0****1
基本邏輯關(guān)系
01
基本概念
邏輯常量與變量 :邏輯常量只有兩個,即0和1,用來表示兩個對立的邏輯狀態(tài)。邏輯變量與普通代數(shù)一樣,也可以用字母、符號、數(shù)字及其組合來表示,但它們之間有著本質(zhì)區(qū)別,因為邏輯變量的取值只有兩個,即0和1,而沒有中間值。
邏輯運算 :在邏輯代數(shù)中,有與、或、非三種基本邏輯運算。表示邏輯運算的方法有多種,如語句描述、邏輯代數(shù)式、真值表、卡諾圖等。
邏輯函數(shù) :邏輯函數(shù)是由邏輯變量、常量通過運算符連接起來的代數(shù)式。同樣,邏輯函數(shù)也可以用表格和圖形的形式表示。
02
數(shù)字電路基本邏輯運算
與運算 : 只有當一件事情 的幾個條件全部具備之后,這件事情才會發(fā)生。這種關(guān)系稱與運算。邏輯表達式為 Y = AB
真值表:
A | B | Y |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
或運算 : 當一件事情的幾個條件中只要有一個條件得到滿足,這件事就會發(fā)生,這種關(guān)系稱為或運算。邏輯表達式為 Y = A + B
真值表:
A | B | Y |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
非運算 :一件事情的發(fā)生是以其相反的條件為依據(jù)。這種邏輯關(guān)系為非運算。記作
異或運算 :如果a、b兩個值不相同,則異或結(jié)果為1。如果a、b兩個值相同,異或結(jié)果為0。它的邏輯表達式為 Y = A ⊕ B =
真值表:
A | B | Y |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 |
同或運算 :如果a、b兩個值不相同,則異或結(jié)果為0。如果a、b兩個值相同,異或結(jié)果為1。它的邏輯表達式為 Y = A ⊙ B =
真值表:
A | B | Y |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
03
常用邏輯運算律
接下來的這些常用的邏輯運算律會在日?;嗊壿嫳磉_式上有很大幫助。
02
邏輯函數(shù)及其化簡(卡諾圖)
01
卡諾圖的構(gòu)成
卡諾圖是一種包含一些小方塊的幾何圖形,圖中每個小方塊稱為一個單元,每個單元對應(yīng)一個最小項。 **兩個相鄰的最小項在卡諾圖中也必須是相鄰的。** 卡諾圖中相鄰的含義:幾何相鄰性,即幾何位置上相鄰,世就是左右緊挨著或者上下相接;對稱相鄰性,即圖形中對稱位置的單元是相鄰的。
例如:
兩變量卡諾圖:
三變量卡諾圖:
四變量卡諾圖:
02
邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示
l 給定邏輯函數(shù)為標準“與-或”表達式
當邏輯函數(shù)為標準“與-或”表達式時,只需在卡諾圖上找出和表達式中最小項對應(yīng)的小方格填上1,其余小方格填上0,即可得到該函數(shù)的卡諾圖。
例如,4變量函數(shù)F(A,B,C,D)=∑m(1,5,8,9,10,13)的卡諾圖如圖1所示。
圖1 函數(shù)F(A,B,C)=∑m(1,5,8,9,10,13)的卡諾圖
l 邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達式
當邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達式時,可根據(jù)“與”的公共性和“或”的疊加性作出相應(yīng)卡諾圖。
例如,4變量函數(shù)F(A,B,C,D)=ABC’D+ABCD+AB’CD的卡諾圖如圖2所示。
圖2 函數(shù)F(A,B,C,D)= ABC'D+ABCD+AB'CD的卡諾圖
填寫該函數(shù)卡諾圖時,只需在4變量卡諾圖上依次找出和“與項”ABC'D、ABCD、AB'CD對應(yīng)的小方格填上1,便可得到該函數(shù)的卡諾圖。當邏輯函數(shù)表達式為其他形式時,可將其變換成上述形式后再作卡諾圖。為了敘述的方便,通常將卡諾圖上填1的小方格稱為1方格,填0的小方格稱為0方格。0方格有時用空格表示。
03
******卡諾圖上最小項的合并規(guī)律
卡諾圖的一個重要特征是,它從圖形上直觀、清晰地反映了最小項的相鄰關(guān)系。當一個函數(shù)用卡諾圖表示后,究竟哪些最小項可以合并呢?下面以2、3、4變量卡諾圖為例予以說明。
l 兩個小方格相鄰, 或處于某行(列)兩端時,所代表的最小項可以合并,合并后可消去一個變量。
l 四個小方格組成一個大方格、或組成一行(列)、或處于相鄰兩行(列)的兩端、或處于四角時,所的表的最小項可以合并,合并后可消去兩個變量。
l 八個小方格組成一個大方格、或組成相鄰的兩行(列)、或處于兩個邊行(列)時,所代表的最小項可以合并,合并后可消去三個變量。
至此,以3、4變量卡諾圖為例,討論了2,4,8個最小項的合并方法。依此類推,不難得出n個變量卡諾圖中最小項的合并規(guī)律。
歸納起來,n個變量卡諾圖中最小項的合并規(guī)律如下:
(1)卡諾圈中小方格的個數(shù)必須為2m個,m為小于或等于n的整數(shù)。
(2)卡諾圈中的2m個小方格有一定的排列規(guī)律,具體地說,它們 含有m個不同變量,(n-m)個相同變量 。
(3)卡諾圈中的 2m個小方格對應(yīng)的最小項可用(n-m)個變量的“與”項表示 ,該“與”項由這些最小項中的相同變量構(gòu)成。
(4) 當m=n時,卡諾圈包圍了整個卡諾圖,可用1表示 ,即n個變量的全部最小項之和為1。
04
******卡諾圖化簡邏輯函數(shù)
首先,有這么幾點需要明確:
l 列出邏輯函數(shù)的最小項表達式 ,由最小項表達式確定變量的個數(shù)(如果最小項中缺少變量,應(yīng)按例的方法補齊)。
l 畫出最小項表達式對應(yīng)的卡諾圖。
l 將卡諾圖中的1格畫圈。 一個也不能漏圈,否則最后得到的表達式就會與所給函數(shù)不等;1格允許被一個以上的圈所包圍。
l ** 圈的個數(shù)應(yīng)盡可能得少。**即在保證1格一個也不漏圈的前提下,圈的個數(shù)越少越好。因為一個圈和一個與項相對應(yīng),圈數(shù)越少,與或表達式的與項就越少。
l 按照2k個方格來組合(即圈內(nèi)的1格數(shù)必須為1,2,4,8等),圈的面積越大越好。 因為圈越大,可消去的變量就越多,與項中的變量就越少。
l 每個圈應(yīng)至少包含一個新的1格,否則這個圈是多余的。
l 用卡諾圖化簡所得到的最簡與或式不是唯一的。
例子:
用卡諾圖化簡法化簡下式為最簡單與或邏輯式
Y = ABCD+ BCD + BD
首先可先把他化成最小項之和的形式:
Y = ABCD + (A + A’)BCD + (A + A’) B (C + C’) D
然后我們例如卡諾圖,將可能合并的最小項圈出,并按照前面所述的原則進行化簡后與或式中的乘積項,于是我們得到化簡后的表達式:
Y = BD
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