電機FOC控制基礎(chǔ)

經(jīng)常聽到別人提Clark變換，Park變換，F(xiàn)OC和SVPWM，最近研讀了很多非常棒的文章。

終于有點膚淺的認識，本著一邊學(xué)一邊筆記的節(jié)奏，本文來鞏固下這些知識，也嘗試分享給有需要的不同背景的汽車人。

1 背景

本文采用永磁同步電機來介紹其控制方法，永磁同步電機的結(jié)構(gòu)：轉(zhuǎn)子為永磁體，定子為三相交流繞組。

一個典型的永磁同步電機的3相繞組在空間120°電角度布置，繞組里面分別通相位相差120°的三相交流電：

為什么需要通相位相差120°的三相交流電？為了產(chǎn)生一個幅值大小不變的圓形旋轉(zhuǎn)磁動勢。

source: http://www.ece.umn.edu/users/riaz/animations/abcvec.html

針對上圖：設(shè)計永磁同步電機，就必須要產(chǎn)生這樣的磁動勢，即通相位相差120°的幅值不變的三相交流電，就會產(chǎn)生一個幅值大小不變的圓形旋轉(zhuǎn)磁動勢，其大小正好為單相磁動勢最大幅值的1.5倍，如下圖所示。注意觀察上圖！從PhaseA，B，C三圖可以看出，每相電流變化產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場強弱也在變化，但它們合成旋轉(zhuǎn)磁場（右下圖Resultant）強弱的不變，其轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速相同。也可以從空間矢量角度來看它們的變化(右下圖Space vectors)。

從上圖不難發(fā)現(xiàn)，如果調(diào)節(jié)三相交流電幅值，相應(yīng)地，合成的旋轉(zhuǎn)磁動勢幅值也隨之變化，當(dāng)然其大小仍為單相磁動勢最大幅值的1.5倍，見下圖。

source：https://zhuanlan.zhihu.com/p/45757542

磁動勢變化意味著什么呢？電機轉(zhuǎn)矩的變化，這樣我們需要找到三相交流電與電機轉(zhuǎn)矩的關(guān)系。直接找它們兩者的關(guān)系可能比較復(fù)雜，在控制實施有難度。那么是否有什么方法可以先做一些處理？注意三相交流電通定子線圈，定子線圈是靜止的，但線圈產(chǎn)生的磁場是與轉(zhuǎn)子永磁體產(chǎn)生的磁場相互作用，轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)，線圈產(chǎn)生的磁場也在同步轉(zhuǎn)。通過這些信息，是否能夠找到一些提示？

2 Clark和Park變換

對于三相交流電，我們是否可以把它整成兩相？就好比我們看一個三維的問題，我總是傾向于轉(zhuǎn)化到二維去解決。三相交流電相互間相位相差120°，那我們是否可以構(gòu)建一個坐標系α-β，使用它來表示三相交流電，如下所示：

也就是把Ia，Ib，Ic投影到該坐標系α-β，不難得到變換公式：

寫成矩陣形式如下：

這就是Clark變換。在上述矩陣前通常會添加系數(shù) 2/3或 是sqrt(2/3),分別代表等幅值變換與等功率變換。通過Clark變換，使得原先的三相交流電轉(zhuǎn)換成兩相正弦電流。

注釋：Clark變換前的三相交流電

注釋：Clark變換后的兩相正弦電流

若此時轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子永磁體與坐標系α-β有何干系呢？相當(dāng)于轉(zhuǎn)子永磁體在坐標系α-β以轉(zhuǎn)速ω轉(zhuǎn)動。如果建立一個坐標系d-q，d軸和磁鐵NS線完全重合，并且正方向是N極方向；而q軸，相切于NS線，正方向與轉(zhuǎn)動方向一致。如下所示：

那么將坐標系α-β投射到這個坐標系d-q，由于轉(zhuǎn)子相對定子以轉(zhuǎn)速ω旋轉(zhuǎn)，即兩個坐標系存在一個旋轉(zhuǎn)角度θ（θ=ωt）,它們的關(guān)系如下所示：

其實從坐標系α-β到坐標系d-q的這個變換就是Park變換。將兩相正弦波信號轉(zhuǎn)化為兩相的直流信號。

注釋：Park變換后的兩相直流電

上述的坐標系d-q為什么這樣建立? 原因是通過Park變換到Id，Iq，此時d軸方向沒有切割磁感線，所以電流Id并不會產(chǎn)生洛倫茲力；而q軸方向就能切割磁感線，從而電流Iq就能產(chǎn)生洛倫茲力。

