【教程分享】FPGA零基礎(chǔ)學(xué)習(xí)：數(shù)字電路中的數(shù)字表示

大俠好，歡迎來到FPGA技術(shù)江湖。本次帶來FPGA系統(tǒng)性學(xué)習(xí)系列，本系列將帶來FPGA的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)，從最基本的數(shù)字電路基礎(chǔ)開始，最詳細(xì)操作步驟，最直白的言語描述，手把手的“傻瓜式”講解，讓電子、信息、通信類專業(yè)學(xué)生、初入職場小白及打算進(jìn)階提升的職業(yè)開發(fā)者都可以有系統(tǒng)性學(xué)習(xí)的機(jī)會。

系統(tǒng)性的掌握技術(shù)開發(fā)以及相關(guān)要求，對個(gè)人就業(yè)以及職業(yè)發(fā)展都有著潛在的幫助，希望對大家有所幫助。后續(xù)會陸續(xù)更新 Xilinx 的 Vivado、ISE 及相關(guān)操作軟件的開發(fā)的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)習(xí)FPGA設(shè)計(jì)方法及設(shè)計(jì)思想的同時(shí)，實(shí)操結(jié)合各類操作軟件，會讓你在技術(shù)學(xué)習(xí)道路上無比的順暢，告別技術(shù)學(xué)習(xí)小BUG卡破腦殼，告別目前忽悠性的培訓(xùn)誘導(dǎo)，真正的去學(xué)習(xí)去實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用，這種快樂試試你就會懂的。話不多說，上貨。

數(shù)字電路中的數(shù)字表示

在我們的生活中，常用的是十進(jìn)制數(shù)字，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個(gè)數(shù)字。我們用這不同的十個(gè)數(shù)字可以表示不同的十種情況，但是很多情況下，會現(xiàn)在超過10種情況，那我們應(yīng)該怎么表示呢？例：有很多（遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于10個(gè)）的房間需要貼門牌號，我們可以從0開始貼，逐漸增加，在我們貼到第10個(gè)（9號）后，后面一個(gè)我們應(yīng)該怎么辦？

數(shù)字信號通常都是用數(shù)碼來表示的，不同的數(shù)碼可以表示數(shù)量的不同大小。用數(shù)碼表示數(shù)量的時(shí)候，僅僅用一個(gè)數(shù)碼往往不夠，因此需要用進(jìn)位計(jì)數(shù)制的方法組成多位數(shù)碼使用。我們把多位數(shù)碼中每一位的構(gòu)成方法以及從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則稱為數(shù)制。

當(dāng)用數(shù)碼表示大小時(shí)，它們之間可以進(jìn)行數(shù)量間的加、減、乘、除等算數(shù)運(yùn)算。

下面討論十進(jìn)制

十進(jìn)制是生活中最常使用的進(jìn)位計(jì)數(shù)制（可能是人都有十個(gè)手指頭，十個(gè)腳趾頭，所以古人創(chuàng)立了十進(jìn)制），十進(jìn)制的有0~9十個(gè)數(shù)碼，計(jì)數(shù)的基數(shù)是10。超過9的數(shù)必須要用多位數(shù)來表示。

例：任何的十進(jìn)制數(shù)字都可以寫成本位的數(shù)字乘以本位的權(quán)重的累加和。十進(jìn)制的數(shù)字一般用“D”來標(biāo)注。

在日常生活中，我們都是十進(jìn)制來表示大小，多少等等。十進(jìn)制有自己的運(yùn)算規(guī)則。例：有五個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜有五塊糖，一共有多少塊糖？現(xiàn)在我們討論的是數(shù)字電路基礎(chǔ)，那么在電路中還適合使用十進(jìn)制數(shù)嗎？

在第一章中，我們已經(jīng)給出答案，用的是“0” 和“1”兩個(gè)數(shù)碼。那么我們按照十進(jìn)制的規(guī)律類推一下二進(jìn)制。

二進(jìn)制有0和1兩個(gè)數(shù)碼，計(jì)數(shù)的基數(shù)是2。超過1的數(shù)必須要用多位數(shù)來表示。二進(jìn)制一般用“B”來標(biāo)注。

例：通過對二進(jìn)制的本位數(shù)字乘以本位的權(quán)重的累加和，我們可以算出二進(jìn)制的101.01，就是我們十進(jìn)制的5.25。

