器Gc是線性模型，但其連接方式的差異 ，是否會(huì)引起大小信號(hào)模型的差異呢？ 答案是肯定的。

可惜的是，這點(diǎn)似乎被選擇性忽視(筆者至今未見過同質(zhì)性分析)。 本文將以最簡(jiǎn)單的電壓模式控制的Buck為例，分析理想EA及基于它的補(bǔ)償器網(wǎng)絡(luò)，在環(huán)路大小信號(hào)模型中的差異。

大信號(hào)環(huán)路和小信號(hào)環(huán)路
--EA目標(biāo)任務(wù)的不同

首先給出電壓模式控制的Buck變換器示意圖，環(huán)路的控制模型如下。

(圖片來源: Erickson, Fundamentals of Power Electronics)

倘若我們能直接處理大信號(hào)的模型，那么大信號(hào)必然是普適性更強(qiáng)的方法，上圖對(duì)應(yīng)的大信號(hào)控制環(huán)路的信號(hào)流圖如下，兩者對(duì)照，物理意義十分清晰。

文中已經(jīng)指出大小信號(hào)模型的差別，為了能夠線性化，必須基于一個(gè)DC工作點(diǎn)上注入AC擾動(dòng)再進(jìn)行小信號(hào)分析。 在實(shí)際的環(huán)路測(cè)試中，我們是在反饋支路中串入一個(gè)小電阻進(jìn)行擾動(dòng)信號(hào)的注入，其等效電路模型如下。

（圖片來源：TI， DC/DC轉(zhuǎn)換器環(huán)路穩(wěn)定性測(cè)試的理解與仿真）

因此，小信號(hào)控制環(huán)路的 輸入是反饋支路注入的擾動(dòng) ，其信號(hào)流圖如下。 為了研究擾動(dòng)輸入下的環(huán)路增益loop gain，根據(jù)線性電路的疊加定理， v ?ref作為另一個(gè)獨(dú)立的擾動(dòng)輸入則需要被短路處理，因此才有v ?ref=0 。

由此可得， 補(bǔ)償器Gc在大小信號(hào)環(huán)路中的目標(biāo)任務(wù)是不同的 。

誤差放大器連接方式的演化

給出如下三種EA常用的連接形式。

需要注意，無論是形式1/2/3，為了滿足穩(wěn)態(tài)時(shí)的分壓比關(guān)系以及分壓電阻和補(bǔ)償器之間的關(guān)系解耦，分壓支路和補(bǔ)償器支路必須滿足阻抗的匹配關(guān)系。

實(shí)際應(yīng)用中因形式3阻抗匹配最容易滿足，且元器件數(shù)量最少，故最為常見。

大信號(hào)Gc的目標(biāo)任務(wù)是處理差分誤差量的放大，聯(lián)想到差分放大器得到的必然是形式1的連接方法。

采用形式1的Gc表達(dá)式推導(dǎo)如下，結(jié)果完全符合大小信號(hào)Gc的目標(biāo)任務(wù)。

形式2和形式1的唯一差別在于，形式2把差分放大變?yōu)榱藛味朔糯螅\(yùn)放+端直接連接參考電壓VREF。 這種情況下補(bǔ)償器的輸出會(huì)包含vref的信息。

采用形式2的Gc表達(dá)式推導(dǎo)如下，可以看到小信號(hào)符合Gc的目標(biāo)任務(wù)，但大信號(hào)模型中額外包含了VREF的信息。

形式3對(duì)形式2做了進(jìn)一步簡(jiǎn)化，將分壓電阻Rx和補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)中的輸入電阻Zc1進(jìn)行合并(Rx,Ry也改為Zx,Zy)，并在不改變直流分壓比(依然由Zx中的Rx，和Zy中的Ry決定)的情況下，將分壓電阻改為分壓阻抗，同樣實(shí)現(xiàn)了靈活頻率特性的設(shè)計(jì)。

采用形式3的Gc表達(dá)式推導(dǎo)如下，可以看到小信號(hào)符合Gc的目標(biāo)任務(wù)，但大信號(hào)模型中額外包含了VREF的信息。

無意引入的前饋

由上節(jié)的推導(dǎo)可知，不論何種形式其小信號(hào)模型均是正確的，但大信號(hào)上形式2/3和物理意義對(duì)應(yīng)不上，無意引入了VREF輸入的比例前饋，下圖中以K表示。

需要注意，這和電壓模式控制可采用的"輸入電壓前饋控制“不是一回事

帶前饋的負(fù)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)分析方法為，將輸入到輸出分為a,b兩個(gè)子系統(tǒng)。

參考輸入到輸出的負(fù)反饋系統(tǒng)，基于開環(huán)增益loop gain的波特圖分析

參考輸入經(jīng)過前饋環(huán)節(jié)、被控對(duì)象到輸出的前饋通道系統(tǒng)，前饋網(wǎng)絡(luò)則可基于前饋通道上系統(tǒng)傳遞函數(shù)的波特圖分析

(圖片來源: 胡壽松,《自動(dòng)控制原理》)

回顧《自動(dòng)控制原理》中的“復(fù)合校正”章節(jié)，前饋可以提前將被饋量的變化直接送給執(zhí)行機(jī)構(gòu)，不經(jīng)過反饋補(bǔ)償器的運(yùn)算， 提高響應(yīng)速度 。 從頻域的角度即最后整體的閉環(huán)傳函C(s)/R(s)相比之前帶寬明顯上升； 另一方面，加入前饋環(huán)節(jié)后整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)分母特征方程的根不變，開環(huán)增益loop gain不變， 不會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。

實(shí)際工程中，設(shè)計(jì)人員僅針對(duì)小信號(hào)的環(huán)路做補(bǔ)償設(shè)計(jì)，本就未期望對(duì)大信號(hào)的環(huán)路做任何的優(yōu)化設(shè)計(jì)，這一點(diǎn)未納入特殊的考慮也算合情合理。

但對(duì)于理論研究來說，筆者堅(jiān)信任何一個(gè)小問題都值得刨根問底。