以上結(jié)合Clark變換和Park變換，就可以將一個三相交流電轉(zhuǎn)化為兩相的直流電，如下所示：

3 SVPWM

3.1 SVPWM的輸入

對于要如何獲得目標的電磁轉(zhuǎn)矩，這時只需需要合理地控制Id和Iq。因為根據(jù)永磁同步電機的轉(zhuǎn)矩方程可知：

第1部分是由轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈和三相定子繞組磁鏈相互作用產(chǎn)生的；第2部分是由凸極效應(yīng)造成磁阻變化而產(chǎn)生的反應(yīng)轉(zhuǎn)矩?？梢钥闯?，因為轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈恒定不變，要調(diào)節(jié)永磁同步電機的電磁轉(zhuǎn)矩，只需要調(diào)節(jié)Id和Iq。由坐標系d-q的定義，Id沒切割磁感線，Iq切割磁感線，即電磁轉(zhuǎn)矩與Iq有關(guān)，控制Iq就行。

source：TI

令I(lǐng)d=0，根據(jù)目標的電磁轉(zhuǎn)矩就可以確定目標的Iq (Iq=T/pψm )。這樣可以得到電機的總體FOC控制框架：

到此，關(guān)鍵是黑盒部分的處理，通常會使用SVPWM來處理，為什么要使用SVPWM? 請參考：如何深入理解SVPWM？- 知乎 (zhihu.com)

SVPWM具體實現(xiàn)是什么功能呢？其實就是將Vα，Vβ轉(zhuǎn)化為Va，Vb，Vc。下面揭開黑盒部分，如下所示：

source：Mathworks

由上圖可知SVPWM的輸入Vα，Vβ如何獲取：

• 目標的Id，Iq（深藍框）：令目標的Id=0，根據(jù)電磁轉(zhuǎn)矩可得到目標Iq；
• 實際的Id和Iq（綠色路徑）：通過傳感器采集到Ia, Ib, Ic, 經(jīng)過Clark變換到Iα，Iβ, 再經(jīng)過Park變換到Id，Iq；
• 有了目標的和實際的Id，Iq，采用PI控制則可以得到目標的Vd，Vq；
• Vd，Vq經(jīng)反Park變換到Vα，Vβ。

3.2 SVPWM的輸出

那SVPWM的輸出呢？這里需要先了解下逆變器的電路原理，逆變器就是把直流電轉(zhuǎn)換為交流電，采用3組半橋MOS電路來實現(xiàn)，如下所示：

每組半橋MOS電路由兩個MOS管組成，上橋臂和下橋臂，中間引出一條輸出線。通過控制上下橋臂的通斷，就可以控制輸出，如下所示：

注釋：MOS管看成一個開關(guān)就行，其功能就是控制橋臂的通斷

當(dāng)上橋臂通，下橋臂斷時，輸出OUT接通電源；當(dāng)上橋臂斷，下橋臂通，輸出OUT接地；當(dāng)上、下橋臂都通，這個我們在SVPWM不使用。這樣一根輸出線與電機的一根相線相連，使用3組半橋MOS電路就完成了最基本的電機驅(qū)動電路。即通過逆變器的3組半橋MOS管電路上下橋臂的通斷控制來實現(xiàn)直流電轉(zhuǎn)化為三相交流電。

那控制MOS管的通斷，如何就實現(xiàn)了直流電變?nèi)嘟涣麟娔兀窟@里需要使用到PWM，PWM定義如下：

source：Mathworks

就是以一定頻率（即上圖的周期T）不斷改變PWM的占空比，比如上圖第一周期T控制占空比20%，能到20V的平均電壓，第2周期T控制占空比50%，能到50V的平均電壓，以此類推，只要頻率夠快，就可以利用PWM控制MOS管的通斷，從而產(chǎn)生近似正弦電流，如下所示：

通過上面的分析可知，通過SVPWM算法得到3組PWM，分別控制3組半橋MOS電路就行。這樣我們就明確了SVPWM的輸入和輸出，接下來我們來了解SWPWM具體是什么

3.3 SVPWM是什么

SVPWM總體邏輯如下示意：

1. 根據(jù)反Park變換得到Vα，Vβ，這兩個矢量可以在坐標系α-β合成矢量Vref；
2. 通過控制逆變器的3組半橋MOS電路可以構(gòu)建6個基本電壓矢量和2個零電壓矢量；
3. 用這8個電壓矢量中的幾個可以合成任意矢量，比如Vref，那意味著可以建立Vα，Vβ和幾個電壓矢量的關(guān)系；
4. 8個電壓矢量均與Va，Vb，Vc有關(guān)系的，這樣就能夠建立起Vα，Vβ與Va，Vb，Vc的關(guān)系。當(dāng)然如上面SVPWM的輸出所言，Vα，Vβ與Va，Vb，Vc的關(guān)系其實通過Vα，Vβ與施加給a, b, c三相電對應(yīng)的半橋MOS電路的PWM來體現(xiàn)。