通過上述的方法，我們確定了二進(jìn)制換算到十進(jìn)制的方法。那么十進(jìn)制的數(shù)字換算到二進(jìn)制的方法如下：

例：將十進(jìn)制的173化為二進(jìn)制數(shù)字的方法如下：

圖1 ：十進(jìn)制173換算二進(jìn)制的過程

將上述的余數(shù)倒著寫下來10101101就是我們想要的結(jié)果。

通過講解十進(jìn)制和二進(jìn)制，我們應(yīng)該了解，描述同樣一個(gè)物體的大小，我們可以用兩種不同的方法，但是本質(zhì)上還是相等的。只是描述的方法不一樣而已。

同理，我們可以定義出八進(jìn)制、十六進(jìn)制。

八進(jìn)制使用數(shù)碼0~7來表示，一般用字母“O”來標(biāo)注；十六進(jìn)制使用數(shù)碼0~9和A~F來表示，一般用字母“H”來標(biāo)注。它們與十進(jìn)制的換算關(guān)系與二進(jìn)制相同。

下面我們研究八進(jìn)制與二進(jìn)制之間的換算關(guān)系

對于八進(jìn)制來說，它的權(quán)重是8的n次冪，也可以表示成權(quán)重是2的3n次冪。八進(jìn)制的數(shù)碼為0~7，0~7的數(shù)碼用二進(jìn)制表示可以寫成：K=。如果此時(shí)的權(quán)重是8的n次冪（2的3n次冪），那么此位的數(shù)碼乘以權(quán)重（K*8的n次冪），用二進(jìn)制表示就是：。按照二進(jìn)制的規(guī)則，正好是連續(xù)三個(gè)數(shù)碼。所以八進(jìn)制轉(zhuǎn)換二進(jìn)制的方法如下：

將一個(gè)八進(jìn)制轉(zhuǎn)換為三個(gè)二進(jìn)制排列即可（必須熟悉0到7對應(yīng)的二進(jìn)制碼）。

例：八進(jìn)制的253，轉(zhuǎn)換二進(jìn)制為010 101 011。

二進(jìn)制轉(zhuǎn)八進(jìn)制的方法如下：

從權(quán)重為1開始，向左（整數(shù)向左，小數(shù)向右）三個(gè)一組，最左或者最右不夠三位時(shí)，用零補(bǔ)充，轉(zhuǎn)成八進(jìn)制即可。

例 ：二進(jìn)制1010110.01，分組001 010 110 . 010–> 126.2

十六進(jìn)制與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換是四個(gè)一組（必須熟悉0到9和A到F所對應(yīng)的二進(jìn)制碼），和八進(jìn)制是類似的，不在多余描述。

圖2 ：二進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制前16個(gè)數(shù)碼的對應(yīng)表

思考：為什么在上述圖表中，二進(jìn)制直接用四個(gè)數(shù)碼來表示，八進(jìn)制直接用兩個(gè)數(shù)碼來表示？

四個(gè)二進(jìn)制的數(shù)碼或者兩個(gè)八進(jìn)制的數(shù)碼才可以表示到十進(jìn)制的15。

在電路中，這些數(shù)碼都是要存放的，每一個(gè)數(shù)碼都需要一個(gè)小存儲空間。當(dāng)存儲空間的個(gè)數(shù)是固定的時(shí)候，所表示的數(shù)字的大小也就有了范圍。例：只考慮整數(shù)的情況下，三個(gè)數(shù)碼的十進(jìn)制表示000~999。

后續(xù)設(shè)計(jì)時(shí)，如果我們出現(xiàn)設(shè)計(jì)失誤，將四個(gè)數(shù)碼存放到三個(gè)存儲空間里時(shí)，就會出現(xiàn)錯(cuò)誤（綜合器不一定報(bào)錯(cuò)），最終結(jié)果為將后面的三個(gè)數(shù)碼存放到三個(gè)存儲空間里了，最高位的那個(gè)數(shù)碼丟掉了，一定要注意。不要在設(shè)計(jì)中看到某一個(gè)變量賦值為N，就一直以為這個(gè)變量為N，不一定，一定觀察變量的存儲空間的個(gè)數(shù)和N所需要的個(gè)數(shù)的對比。

思考：在電路中，數(shù)字N需要幾個(gè)存儲空間？

根據(jù)上一個(gè)問題的思考，一個(gè)存儲空間只能存放一個(gè)數(shù)碼，那就需要看數(shù)字N有多少個(gè)數(shù)碼了。這樣的想法是正確的嗎？注意：在電路中，都是二進(jìn)制表示。那么也就是數(shù)字N需要的存儲空間的個(gè)數(shù)，應(yīng)該是N轉(zhuǎn)換成為二進(jìn)制時(shí)，他的數(shù)碼的個(gè)數(shù)。

