為什么復(fù)數(shù)不能夠排序？

一、前言

在任何一本講解復(fù)變的教科書中，都會(huì)提到“復(fù)數(shù)”不像實(shí)數(shù)那樣能夠排序。頭一次聽說是，都會(huì)感到一頭霧水。心想我們是可以找到一種排序的方法， 將復(fù)數(shù)安排的明明白白的。?比如可以先按照復(fù)數(shù)的實(shí)部排序， ?如果實(shí)部相同， 則接著按照虛部排序。?比如 Python 中的復(fù)數(shù)排序命名， 就是按照這個(gè)方式實(shí)現(xiàn)的。?實(shí)際上，也可以先按照復(fù)數(shù)的模進(jìn)行排序， 接著在按照相角進(jìn)行排序。?

但數(shù)學(xué)中所講到的排序， 是指在一定“數(shù)域”內(nèi)的排序，?也就是在滿足元素之間特定操作之后排序不能夠產(chǎn)生矛盾。?在復(fù)數(shù)中定義了加法、乘法等操作。?所定義的排序還應(yīng)在這些操作下不產(chǎn)生矛盾。

▲ 圖1.1.1 復(fù)數(shù)排序

二、排序矛盾

數(shù)學(xué)上，對(duì)于復(fù)數(shù)排序的定義需要滿足以下性質(zhì)。?

1、當(dāng) a b 屬于復(fù)數(shù)，?那么它們之間的排序必須屬于這三種情況之一。

2、當(dāng) a 小于 b時(shí)，?它們都加上任意一個(gè)數(shù)字，結(jié)果的順序仍然保持。?

3、當(dāng) a 小于 b 時(shí)， c 是大于 0 的數(shù)字。?它們同時(shí)乘以 c， 結(jié)果的順序仍然保持。?

4、最后一個(gè)性質(zhì)，則是任何排序方法都必須滿足的相容性。如果 a 小于 b， b 小于 c。?那么 a 小于 c。?

下面按照這四個(gè)性質(zhì)來證明復(fù)數(shù)無法排序。???實(shí)際上只要證明復(fù)數(shù)中存在兩個(gè)數(shù)字，它們之間的排序無論怎么定義，都會(huì)在上面四個(gè)性質(zhì)中產(chǎn)生矛盾。

比如，取復(fù)數(shù)中兩個(gè)數(shù)字， i 和 0。?它們之間的關(guān)系也必須滿足三種順序之一。?因?yàn)橐阎@是兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)。?所以 i 與 0 的順序只有兩種。?

如果假設(shè) i 大于 0。?根據(jù)性質(zhì)三， i 乘以 i 的結(jié)果應(yīng)該是大于 0 乘以 i。?根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，由此可以得到 負(fù)1 大于 0。請注意，到此并沒有導(dǎo)出矛盾， 因?yàn)槲覀冋谟懻搹?fù)數(shù)的排序方法， 所以并不能夠按照實(shí)數(shù)的大小定義復(fù)數(shù)。負(fù)一大于 0 只是中間推導(dǎo)的結(jié)果。?下面再將 負(fù)一 乘以 負(fù)一，?便會(huì)得到下一個(gè)結(jié)論， 1 大于0。?此時(shí)便于前面的結(jié)論產(chǎn)生矛盾。?這說明假設(shè) i 大于 0 不成立。

下面從 i 小于 0 開始， 借助于性質(zhì)2， 兩邊同時(shí)加上 負(fù) i， 便可以得到 負(fù) i 大于 0，?然后在應(yīng)用 性質(zhì) 3，?使用負(fù) i 乘以不等式兩邊，?根據(jù)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則，便得到 負(fù)1 大于 0 的結(jié)論。?這回到前面證明中的結(jié)論，?再往后推導(dǎo)同樣得到矛盾的結(jié)果。至此，綜合上面兩個(gè)過程， 證明復(fù)數(shù)無法排序。

▲ 圖1.1.2 矛盾的證明

總??結(jié)

本文對(duì)于在復(fù)數(shù)域內(nèi)無法排序進(jìn)行了討論。?這也讓我們對(duì)于數(shù)學(xué)上的排序要求有了更加全面的了解。

審核編輯 ：李倩