接下來就介紹下整個邏輯的實現(xiàn)過程，首先構(gòu)建電壓矢量。這里以下圖所示的半橋MOS電路狀態(tài)來分析，a組的上橋臂通，b, c組的下橋臂通，此時等效電路如下右上圖。通過電路分析可得三相電壓與電源電壓的關(guān)系，考慮三相繞組在空間中的分布，將它們表示在一個六等分的圓內(nèi)，如右下圖，接著矢量合成，不難得到合成的電壓矢量大小（Vdc）和方向(-->A)。

source：Mathworks

接著使用相同方法，分別對不同半橋MOS電路狀態(tài)進行分析，可得另外的7個電壓矢量，我們半橋MOS電路的a, b, c上橋臂全通或下橋臂全通構(gòu)建的2個電壓矢量稱為零矢量，其他6組稱為基本矢量。如下圖所示：

source：Mathworks

同時為了方便快速記憶空間矢量對應(yīng)的半橋MOS電路狀態(tài)，我們采用下面的命名方式：1表示上橋臂通，下橋臂斷；而0表示上橋臂斷，下橋臂通；并且V的下標，由三組半橋MOS電路的狀態(tài)（1/0）構(gòu)建3位二進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制來表示，比如100表示a組的上橋臂通，下橋臂斷，b,c組的上橋臂斷，下橋臂通，二進制100轉(zhuǎn)成十進制為4，即V的下標是4，即V4, 以此類推，如下所示：

我們把兩個相鄰基本電壓矢量之間形成的空間稱為扇區(qū)，因此有6個扇區(qū)。以上就構(gòu)建好了電壓矢量，接下來就可以利用它們作為基向量來合成任意矢量，那么如何用這些矢量來合成Vref？取決于Vref在哪個扇區(qū)。

當(dāng)然不管Vref在哪個扇區(qū)，采用的方法都是選擇該扇區(qū)相鄰兩個基本電壓矢量以及零矢量，按照伏秒平衡原則來合成該扇區(qū)內(nèi)的任意電壓矢量，即：

注釋：資料引用出處不統(tǒng)一，本文中V和U等價，均表示電壓，文字均采用V來書寫。

假設(shè)V確定了一個PWM周期T內(nèi)，V4, V6, V0, V7 運行時間，但它們運行的順序呢？，現(xiàn)在的關(guān)鍵是一個PWM周期T內(nèi)，V4, V6, V0, V7分別要運行多長時間?

根據(jù)伏秒平衡原則有: Vref = (T4/T)V4+ (T6/T)V6+ (T-T4-T6/T)(V0&V7),如下所示：

將 Uref投影分解到 U4 和 U6 的方向，由正弦定理有：

由此我們可知：T4, T6, T0, T7 的值取決于Vref，Vdc和θ的值，其中Vdc和θ均可通過傳感器實時獲取，可看成是已知量，所以關(guān)鍵在Vref，而前面我們提到可以用Vref可以用Vα, Vβ來合成。這樣通過Vref，就是可以建立T4, T6, T0, T7與Vα, Vβ關(guān)系，根據(jù)如下分析：

可得：

這樣我們可以根據(jù)Vα, Vβ（SVPWM的輸入）和 Vdc求得T4, T6, T0, T7。以上我們是以Vref在扇區(qū)I為例，為了在其他扇區(qū)中重復(fù)利用在上述結(jié)論并簡化表達式，我們可以定義三個變量：

這樣我們就可以得到每個扇區(qū)的時間，如下所示：

這樣就確定了一個PWM周期T內(nèi)，U4, U6, U0, U7 運行時間，但它們運行的順序呢？理論上任何順序都可以，但是實際中需要考慮更多限制，比如MOS管存在開關(guān)損耗，因此希望能盡量減少MOS管的開關(guān)次數(shù)，那么以這個為目的來設(shè)計其順序，如下所示：