例：十進(jìn)制的25，首先轉(zhuǎn)換成為二進(jìn)制11001，所以需要5個(gè)存儲空間。

思考：在設(shè)計(jì)電路時(shí)，需要把所有的數(shù)字都寫成二進(jìn)制嗎？

目前設(shè)計(jì)大多數(shù)是寫代碼，代碼想要形成電路，需要綜合器的綜合。而綜合器是可以把任何進(jìn)制的數(shù)字轉(zhuǎn)換成為二進(jìn)制的。注意：存儲空間的問題。

思考：在賦值時(shí)，兩個(gè)變量賦值的進(jìn)制不相同，可以直接對比大小嗎？

例 ：在電路中變量A賦值十進(jìn)制的25，變量B賦值十六進(jìn)制的24，假設(shè)變量A和B的存儲空間的個(gè)數(shù)可以放下本身賦值的數(shù)字，可以直接對比嗎？答案是肯定的，我們經(jīng)常說的進(jìn)制不同不能相對比，那是對于人類自己看見的而言，但是對于設(shè)計(jì)來說，我們的賦值是在代碼級別，距離真正的電路還有一個(gè)綜合器的綜合，綜合器綜合過后，所有的進(jìn)制都是二進(jìn)制，那就可以直接對比了。

BCD碼（nary-Coded Decimal?）又稱二-十進(jìn)制代碼，亦稱二進(jìn)碼十進(jìn)數(shù)。是一種二進(jìn)制的數(shù)字編碼形式，用二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制代碼。這種編碼形式利用了四個(gè)位元來儲存一個(gè)十進(jìn)制的數(shù)碼。利用四位二進(jìn)制表示十進(jìn)制數(shù)的個(gè)位或者十位等。

二進(jìn)制碼的10110，表示十進(jìn)制的22，利用BCD碼表示則為0010 0010。

在計(jì)算中會經(jīng)常遇到負(fù)數(shù)，那么在數(shù)字電路中，怎么樣來表示負(fù)數(shù)呢？

首先要認(rèn)識到，無論是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，都是人類賦予它的意義。同樣的數(shù)字，在對他用不同的眼光來看待時(shí)，也會得到不同的結(jié)果。例：101，在十進(jìn)制中它就是一百零一，如果用二進(jìn)制來看，這就是十進(jìn)制中的五。

當(dāng)一個(gè)變量為無符號位時(shí)，就認(rèn)為這個(gè)變量是正數(shù)，所有位按照自己的權(quán)重進(jìn)行計(jì)算。如果一個(gè)變量為有符號位時(shí)，那么規(guī)定他的最高位為符號位（0：正數(shù)。1：負(fù)數(shù)），其他位用來表示數(shù)值。

下面討論有符號數(shù)的表示。0011表示正三，1011表示負(fù)三，這樣的表示方法對嗎？首先表示方法沒有對錯(cuò)之說，只是符合不符合場合。

這個(gè)表示方法是不符合當(dāng)代計(jì)算機(jī)中的表示方法的。在當(dāng)代計(jì)算機(jī)中，不僅僅要描述數(shù)的表示，還要表示運(yùn)算。很明顯這兩個(gè)數(shù)字相加不為0。

那應(yīng)該如何表示負(fù)數(shù)呢？如果在只有四位的二進(jìn)制，四位二進(jìn)制可以表示16種狀態(tài)，無符號數(shù)可以表示0到15，15+1=0，0-1=15，這兩個(gè)算式是正確的。

圖3 ：四位二進(jìn)制補(bǔ)碼運(yùn)算的例子

補(bǔ)碼就是順時(shí)針方向的長度。

符號和絕對值拼接到一起組成的碼成為原碼。

表示正數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼和原碼是相同的；表示負(fù)數(shù)時(shí)，補(bǔ)碼和原碼不相同，兩個(gè)絕對值相加應(yīng)該為“一圈”。

二進(jìn)制的位數(shù)和能夠表示的有符號數(shù)的范圍也是有關(guān)系的。例：四位二進(jìn)制能夠表示16種狀態(tài)，它能夠表示的范圍[-8:7]。并不是負(fù)數(shù)比正數(shù)多一個(gè)，中間有一個(gè)0。

原碼能夠直觀的看出大小，補(bǔ)碼比較方便有符號位計(jì)算。在當(dāng)代數(shù)字電路中，都是利用補(bǔ)碼進(jìn)行存儲和運(yùn)算的。