注意觀察執(zhí)行順序的設(shè)計，每次只改變一組半橋MOS電路狀態(tài)，而且從000開始，結(jié)束又回到000，也就是每個PWM周期結(jié)束又可以回到初始狀態(tài)，絲毫不會影響下一個PWM周期的執(zhí)行順序。而且通過在合理的位置插入兩個零矢量，對其在時間上進行了平均分配，這樣產(chǎn)生的PWM對稱，可以有效地降低PWM的諧波分量。采用相同的方法，不難得到6個扇區(qū)的開關(guān)時序，如下所示：

當(dāng)然上述對于Vref的合成，需要先知道 Vref在哪個扇區(qū)，具體怎么判斷？ 不難聯(lián)想到高中所學(xué)過的線性規(guī)劃把V1V6, V3V4, V2V5看成三條直線，用α，β表示這三條直線方程，那么有：

• 直線V3V4: β = 0,
• 直線V2V5: β = -sqrt(3)*α，
• 直線V1V6: β = sqrt(3)*α

為了方便判斷Vref在哪個扇區(qū)，由三條直線方程，令

• X = β,
• Y = sqrt(3)*α + β,
• Z = sqrt(3)*α - β,

從而可以將Vref坐標(α，β)代入X, Y, Z，根據(jù)X,Y,Z值的正負情況就可以判斷Vref的位置。以Vref在扇區(qū)1為例，不難發(fā)現(xiàn)，根據(jù)X, Z來判斷，顯然X需要大于0，Z也需要大于0，如下所示：

使用相同的方法，可以得到其他扇區(qū)的判斷條件：

到此，基本介紹完了SVPWM，內(nèi)容還是非常多，不過把握好整體邏輯，還是不難理解。如果你已經(jīng)認真地看到此處，可跳到文章最后看看a, b, c 3組PWM執(zhí)行是如何實現(xiàn)的?；仡橲VPWM整個邏輯：

• 控制3組半橋MOS電路狀態(tài) --> 構(gòu)建6個基本電壓矢量和2個零矢量；
• 利用基本電壓矢量和零矢量作為基矢量可合成任意矢量，且根據(jù)伏秒平衡原則可得到各基矢量的作用時間；
• 根據(jù)基矢量（V0~V7)--> Vref <-- Vα，Vβ，可知用Vα，Vβ，Vdc表示各基矢量的作用時間；
• 將幾個基矢量的作用時間合理排序，得到作用于a，b，c 3組半橋MOS電路的占空比（PWM）。

4 總結(jié)

上文就介紹完了FOC控制方法的關(guān)鍵知識，掌握好了這些知識，那么就能把握FOC控制方法的整體邏輯，讀懂FOC控制方法的代碼或者模型，最后借助下圖在腦海串聯(lián)這些知識。

5 彩蛋

基于SVPWM排序之后得到PWM波形，有個問題：從000到100，怎么判斷執(zhí)行切換？從圖看是過了T0/2時間就執(zhí)行，但是怎么知道的？其原理是怎樣的？

接下來我們就要解釋這個問題，首先定義三個時間變量Ta，Tb，Tc：

將這三個時間變量與一個三角波比較后算法就能精確的在指定的時間進行切換，但是這個三角波需要是一個等腰直角三角形，即高是底邊的一半，高代表半個PWM周期，即Ts/2。自然地，底就是1個PWM周期，即Ts。

接下來結(jié)合下圖理解下這三個時間變量與一個三角波比較實現(xiàn)切換的原理。

• 當(dāng)三角波發(fā)生器開始產(chǎn)生，經(jīng)過t=T0/2時間，即Ta，下一刻意味著t>Ta，那么在t=Ta時刻開始從000切換到100，即a組半橋MOS管從上橋臂斷，下橋臂通切換到上橋臂通，下橋臂斷。
• 隨著時間t=Tb，下一刻意味著t>Tb，那么在t=Tb時刻開始從100切換到110，即b組半橋MOS管從上橋臂斷，下橋臂通切換到上橋臂通，下橋臂斷。
• 以此邏輯，在t=Tc時刻開始從110切換到111，即c組半橋MOS管從上橋臂斷，下橋臂通切換到上橋臂通，下橋臂斷。
• 最終經(jīng)過t=Ts/2時間，三角波到達其頂點。

當(dāng)三角波到達其頂點，接下來從頂點減小到0。不難理解，將會在t=Ts-Tc，從111切換到110；lt=Ts-Tb，從110切換到100；t=Ts-Ta，從100切換到100，所以通過整個過程的比較分析，就可明白三個時間變量與一個三角波比較實現(xiàn)切換的原理，如下所示：

本文到此結(jié)束，預(yù)告下篇文章將結(jié)合電機map介紹完整的電機控制方法。