表示范圍為-200到200，至少需要多少位二進(jìn)制碼才能表示？

-200到200一共有401種情況，需要9位來表示。9位的二進(jìn)制表示有符號數(shù)時(shí)，能夠表示-256到+255。

擴(kuò)展符號位不改變數(shù)字大小

正數(shù)不在敘述。對于負(fù)數(shù)來說，就是在前面加了一個(gè)“1”，是否會改變數(shù)字大小呢？補(bǔ)碼計(jì)算原碼的規(guī)則為：補(bǔ)碼減1，符號位不變，其他位取反。而我們添加的“1”，正好在“其他位取反”中，無論擴(kuò)展多少位，都不會改變數(shù)字大小的。

在電路中大多數(shù)都是二進(jìn)制的信息，那我們?nèi)绾文軌蚩吹玫綕h字或者字母呢？對于字母來說，我們來介紹一下ASCII碼。

ASCII(American Standard Code for Information Interchange，美國標(biāo)準(zhǔn)信息交換代碼)是基于拉丁字母的一套電腦編碼系統(tǒng)，主要用于顯示現(xiàn)代英語和其他西歐語言。它是現(xiàn)今最通用的單字節(jié)編碼系統(tǒng)，并等同于國際標(biāo)準(zhǔn)ISO/IEC 646。

圖4 ：部分ASCII碼對照表

漢字國標(biāo)碼，創(chuàng)建于1980年，目的為了使每個(gè)漢字有一個(gè)全國統(tǒng)一的代碼而頒布了漢字編碼的國家標(biāo)準(zhǔn)。每個(gè)漢字有個(gè)二進(jìn)制編碼，叫漢字國標(biāo)碼。在我國漢字代碼標(biāo)準(zhǔn)GB2312-80中有6763個(gè)常用漢字規(guī)定了二進(jìn)制編碼。具體國標(biāo)碼的信息就不在敘述，有興趣的讀者可以自行查詢。

“ABC”字母序列在計(jì)算機(jī)中存儲的形式按照ASCII碼存儲，十六進(jìn)制的“41、42、43”?！昂滦駧洝睗h字序列在計(jì)算機(jī)中存儲的形式按照漢字國標(biāo)碼存儲，十六進(jìn)制的“BA、C2、D0、F1、CB、A7”。

上述敘述的幾種計(jì)數(shù)或者表示規(guī)則，都是非常常用的幾種。在某些特殊的場合我們也可以自己編寫規(guī)則，類似于24進(jìn)制數(shù)，用5個(gè)二進(jìn)制表示一個(gè)24進(jìn)制數(shù)中的數(shù)字，都是可以的。

在數(shù)字電路中，只要是發(fā)送方和接收方能夠統(tǒng)一好編碼規(guī)則，就是可以的。

如果在數(shù)字電路中表示小數(shù)？方法有定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)（浮點(diǎn)數(shù)不做介紹）。

定點(diǎn)數(shù)

定點(diǎn)格式，即約定電路中所有數(shù)據(jù)的小數(shù)點(diǎn)位置是固定不變的。

對于整數(shù)而言，小數(shù)點(diǎn)默認(rèn)位置在最后一位的后面。例：二進(jìn)制的101表示十進(jìn)制的5，小數(shù)點(diǎn)的位置就在101的后面。

如果是有小數(shù)呢？那如何來表示呢？例：十進(jìn)制的5.5。

有小數(shù)時(shí)，就不能夠把點(diǎn)放在最后一位的后面了，因?yàn)橐娣判?shù)，所以點(diǎn)必須在中間。當(dāng)用8位來表示時(shí)，規(guī)定四位表示整數(shù)，四位表示小數(shù)：0101.1000，小數(shù)點(diǎn)并不是真實(shí)存在的，只是我們規(guī)定的而已。

也可以有另外一種理解，整數(shù)用的基礎(chǔ)值是2的0次冪，所以所有的整數(shù)直接編寫即可。如果有小數(shù)的話，基礎(chǔ)值就要有所變化，假如是2的-3次冪。那么表示十進(jìn)制的5時(shí)，就會變?yōu)?01000。

定點(diǎn)、定點(diǎn)就是定好了小數(shù)點(diǎn)的位置，也就是定好基礎(chǔ)值。

浮點(diǎn)數(shù)即小數(shù)點(diǎn)的位置可以浮動，利用專門的幾個(gè)數(shù)碼確定小數(shù)點(diǎn)的位置。這里不做過多介紹，有興趣的讀者，可以自行查閱相關(guān)資料。

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